广西大学自动控制原理习题答案本科第7章.pdf

1 习题参考答案 7-1 求如下信号的频谱|()|F i。 （1）1)(tf（2） t etf )( （3）ttfcos)(（4）ttf)( （5） t tetf )(（6）tttfcos)( 解：控制系统中的信号都是指0t时0)(tf函数。以下信号不考 虑频谱中的奇异信号。 （1）| 1 | )(| iF （2） 2 1 1 | 1 1 | )(| i iF （3）| 1 | )(| 2 iF （4） 2 1 | )(| iF （5） 2 )1 ( 1 | )(| iF （6） 22 2 )1 ( 1 | )(| iF 7-2 对题 7-1 的信号进行采样，采样频率为 T=0.1 秒， （1）求采样信号的频谱 * |()|F i。 （2）求采样信号的 z 变换。 2 解： （1）1)(tf 0 * )1 . 0()( n nttf 1 . 0cos22 1 1 . 0sin1 . 0cos1 1 1 1 )( 1 . 0 0 1 . 0* i e eiF i n ni 11 1 )( 1 z z z zF （2） t etf )( 0 1 . 0* )1 . 0()( n n ntetf 1 . 0cos21 1 1 . 0sin1 . 0cos1 1 1 1 )( 1 . 02 . 0 1 . 01 . 0 1 . 01 . 0 0 1 . 01 . 0* ee iee e eiF i n nin 1 . 011 . 0 1 1 )( ez z ze zF （3）ttfcos)( 3 0 1 . 01 . 0 0 * )1 . 0()( 2 1 )1 . 0()1 . 0(cos)( n nini n ntee ntntf *0.1 (1)0.1 (1) 00 0.1(1)0.1(1) 0.1(1)0.1(1) 0.1(1)0.1(1)0.2 0.1 0.10.2 1 () 2 111 2 11 12 2 1 122cos1 (note:cos10.54) 2 12cos1 10.54c inin nn ii ii iii i ii F iee ee ee eee e ee os0.10.54sin0.1 1 1.08cos0.1cos0.2(1.08sin0.1sin0.2 ) 1.291.08cos0.1 3.172.16cos0.12cos0.22.16cos0.1 cos0.2 i i 108. 1 54. 0 08. 11 54. 01 )( 2 2 21 1 zz zz zz z zF （4）ttf)( 0 * )1 . 0(1 . 0)( n ntntf 4 1 . 0cos2020 1 1 . 0sin1 . 0cos1 1 . 0 1 |1 . 0| 1 . 0)( 2 2 1 . 0 1 . 0 0 1 . 0* i e e neiF i i n ni 221 1 ) 1( 1 . 0 )1 ( 1 . 0 )( z z z z zF （5） t tetf )( 0 1 . 0* )1 . 0(1 . 0)( n n ntnetf， 1 . 0cos201010 1 1 . 0sin1 . 0cos1 1 . 0 1 |1 . 0| 1 . 0)( 1 . 02 . 0 2 1 . 01 . 0 2 1 . 01 . 0 1 . 01 . 0 0 1 . 01 . 0* ee iee e e neiF i i n nin 21 . 0 1 . 0 211 . 0 11 . 0 )( 1 . 0 )1 ( 1 . 0 )( ez ze ze ze zF 7-3 已知连续信号的拉普拉斯变换如下，对信号进行频率为 T=0.1 秒 采样后，求采样信号的 z 变换。 （1） s sF 1 )( 5 （2）0, 1 )( a as sF （3） 2 1 )( s sF （4） )3)(1( 1 )( ss sF 解： （1） 1 )( z z zF （2） a ez z zF 1 . 0 )( （3） 2 ) 1( 1 . 0 )( z z zF （4） )(2 )( )( 2 1 )( 3 . 01 . 0 3 . 01 . 0 3 . 01 . 0 ezez zee ez z ez z zF 7-4 已知离散系统的差分方程如下， 求系统在初始状态 y(0)=2， y(1)=1 和输入0, 1)(kkr下的响应。 （1）)() 1(2)(6) 1(5)2(krkrkykyky （2）)()() 1(2)2(krkykyky 解： （1）对差分方程的每一项进行Z变换得到： )()0()( 2 )(6)0()( 5) 1 ()0()( 22 zRzrzzR zYzyzzYzyzyzYz 代入状态和输入得到 6 3 5 . 2 2 4 1 5 . 0 )65)(1( )10112( 65 112 165 12 )( 2 2 2 2 2 z z z z z z zzz zzz zz zz z z zz z zY 作 z 反变换得到 kk ky35 . 2245 . 0)( （2）对差分方程的每一项进行Z变换得到： )()()0()( 2) 1 ()0()( 22 zRzYzyzzYzyzyzYz 代入状态和输入得到 2 2 2 2 2 2 ) 1( 5 . 2 1 75. 1 1 25. 0 ) 12)(1( )432( 12 52 112 1 )( z z z z z z zzz zzz zz zz z z zz zY 作 z 反变换得到 kk kky) 1(5 . 2) 1(75. 125. 0)( 7-5 已知离散系统的闭环特征方程如下，验证闭环系统的稳定性。 （1）003. 282. 503. 4 23 zzz （2）05 . 59 .133 . 6 23 zzz 解：作双线性变换 w w z 1 1 。用 Routh 判据判断稳定性。 （1）方程变为 7 0)1 (03. 2)1)(1 (82. 5)1 ()1 (03. 4)1 ( 3223 wwwwww 即088.1288. 376. 076. 0 23 www。 由 Routh 判据知系统不稳定。 （2）方程变为 0)1 ( 5 . 5)1)(1 ( 9 .13)1 ()1 ( 3 . 6)1 ( 3223 wwwwww 即07 .261 .217 . 01 . 3 23 www。 由 Routh 判据知系统不稳定。 7-6 一个二阶采样系统的方块图如图，采样周期 T0.1s。 （1）求使系统稳定的放大系数 K。 （2）如果没有采样开关和零阶保持器，K 的取值是否影响系统稳定 性？ s e Ts 1 ) 11 . 0(ss K - R(s)Y(s) 题 7-6 图 解： （1）按照以下步骤计算 K 的稳定范围。 a. 计算系统开环脉冲传递函数。 8 2 2 1( ) ( ) 110.10.01 0.11 10.10.1 (1)1 0.1(1) 0.1 1 0.1(1) 1 (0.10.1)(0.10.1) (1)() zG s G zK zs z K zsss zTzzz K zzzza Tz K zza Ta K zza TazaaT K zza Z Z 其中 T eaT 10 , 1 . 0 。 （2）求出系统闭环特征多项式。 aaTaKzaaTKzzD)1 . 01 . 0()1() 1 . 01 . 0()( 2 （3）作双线性变换 w w z 1 1 ，用 Rooth 判据计算 K 的取值范围。 )()1 . 01 . 0(222 )2 . 02 . 0(22 )1 . 01 . 0() 1() 1 . 01 . 0(1 2)1 . 01 . 0(22 )1 . 01 . 0() 1() 1 . 01 . 0(1 )1()1 . 01 . 0( )1)(1() 1 . 01 . 0()1 ()( 2 2 2 22 aTTKwaTaKa wTaTaKa aaTaKaaTK waaTaK waaTaKaaTK waaTaK waaTKwwD T0.1s 时，368. 0 10 T ea， 9 KwKwKwD0632. 0)0528. 0264. 1 ()0104. 0736. 2()( 2 当 0K23.9 时系统稳定。 （2）如果没有采样开关和零阶保持器，闭环系统为典型二阶系统， 无论 K 取何值系统均稳定。 7-7 已知采样系统的结构如图所示，所有采样周期均为 T0.1s。求 对输出 y(t) 进行采样后得到的信号的 z 变换式。 H(s) R(s)Y(s) G(s) H(s) - R(s)Y(s) G(s) (a)(b) 题 7-7 图 解： （a）由图可列出 )()()()()( )()()()()( )()()()()( * * * sYsHsGsRsG sYsHsGsRsG sYsHsRsGsY 因此 ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) G s R s Y z G s H s Z Z 。 （b）记图中采样开关后的信号为)(sF。由图可列出 * )()()( )()()()( sHsYsF sGsFsRsY 得到 * * )()()()()()( )()()()()( sHsGsFsHsGsR sHsGsFsRsF 10 ( ) ( )( ) ( ) 1 ( )( ) R s G s H s F z G s H s Z Z 因此 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) Y zR s G sF zG s R s G s H sG s R s G s G s H s ZZ ZZ Z Z 7-8 典型采样系统如图所示，其中被控对象 ) 15( 1 )( ss sG，采样 时间 T=0.1 秒。 （1）试设计单位阶跃输入下的最少拍控制器 D(z)，并用 Simulink 仿 真系统输出，观察输出的纹波。 （2）试设计有限拍控制器 D(z)，使系统在单位阶跃输入下经过 2 拍 后输出稳定且无纹波。 - - R(s)Y(s) G(s) E(s)E*(s) D(z) U*(s) s e Ts 1 题 7-8 图 解： （1）将被控对象离散化 1 2 1 2 20.02 1 ( )(1) (51) 1525 (1) 51 10.155 () (1)1 0.0010.001 (0.9802)(1) G zz ss z sss zzzz zzzze z zz Z Z 在单位阶跃输入下，v=1，控制器为 11 ) 1(18. 0 82. 0 1 1 18. 0 82. 0 ) 1( ) 1( )( 1 )( z z z z z zz zG zD （2）设计有限拍控制器，先计算500) 1 (/1 0 Bq。控制器的传递 函数为 5 . 05 . 0 ) 1)(9802. 0(500 )( )( )( 2 0 0 zz zz zBqz z