高三数学复习立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直基丛点练理.docx

第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,2利用向量解决垂直问题3,41.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E, F分别是BB1,DD1的中点.求证:FC1平面ADE.证明: 如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0, 0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1).=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).设n=(x,y,z)是平面ADE的一个法向量,则即解得令z=2,则y=-1.所以n=(0,-1,2).因为n=-2+2=0.所以n.因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,求证:平面EFG平面B1CD1.证明: 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1, 0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).得E(1,0),F(,0,0),G(1,0,),=(-,-,0),=(0,-,).设n1=(x1,y1,z1)为平面EFG的法向量,设n2=(x2,y2,z2)为平面B1CD1的法向量.则即令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,同理可得x2=1,y2=-1,z2=-1.即n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1).由n1=n2,得平面EFG平面B1CD1.3. 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.证明: 如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以,为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).= (-1,2,),=(-2,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y, z),则n,n,故令x=1,得y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,而=(1,2,-),所以n,即AB1平面A1BD.4.(2016安阳模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF平面PBC.证明: 建立如图所示的空间直角坐标系,设A(1,0,0),则P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(,0,0),F(,),设平面CEF的一个法向量为n1=(x,y,z).则得取x=1,则n1=(1,-),同理,求得平面PBC的一个法向量为n2=(0,).因为n1n2=10+-=0,所以n1n2.所以平面CEF平面PBC.【教师备用】 (2016四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC, DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1),F(,1,1),G(0, ,1),=(-,0),= (-,0,1),而=(-1,1),所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面