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第二章第二章 正弦交流电路分析正弦交流电路分析 正弦稳态电路分析是研究电压、电流均随时间按正弦函数规律变化的电路，也称为正 弦交流电路。在生产上和日常生活中广泛使用的交流电，都是正弦交流电。因此，正弦交 流电路是电工电子技术课程中非常重要的一个部分。主要内容有正弦交流电的基本概念， 正弦交流电的表示方法，正弦交流电路的分析以及交流电路的频率特性等。由于正弦交流 电路中的物理量是按正弦规律变化的，因此，电路中的电流和电压是随时间交替变化的， 这一点要区别于直流电路。对本章中所介绍的一些基本概念、基本理论和分析方法要很好 地掌握，为后续有关章节的学习打下理论基础。 2.1 正弦交流正弦交流电电的基本概念的基本概念 如果电路中所含的电源都是交流电源，则称该电路为交流电路(AC circuits)。交流电 压源的电压以及交流电流源的电流都是随时间做周期性的变化，如果这一变化方式是按正 弦规律变化的，则称为正弦交流电源。 在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路电压和电流的稳态响应将是同频 率的正弦量。如果电路中有多个激励且都是同一频率的正弦量，则根据线性电路的叠加性 质，电路中的全部稳态响应将是同一频率的正弦量，处于这种稳定状态的电路称为正弦稳 态电路，又可称为正弦电流电路。对这种电路的分析称为正弦稳态分析。 不论在实际应用中还是在理论分析中，正弦稳态分析都是极其重要的。许多电气设备 的设计，性能指标的分析都是按正弦稳态来考虑的。例如，在设计高保真度音频放大器时， 就要求它对输入的正弦信号能够“真实地”再现并加以放大。又如，在电力系统中，大多 数问题也都可以用正弦稳态分析来解决。电工技术中的非正弦周期函数可以分解为频率成 整数倍的正弦函数的无穷级数，这类问题也可以应用正弦稳态方法处理。 2.1.1 正弦量及其三要素正弦量及其三要素 随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和正弦电流。在工程上常把正弦电 流归之为交流(alternating current 简写为 AC)。在电路分析中把正弦电流、正弦电压统称 为正弦量。对正弦量的数学描述，可以采用正弦函数，也可以采用余弦函数。本书采用余 弦函数。注意不要二者同时混用。 图 2.1 所示为一段电路中的正弦电流 i 及其波形。在图示参考方向下，其瞬时值可表 示为 (2.1) im tIticos)( (2.1)式中的三个常数 Im、i 称为正弦量的三要素。 其中 Im 称为振幅或幅值 (amplitude)。正弦量是一个等幅振荡的、正负交替变化的周期函数，振幅是正弦量在整个 振荡过程中可达到的最大值，即时，有。当时，1cos i t m Ii max 1cos i t i 将为最小值， 。称为正弦量的峰-峰值。 m Ii minm Iii2 minmax 式(2.1) 中为正弦量随时间变化的角度，称为正弦量的相位，或称相位角。称 i t 为正弦量的角频率，它是正弦量的相位随时间变化的角速度，即 ，单位 dt td i 为 。角频率与正弦量的周期和频率之间的关系为：，srad /Tf2Tf2 。若的单位为秒(s)，则频率的单位为，称为 Hz(赫兹，简称 赫)。是正弦 T f 1 Tf s 1 i 量在时刻的相位，称为正弦量的初相位(角)，简称初相，即0t iti t 0 初相的单位用弧度或度表示，通常在主值范围内取值，即 。 180 i 初相与正弦量计时起点的选择有关。如图 2.2 所示电路，图(a)中，图(b)（中0 i 0。对任一正弦量,初相是允许任意指定的,但对于一个电路中的许多相关正弦量,它们 i 只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位。工程中画波形图时，常把横坐标定为 i 0 i i Im t 2 (a) (b) 图 2. 1 正弦电流的波形 2 2 3 T i Im 0 t i 0 t Im i (a)=0 (b)0 i i 图 2. 2 正弦波示例 而不一定是时间 t，两者的差别仅在于比例常数。t 2.1.2 正弦量间的相位差正弦量间的相位差 正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。而在正弦交流电路中经常遇到 同频率的正弦波，它们仅在最大值及初相上可能有所差别。电路中常引用“相位差”的概 念来描述两个同频率的正弦量之间的相位关系。例如：设有两个同频率的正弦量 111 costUu m 222 costUu m 这两个同频率的正弦量的相位差等于它们的相位之差，如设表示电压与电压之间 12 1 u 2 u 的相位差，则 12 1 t 2 t 21 相位差也是在主值范围之内取值。上述结果表明：同频率正弦量的相位差等于它们的初相 之差，为一个与时间无关的常数。电路中常采用“超前”和“滞后”来说明两个同频率正 弦量相位比较的结果。当时 ,称电压超前电压 ；当时, 称电压 u1滞后0 12 1 u 2 u0 12 电压 ；当时 ,称电压与同相；当时, 称电压与 正交 ；当 2 u0 12 1 u 2 u 2 12 1 u 2 u ,称电压与电压彼此反相 。图 2.3 表示两个不同相的正弦波。 121 u 2 u 也可以通过观察波形来确定相位差，如 2.4 所示。在同一周期内两个波形的极大(小) 值之间的角度值，即为两个正弦量的相位差，先到达极值点的正弦量为超前波。 180 图中所示为电流滞后于电压 。相位差与计时起点的选取、变动无关。在进行相关正 1 i 2 u 弦量的分析时常选取某一正弦量作为参考正弦量，参考正弦量的初相位定义为零。 由于正弦量的初相与设定的参考方向有关，当改变某一正弦量的参考方向时，则该正 弦量的初相将改变，它与其他正弦量的相位差也将相应地改变。 i，u 0 12 u2 i1 t 2 0 u1 u2 t u 图 2. 3 不同相的正弦波 图 2. 4 同频率正弦量的相位差 2.1.3 有效值有效值 周期电流、电压的瞬时值是随时间而变化的，在电工技术中，我们有时并不需要知道 它们每一瞬间的大小，而是将周期电流、电压在一个周期内产生的平均效应换算为在效应 上与之相等的直流量，在这种情况下，就需要为它们规定一个表征大小的特征量，以衡量 和比较周期电流或电压的效应。这一直流量就称为周期量的有效值(effective value)。 周期电流(电压)和直流电流(电压)通过电阻时，电阻都要消耗电能。当交流有效值与 直流相等时，二者做功的平均效果也相同。 设有两个相同的电阻 R，分别通以周期电流 i 和直流电流 I，当周期电流 i 流过电阻 R 时,电阻在一个周期 T 内所消耗的电能为 T dttp 0 T dtRi 0 2 T dtiR 0 2 当直流电流 I 流过电阻 R 时，在相同的时间 T 内所消耗的电能为。TRIPT 2 如果在周期电流的一个周期(或其任意整数倍)的时间内，这两个电阻 R 所消耗的电能 相等，就平均效应而言，这两个电流是等效的，则该直流电流 I 的数值可以表征周期电流 i 的大小，称为周期电流 i 的有效值。令以上两式相等，就可得到周期电流 i 的有效值的定 义式，即 T dtiRTRI 0 22 (2.2) T dti T def I 0 21 上式表明，周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方 根，因此有效值又称为均方根值(root-mean-square value)。上述的定义式是周期量有效值普 遍适用的公式。当电流 i 是正弦量时，可以得到正弦量的有效值与正弦量的最大值(振幅) 之间的特殊关系。即 T im dttI T I 0 22 cos 1 T i m dtt I T0 2 122cos 2 1 mm II707 . 0 2 1 同样，正弦电压的有效值和最大值也存在 。由此可见，正 mm UUU707 . 0 2 1 弦量的有效值为其振幅的倍，与正弦量的频率和初相无关。根据这一关系常将正弦量 2 1 i 改写成如下形式 。 i tIicos2 ,也可用来表示正弦量的三要素。工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额I i 定电流、电压的数值，交流电压表、电流表上标出的数字都是有效值。 2.2 电电阻、阻、电电容及容及电电感中的正弦感中的正弦电电流流 如第一章所述，在关联参考方向下，线性非时变电阻、电容及电感元件的 VCR 分别 为 (2.3)Riu (2.4) dt du Ci (2.5) dt di Lu 在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦波。 2.2.1 电阻元件电阻元件 如图 2.5(a)所示，设电阻元件通有正弦电流，电阻两端的电压为，若 R i R u ，根据欧姆定律得 则有)cos(2 iR tIi RR Riu (2.6)cos(2)cos(2 iRuR tIRtU (2.6)式表明，电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流频率相同、初相相等，波 iu 形如图 2.5(b)所示。比较等式两边的振幅关系应有或，即电阻元 RR RIU22 RR RIU 件的电压有效值和电流有效值应符合欧姆定律。 2.2.2 电容元件电容元件 根据以上所述不难得出电容元件的正弦电压、电流关系。若电容两端电压为 iR uR uR，iR uR iR t 0 (a) (b) 图 2. 5 线性非时变电阻的正弦稳态特性 )cos(2 uCC tUu 由 ，可得 dt du Ci C C )sin(2 uCC tCUi (2.7)90cos(2)cos(2 uCiCC tCUtIi 电容电压、电流的波形如图 2.6(b)所示。(2.7)式表明，电容电压与电流有效值之间的关系 为 或 (2.8) CC CUI C I U C C 而电压与电流的相位关系则为 。由此可见，电容电压滞后其电流的相位为 90 ui 。式(2.8)中的具有与电阻相同的量纲。当时, ，此时电容相当于开 2 C 1 0 C 1 路。 2.2.3 电感元件电感元件 对于电感元件来说，根据 ，则有 dt di Lu L L (2.9)90cos(2)cos(2 iLuL tLItU (2.9)式表明，电感电流的相位滞后电感电压的相位为。电感电流与电 90 iu L i 2 压有效值的关系为 iC uC 0 u uC iC uC，iC t (a） (b） 图 2. 6 线性非时变电容的正弦稳态特性 或 (2.10) LL LIU L U I L L 式(2.10)中具有与电阻相同的量纲。 当时，此时电感相当于短路。L00L 图 2.7 为电感电压、电流波形图。 例例 2.1 设、串联支路中的电流为 A，试求、RLC)30100cos(2 ti R u 、 的表达式。 L u C u 解解 根据 ， , 则 V RR RiuiiR)30100cos(2 tRuR 根据 ， LL LIU 90 iu 所以 V)9030100cos(2 tLuL)60100cos(2 tL 根据 ， CC I C U 1 90 iu 所以 V)9030100cos( 1 2 t C uC )120100cos( 1 2 t C 2.3 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法 2.3.1 复数和常用的表示方法复数和常用的表示方法 如图 2.8 所示，向量复数代数表达示为，式中为虚单位（与FjbaF1j 数学中常用的 等同） 。图中表示复数的大小，称为复数的模，、为复数的实部irabF 和虚部。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用表示，规定幅角的绝对 iL uL uL uL，iL 0 iL t i (a) (b) 图 2. 7 线性非时变电感的正弦稳态特性 值小于 180。 F 图 2. 8 复数坐标 ， （2.11） 22 bar)arctan(a b cosra sinrb 由图可得复数的代数式转化为三角形式：jbaF )sin(cosjrF 根据欧拉公式，将复数的三角形式转化为指数形式： sincos j e j reF 还有极坐标形式： rF 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数，用 F* 表示 F 的共轭复数， 则有；。jbaFjbaF 复数可以进行四则运算。两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数形式或极坐标形 式来进行计算。 如将两个复数； 相除得 11111 rjbaF 22222 rjbaF （2.12）)( 21 2 1 22 11 2 1 r r r r F F 如将复数 乘以另一个复数， j reA 1 tj e 则得 )( 2 tjtjj reereA 如两个复数进行加减运算时，用代数形式计算。 例：， ，则 111 jbaF 222 jbaF 。 )()( 212221 bbaaFF 也可以按平行四边形法则在复平面上作图求得。如图 2.9 所示。 例 2.2 计算 解： 2.3.2 相量的基本概念相量的基本概念 一个正弦量由它的振幅、初相和角频率来确定，其一般表达式为 (2.13)cos()(tFtf m 在正弦稳态电路分析中，各正弦量的角频率都相同，等于交流电源的角频率。下面将证明 正弦量可以用相应的复数来表示，这就是所谓的相量；正弦量的运算可以用相量运算来代 替，使交流电路获得一种类似直流电阻电路的简便计算方法。 设 A 为一个复数，可以用以下几种方式表示 A 21 jaa A =|A| a j e A =|A| a ，分别为复数的实部(real part)、虚部(imaginary)，|A|为其模(modulus)，为其辐角 1 a 2 a (argument)。 若一复指数函数，则根据欧拉公式，可表示为 )( tj mm eFF sincosje j F1 F2 +j O +1 图 2.9 平行四边形法则 5 471025 )226 . 4 063 . 9 ()657 . 3 41 . 3 (2510475jj 61 . 2 48.12 569 . 0 47.12j Fm)sin()cos(tjFtF mm 上式表明，复指数函数取实部即为正弦量。 ReFm (2.14)cos(tFm 由(2.11)式可见 （2.15)Re)cos()( )( tj mm eFtFtfReRe tj m tjj m eFeeF 式中 (2.16) m j mm FeFF 所以正弦量可以用上述形式的复指数函数描述，使正弦量与其实部一一对应起来。复指数 函数中的复数是以正弦量的最大值(振幅)为模，以初相角为辐角的。它是一个与时间 m F 无关的复值常数，定义为正弦量的振幅相量，字母上的小圆点用来表示相量，并与最 m F 大值区分，也可以与一般复数区分。由于正弦量有效值与振幅之间有如下关系， , 同样 称为正弦量的有效值相量。今后凡不加声明，所出FFm2 FFeF j 现的相量均指有效值相量。对于正弦电压、电流有如下对应关系 若 ， 则 ，其对应的相量为。)cos(2 i tIi2Re tjj eIei i i j IIeI i 同样有 (2.17) u j UUeU u 与正弦量相对应的复指数函数在复平面上可用旋转相量表示出来，旋转相量即相量乘 以旋转因子。，其中表示其时旋转相量的位置， tj e tj m tj m eFeF )(j mm eFF 0t 称其为复振幅，是一个随时间变化以角速度不断沿逆时针旋转的因子。即表示复振 tj e 幅在复平面上不断逆时针旋转，这就是复指数函数的几何意义。正弦量是旋转相量在旋转 过程中在正实轴上的投影。其波形如图 2.8 所示。 两个同频率正弦量的旋转相量，其角速度相同，旋转相量的相对位置保持不变(同频 率正弦量的相位差为常量)。因此，当讨论两个正弦量的振幅和相位关系时，无需考虑它 们在旋转，通常只需画出它们在时的位置就可以了，即画出它们的相量图，就完全0t 可以比较他们的振幅大小及相位关系。如图 2.10 所示。 t +j t=0 t=t1 t10 t1 f(t） 图 2.10 旋转相量在实轴上的投影对应正弦波 2.3.3 电阻元件伏安关系的相量形式电阻元件伏安关系的相量形式 1、电阻元件的电压与电流相量关系 如图 2.11（a）所示的电阻元件电路 图 2.11 电阻元件伏安关系的相量形式 当电阻元件流过正弦电流时，稳态下的伏安关系为：)sin( imR tIi )sin( imRR tRIRiu 和 是同频率的正弦量，其相量形式为 R u R i （2.18） RR IRU 或写成 （2.19） iRuR RIU 式（2.18）是电阻元件伏安关系的相量形式，由此我们可得出 （1），即电阻电压有效值等于电流有效值乘以电阻值。 RR RIU （2），即电阻上电压与电流同相位。 iu 2.电阻电路的功率 在任一瞬间，电阻两端电压瞬时值与流过电流瞬时值的乘积称为瞬时功率，用小写字 母 p 表示。波形如图 2.12 所示 由瞬时功率的表达式及曲线图 2.12 可知， ，0p 表明电阻元件在除过零点的任一瞬间均从电源吸取能量，并将电能转化为热能，电阻元件 O p t 图 2.12 功率曲线 ) (2cos1 ) (sin i i 2 mm tIU tIU iup R R RR 是耗能元件。 瞬时功率实用意义不大，通常电路的功率是指瞬时功率在一个周期的平均值，称为平 均功率（也称有功功率） ，用表示，即p 2.3.4 电感元件伏安关系的相量形式电感元件伏安关系的相量形式 1、电感元件的电压与电流相量关系 如图 2.13（a）所示的电感元件电路，设，在正弦稳态下伏安关)sin( imL tIi 系为： 图 2.13 电感元件伏安关系的相量形式 )90sin()sin( imim L L tLItLI dt di Lu 其相量形式为 i mL II （2.20） LL ILjU 或写成 （2.21）)90( iLuL LIU 式（2.21）称为电感元件伏安关系的相量形式，由此我们可得出: ，电感元件的端电压有效值等于电流有效值、角频率和电感三者之积。 LL LIU ，电感上电压相位超前电流相位 90。 90 iu 图 2.13（b）所示的电路给出了电感元件的端电压、电流相量形式的示意图，图 2.13（c）所示的电路给出了电感元件的端电压与电流的相量图。 由式（2.21） ，得 T iR dttIU T P 0 )2cos(1 1 RIIUR 2 ， L I U L L LU I L L 1 记，称之为电感元件的感抗，国际单位制（SI）中，其单位为欧姆（） 。LXL 称为感纳。 LL XB/1 感抗时用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。在电压一定的条件下，感抗 越大，电路中的电流越小，其值正比与频率。有两种特殊情况如下：f 时， 0。即电感元件对高频率的电流有极强的抑制作用，fLXL L I 在极限情况下，它相当于开路。因此，在电子电路中，常用电感线圈作为高频扼流圈。 0 时，0， 0。即电感元件对于直流电流相当于短路。 fLXL L U 图 2.14 感抗随频率变化曲线 图 2.15 功率随频率变化曲线 感抗随频率变化的情况如图 2.14 所示曲线。一般地，电感元件具有通直流隔交流的 作用。 必须注意，感抗是电压、电流有效值之比，而不是它们的瞬时值之比。 例 2.3 一个 =10mH 的电感元件，其两端电压为，Lttusin100)( 当电源频率为 50HZ与 50 kHZ时，求流过电感元件的电流 I。 解解 当 =50HZ时f O t u C i PL 储 放 储 放 14 . 3 10105022 3 fLXL 通过线圈的电流为 A X U I L 5 . 22 14 . 3 1 2 100 当 =50kHZ时f 31401010105022 33 fLXL 通过线圈的电流为 mA X U I L 5 . 22 3140 1 2 100 可见，电感线圈能有效阻止高频电流通过。 2.电感电路的功率 假设电流的初相角 =0，瞬时功率的表达式： i 由表达式可见 p 是一个以 2的角频率随时间交变的正弦量，其变化曲线如图 2.15 所 示。 在第一和第三个 14 周期内，为正值，这表示电感从电源吸收电能并把它转换为电p 磁能储存起来。电感相当于负载。在第二和第四周期内，为负值，表明电感将储存的磁p 场能转换为电能送还给电源，电感起着一个电源的作用。 电感电路的平均功率为： 电感电路的平均功率在一个周期内等于零，故没有能量消耗，也就是说电感从电源吸 收的能量全部送回电源。 2.3.5 电容元件伏安关系的相量形式电容元件伏安关系的相量形式 1.电容电路的电压与电流相位关系 如图 2.16（a）所示正弦稳态下的电容元件,设, 在正弦稳态下的伏)sin( umc tUu 安关系为: tIU tItU iup L L LL 2sin sin2cos2 02sin 11 00 TT tdtUI T pdt T P )90()cos( umum c c tCUtCU dt du Ci 图 2.16 电容元件伏安关系的相量形 其相量形式为 umC UU （2.22） C CUCjI 或写成 （2.23）)90( uCiC CUI 式（2.23）称为电容元件伏安关系的相量形式。由此我们可得出 ，即电容上电流有效值等于电压有效值、角频率、电容量之积； CC CUI ，即电容上电流相位超前电压相位 90。 90 ui 如图 2.16(b)所示为电容元件的电压、电流相量形式的示意图，如图 2.16(c)所示为电 容元件端电压、电流的相量图。 由式（2.13） ，得 ， CI U C C 1 C U I C C 记，称之为电容元件的容抗，国际单位制（SI）中，其单位为 ，其值与 C XC 1 频率成反比；，称之为电容元件的容纳，其单位为 S。 CBC 对于两种极端的情况，有 （1）时，0，0。电容元件对高频率电流有极强的导流作用，f C XC 1 C U 在极限情况下，它相当于短路。因此，在电子线路中，常用电容元件作旁路高频电流元件 使用。 （2）0 时，0。即电容对于直流电流相当于开路。因此，f C XC 1 C I 电容元件具有隔直流通交流的作用。 在电子线路中，常用电容元件作隔离直流元件使用。容抗和容纳随频率 图 2.17 电容随频率变化曲线 图 2.18 功率随频率变化曲线 变化的情况如图 2.17 所示。必须注意，容抗是电压、电流有效值之比，而不是它们 的瞬时值之比。 2.电容电路的功率 假设电压的初相角，瞬时功率的表达式：0 u 瞬时功率的波形如图 2.17 所示可知，在第一和第三个 14 周期内，为正值，这pp 表示电容从电源吸收电能并把它转换为电场能储存起来。在第二和第四周期内，为负值，p 表明电容将储存的电场能转换为电能送还给电源。 电容电路的平均功率在一个周期内等于零，故也没有能量消耗，只与电源进行等量交 换。和电感电路相似。 2.3.6 正弦量和与之相对应的相量的运算规则正弦量和与之相对应的相量的运算规则 正弦量乘以常数、正弦量的微分、积分及同频率正弦量 的代数和，其计算结果仍是一个同频率的正弦量。用相量表 示正弦量实质上是一种数学变换，变换的目的是化简运算。 下面讨论这些运算规则。 1. 同频率正弦量的代数和规则 设有 n 个同频率的正弦量，其和 nk iiiii 21 o j + 1 2 I 1 I 1 2 图 2.19 正弦量的相量图 tUI ttUIuip 2sin cossin2 O t i C u pC 储 放 储 放 由于 )cos(2 kkk tIi2Re tjj k eeI k 2Re tj ke I 若每一个正弦量均用与之对应的复指数函数表示，则 2Re 1 tj eIi 2Re 2 tj eI 2Re tj ke I 2Re tj ne I =Re()2 1 I 2 I K I n I tj e 2Re tj e I 上式对任何时刻都成立，所以 （2.24) 1 II 2 I k I n I n k k I 1 因此同频率正弦量的代数和的相量等于与之对应的各正弦量的相量的代数和。 2. 正弦量的微分规则 正弦量对时间的导数仍是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以 j。 证明： 设正弦电流 ，对之求导，有)cos(2 i tIi dt di ) 2 cos(2 i tI2Re tj e I dt d )2(Re tj e I dt d 2Re tj e Ij 2Re ) 2 ( tj j eeI i 所以的相量为(。同理可得 的高阶导数的相量为。 dt di IIj ) 2 i i n n dt id Ij n )( 3. 正弦量的积分规则 正弦量对时间的积分是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以。j 证明： 设 )cos(2 i tIi 则 dte It I idt tj i 2Re) 2 cos(2 )(2Re tj e j I 所以 的相量为。 同理的重积分的相量为。 idt j I in n j I )( 综合微分和积分规则可见：采用相量表示正弦量，正弦量对时间求导或积分的运算变 为代表它们的相量乘以或除以的运算。这对正弦电流电路的运算带来极大方便，可将j 同频率正弦量的微、积分方程变为代数方程。 例例 2.4 分别写出代表 A， A，ticos3 1 )30cos(22 2 ti A， A， A 的相量。)60cos(23 3 ti)40sin(5 4 ti)60cos(26 5 ti 解解 由正弦量与相量的对应关系，则 A 0 2 3 1 I A 302 2 I 603 3 I A)50cos(5)9040cos(5 4 tti A 50 2 5 4 I A)240cos(26)18060cos(26 5 tti)120(cos26 t A 1206 5 I 例例 2.5 设 A， A，求(1) , )30cos(210 1 ti)45cos(25 2 ti 21 ii (2)，(3) 。 dt di1 dti2 解解 (1) 设 A i 21 ii )cos(2 i tI 其相量为 则 i II , 21 III A )1 (5) 2 1 866 . 0 (104553010jjI 066.1355566 . 8 jj 所以 Aticos266.13 (2) 210Re 301tjj ee dt d dt di 210Re 30tjj eje 210Re )9030(tjj ee A)120cos(210 t 若直接用相量求解 ，则的相量为 3010 1 I dt di1 12010 1 Ij 所以 A)120cos(210 1 t dt di (3) 根据积分规则可得 的相量为 dti2)9045( 12 2 I I j 所以 )135cos(2 5 2 tdti 2.4 电电路定律及路定律及电电路基本元件路基本元件 VCR 的相量形式的相量形式 2.4.1 电路基本元件电路基本元件 VCR 的相量形式的相量形式 1. 电阻元件 当电阻元件中通有正弦电流 iR时，其元件两端的电压为 uR，且有 uR=RiR 令 , uRR UU iRR II 则有 而 iu RR RIU 所以 或 (2.25) RR IRU R U I R R 这样电阻元件的 VCR 可用(2.25)所示的相量形式表示，其相量模型及相量图如图 2.10 所 示。显然电阻元件的电压电流同相位，有效值符合欧姆定律。 2. 电容元件 R I R U R +j +1 iu R I R U 0 (a) (b) 图 2. 20 电阻元件的电压、电流相量 如前所述电容元件时域形式的 VCR，则 CUI CC 90 ui 若令 ， iCC II uCC UU 则有 或 （2.26) CC UCjI Cj I U C C 所以，电容元件的 VCR 可用(2.26)所示的相量形式表示，其相量模型及相量图如图 2.21 所示。 由图可见，电容电流的相位超前电压的相位。 2 3. 电感元件 如前所述电感元件时域形式的 VCR，则， LL LIU 90 iu 若令 ， 则有 uLL UU iLL II 或 (2.27) LL ILjU Lj U I L L 所以，电感元件的 VCR 可用(2.27)所示的相量形式表示，其相量模型及相量图如图 2.22 所示。由图可见，电感电压的相位超前电流的相位为。 2 用相量表示三种基本元件的 VCR 与时域形式用正弦量表示的 VCR 相比，相量形式更 为简单明确。类似的其它电路元件的 VCR 同样可以用相量形式给出。 C U i 0 C I +j +1 C I C U C (a) (b) 图 2. 21 电容元件的电压、电流相量 +j i 0 L U L I +1 L I L U L (a) (b) 图 2. 22 电感元件的电压、电流相量 2.4.2 电路定律的相量形式电路定律的相量形式 正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频率的正弦量，所以可将 KCL 和 KVL 转换为相量形式。 对电路中任一节点，在所有时刻，KCL 可以表示为,根据正弦量的运算法则 n k k i 1 0 1，故其相量形式为 (2.28) n k k I 1 0 同理，沿电路中任一回路，KVL 的相量形式为 (2.29) n k k U 1 0 因此，在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流相量和电压相量写出。因此，在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流相量和电压相量写出。 例例 2.6 在如图 2.23(a)所示的正弦稳态电路中，电流表 A1、A2的读数均为有效值， 求电流表 A 的读数。 解解 将图(a)用其相量形式表示为(b)，由于 RC 为并联联接，设端电压为参考相量，U 其初相令为零。即 则 。A1的读数即为 I1， 0UU 00 0 11 I R U R U R U I A ，所以 A 而 。10 1 I 010 1 I 90 ) 1 ( 2 CUUCj C j U I 因为 A2的读数为 10，所以 A。 9010 2 I10j 根据 KCL A 452101010 21 jIII I 的值为 A 表的读数，=A。图(c)为其相量图。I 1 . 14210 0 +1 +j I 2 I 1 I U (c)(b) 1 I I 2 I C j 1 U (a) A 10A A1 A2 10A 图 2. 23 例 2.6 题图 例例 2.7 电路如图 2.24(a)所示，各电压表的读数均为有效值，试求电压表 V2的读数。 解解 将图(a)用其相量形式表示为图(b)。因为 RL 为串联联接，故设 RL 中的电流为I 参考相量，即 则 0 II 因为 V1=60V 所以 V 0 1 RIIRU 060 1 U 又因为 222 90900jUULILIjILjU 则由 KVL 22213 60060jUjUUUU 60 60 22 2 2 U arctgU 已知 U3=100V，所以， 2 2 2 60100U 2 2 24 6010U V8064006010 24 2 U 因此电压表 V2的读数为 80V。 以上两题均可以根据相量图直接求得表的读数。请读者自己用该方法验证结果。 2.5 复阻抗、复复阻抗、复导纳导纳 在正弦稳态电路的分析中，各支路的电压、电流均为与激励同频率的正弦量，并可变 换成相应的相量。电路中基本元件的 VCR 以及基本定律均可用相量形式表示，为了分析 电路的方便，引入复阻抗、复导纳的概念。 2.5.1 复阻抗、复导纳复阻抗、复导纳 由三种基本元件的 VCR 相量形式，在关联参考方向下 V3 V1 V2 100V 60v L (a) 1 U 1 U 2 U 3 U (b) 1 U +j +1 2 U 3 U I0 (c) 图 2. 24 例 2.7 题图 , , RR IRU CC I Cj U 1 LL ILjU 因而把正弦稳态时电压相量与电流相量之比定义为该元件的复阻抗(complex impedance)， 简称阻抗。记为，即，所以电阻、电容、电感的阻抗分别为Z I U Z ， ， 。RZR C j Cj ZC 11 LjZL 这样三种基本元件的 VCR 相量关系可归结为 （2.30)IZU 式(2.30)常称为欧姆定律的相量形式，其中电压、电流相量为关联参考方向。 复阻抗的倒数定义为复导纳(complex admittance)。记为 Y，简称导纳。 或 Z Y 1 U I Y 电阻、电容、电感的导纳分别为 ， ， G R YR 1 CjYC L j Lj YL 11 因此，基本元件的 VCR 相量关系也可归结为 (2.31) UYI (2.31)式为欧姆定律的另一相量形式。对于仅含线性电阻、电感、电容等元件，但不含独 立源的一端口，在正弦电源激励下，稳态时可以定义该一端口的复阻抗、复导纳。如 0 N 图 2.25 所示。 定义 (2.32) Z Z I U def Z 式中，分别为端口的电压、电流相量。复阻抗的图形符号如图 u UU i II 2.25(b)，的模值称为阻抗的模，它的辐角称为阻抗角。，。阻抗Z Z I U Z iuZ Y U I U I Z I I U (a)(b)(c) N0 图 2. 25 一端口的复阻抗、复导纳 的复数形式为：。其实部，称为电阻，虚部ZjXRZ RZZ Z cosRe 称为电抗。 XZZ Z sinIm 对于单个元件，电阻的阻抗虚部为零，实部即为。电容的阻抗实部为零，虚部为R ，用表示，即，称为电容的容抗，简称容抗。电感的阻抗实部也为 C 1 C X C X C 1 零，虚部为，电感的电抗，简称感抗。显然阻抗具有电阻的量纲。L L XL 同样我们定义一端口的复导纳 （2.33) Yui Y U I U I Z Y 1 Y 的模值称为导纳的模，它的辐角称为导纳角。，。也可表Y Y U I Y uiY Y 示为复数形式 jBGY 的实部，称为电导，虚部，称为电纳。Y GYY Y cosRe BYY Y sinIm 对于三个基本元件它们的导纳分别为 ， R GYR 1 CC jBCjY LL jB L j Lj Y 11 电阻的导纳实部即为电导，虚部为零。电感的导纳实部为零，虚部为R R G 1 ，称为电感的电纳，简称感纳。电容的导纳实部为零，虚部为，称 L BL 1 CBC 为电容的电纳，简称容纳。显然导纳具有电导的量纲。 注意：注意：虽然阻抗和导纳是复数，但它们不是相量，所以不代表任何正弦量。 2.5.2 阻抗、导纳的三种类型阻抗、导纳的三种类型 一般情况下，由(2.32)式定义的阻抗又称为一端口 N0的等效阻抗、输入阻抗或驱动Z 点阻抗，它的虚部和实部都将是外施正弦激励角频率的函数。此时，)(jZ)(R ；的实部称为它的电阻分量，它不一定完全由网络中的电阻所确定，)(jX)(jZ)(R 一般来说它是网络中各元件参数和频率的函数。它的虚部称为电抗分量，它也是网)(X 络中各元件参数和频率的函数。，和之间的关系可以用如图 2.26 所示的阻抗三角RXZ 形表示。 当不同频率的正弦激励作用于时，会使出现下列三种可能的取值。 0 N 1，称阻抗为感性阻抗，阻抗角大于零表明其电流滞后于电压0,0 Z XZ 角。 Z 2，称阻抗为容性阻抗，阻抗角小于零表明其电流超前于电压0,0 Z XZ 角。 Z 3，称阻抗为电阻性阻抗，阻抗角等于零表明其电流与电压同相。0,0 Z XZ 同样，一般情况下，按一端口定义的导纳又称为一端 口的等效导纳，输入导纳或驱动点导纳。它的虚部和实 0 N 部都将是外施激励角频率的函数，此时，可以表示为 Y ，的实部称为它的电)(jY)(G)(jB)(jY)(G 导分量，它是网络中各元件参数和频率的函数；它的虚部 称为电纳分量，也是网络中各元件参数和频率的函)(B 数。，之间关系的导纳三角形如图 2.27 所示。GBY 当为不同值时，有下列三种可能的取值Y 1.，称呈容性，电流超前电压角。0,0 Y BY Y 2.，称呈感性，电流滞后电压角。0,0 Y BY Y 3., 称呈电阻性，电流、电压同相。 0,0 Y BY 如果仅由 R、L、C 元件组成，一定有 ReZ(j)0 或 ，(ReY(j) 0 N 90 Z 或)，当一端口中有受控源时，可能会有 ReZ(j)0 或 90 Y 0 N ，(ReY(j)0 或 的情况发生。 90 Z )90 Y 例例 2.8 电路如图 2.18(a)所示，已知电压源的电压 V，图 301000cos250tuS 中，mH，F，求电路中的电流及各元件的电压。 20R15L100C 解解 首先将图 2.28(a)用相量形式的等效电路表示为(b)。 , 3050 S U20RZR15jLjZL10 1 j Cj ZC 根据 KVL 的相量形式 S U R U L U C U IZRIZLIZC Z X R 图 2. 26 阻抗三角形 Y B G 图 2. 27 导纳三角形 uS uLuR uC i R L C R jL Cj 1 I R U L U C U S U (a) (b) 图 2. 28 例 2.8 题图 CLR S ZZZ U I 101520 30