实验二用MATLAB计算傅里叶变换.doc

实验二 用MATLAB计算傅立叶变换（2课时）一、 实验目的1、掌握用MATLAB计算DTFT及系统频率响应的方法。2、掌握用MATLAB计算DFT和IDFT的方法。3、掌握用DFT计算圆周卷积和线性卷积的方法。二、 实验设备计算机一台，装有MATLAB软件。三、 实验原理和基本操作1用MATLAB计算DTFT对于序列x（n），其离散时间傅立叶变换（DTFT）定义为： (1)序列的傅立叶变换（DTFT）在频域是连续的，并且以=2为周期。因此只需要知道的一个周期，即=0，2，或-，。就可以分析序列的频谱。用MATLAB计算DTFT，必须在-范围内，把用很密的、长度很长的向量来近似，该向量中各个值可用下式表示：w=k*dw=k* （2）其中：d= 称为频率分辨率。它表示把数字频率的范围2均分成K份后，每一份的大小，k是表示频率序数的整数向量，简称为频序向量，它的取值可以有几种方法：通常在DTFT中，频率取-的范围，当K为偶数时，取k如果K为奇数，则取k可以为奇偶两种情况综合出一个共同的确定频序向量k的公式；k= ： （3）上式中表示向下取整。在MATLAB中的向下取整函数为floor，floor（x）的作用是把x向下（向-方向）取整，所以与（3）式等价的MATLAB语句为k （4） 给定了输入序列（包括序列x及其位置向量n），又设定了频率分辨率d及频序向量k，则DTFT的计算式（1）可以用一个向量与矩阵相乘的运算来实现。 （5）如果频率向量表为=,，=k*d,而序列的位置向量为nx=n1：nN，则（5）式中的矩阵的指数部分可以写成-j*nT*，用MATLAB语句表达时，把代以w，转置符号nT换成MATLAB中的相应符号n，则求DTFT的程序可以写成： 例1 求有限序列x=2，-1，1，1的DTFT，其位置向量为nx=0：3。假如取64个频点，画出它在-范围内的幅频和相频特性。程序如下：x=2,-1,1,1;nx=0:3;K=64;dw=2*pi/K;k=floor(-K/2+0.5):(K/2-0.5);% 设定频序向量%w=linspace(-8,8,1000);X=x*exp(-j*dw*nx*k)% 用（1）式计算DTFTsubplot(2,1,1); plot(k*dw,abs(X),% 画幅频曲线subplot(2,1,2) ;plot(k*dw,angle(X),% 画相频曲线2 用MATLA B计算系统频率响应MATLA B中用于求系统频率响应的函数是freqz,其功能是：由给定的系统函数H(Z)的分子和分母的系数向量绘制系统的幅度和相位响应。调用格式：H，w=freqz(b,a,N)，或N缺省H，w=freqz(b,a),此时N取默认值512。H是系统的频率特性，它是一个N元的复数向量。w是数字频率向量，它把0到均分为N份，分辨率为/N，w =0：N-1/N。b和a分别为分子分母多项式的负幂系数向量，即多项式的首项是常数项，以后按e的升幂排列，由此形成的多项式的系数向量。N为所选的频率点数，它决定了频率分辨率的密度。这样求出的频率特性是在0之间的特性，如果要让MATLAB计算全频率0L,则程序会自动给x后面补零,使其长度为N;如果NL,则程序会自动将x截断,取前N个数据。同样，计算离散傅立叶反变换时，调用函数ifft方法为ifft（X）或ifft(X，N)，其输入变元的意义与fft函数相同。例3：长度为4的有限序列：x(0)=2,x(1)= -1,x(2)=1,x(3)=1,求它的DFT。解：x=2,-1,1,1; X=fft(x)运行结果：4用MATLAB计算圆周卷积 圆周卷积定理：设有限长序列x(n)和x(n)的长度分别为N和N，N=maxN, N。x(n)和x(n)的N点DFT分别为 X（k）=DFTx(n), X(k)=DFTx(n).若X（k）= X（k）* X(k)则x(n)与x(n)的N点圆周卷积是x(n)=IDFTX(k)=可以利用此定理和函数fft、ifft计算圆周卷积例4：设x(n)=1，2，3，x(n)=5，4，-3，-2，计算4点圆周卷积y(n)= x(n) x(n)解：写出MATLAB程序如下：x1=1 2 3,x2=5 4 -3 -2X1 =fft(x1 ,4); X2 =fft(x2 ,4);Y= X1 .* X2 ;y=ifft(Y,4)运行结果：5利用圆周卷积计算线性卷积 设x(n)为N点序列，x(n)为N点序列，x(n)和x(n)的线性卷积为y(n)= y(n)为（N+ N-1）点序列。如果N N+ N-1，则N点圆周卷积能代表线性卷积。例5：设x(n)与x(n)是两个四点序列：x(n)=1，2，2，1， x(n)=1，-1，1，-1(1) 求它们的线性卷积y(n);(2) 计算圆周卷积，使得它与y(n)相等。解：线性卷积可以调用conv函数来求。圆周卷积可按例4的方法求。程序如下：x1=1,2,2,1;x2 =1,-1,1,-1;y=conv(x1 , x2 )X1 =fft(x1 ,7); X2 =fft(x2 ,7); Y= X1 .* X2 ;x3 =ifft(Y,7) 运行结果：6分段卷积 当x(n)长度远远大于h(n)时，要采用分段卷积的方法，以减少线性卷积的运算量。分段卷积的方法有重叠保留法和重叠相加法两种。(1) 重叠保留法设h(n)的长度为M，x(n)的长度为Lx，分段后每一段的有效数据的长度为L=N-M+1。编写出实现重叠保留法的函数ovrlpsav如下：function y=ovrlpsav(x,h,N)Lx=length(x);M=length(h);M1=M-1;L=N-M1;H=fft(h,N);x=zeros(1,M1),x,zeros(1,N-1);K=floor(Lx+M1-1)/(L)+1;Y=zeros(K+1,N);for k=0:K-1 xk=x(k*L+1:k*L+N); Xk=fft(xk); Y(k+1,:)=real(ifft(Xk.*H);endY=Y(:,M:N);y=(Y(:); (2) 重叠相加法MATLAB信号处理工具箱中的函数fftfilt.m可实现重叠相加法。它有两种调用格式：1）y=fftfilt(h,x)2）y=fftfilt(h,x,r)其中h代表系统的脉冲响应h(n),x是输入序列。在第一种格式中，程序自动把输入分成每段512个样本。并按512点（如果h(n)的长度比512长，则按h(n)的长度）FFT进行各段的卷积运算。在第二种调用格式中，r是用户指定的FFT长度，而输入x就按这个长度分段。例6：设x(n)=n+1,0n9,h(n)=1,0,-1。分别用ovrlpsav(按N=6)和fftfilt函数求x(n)与h(n)的线性卷积解：MATLAB程序为n=0:9;x=n+1;h=1,0,-1;N=6;y1=ovrlpsav(x,h,N)y2=fftfilt(h,x) 运行结果：四、 实验内容 1、上机运行上面给出的各个例子，记录