小学中高年级学生“用字母表示数”理解水平层次研究).doc

小学中高年级学生“用字母表示数”理解水平层次研究宁波市江东区中心小学 孙红波【摘要】 重视“用字母表示数”的学习不仅有助于学生掌握代数知识和代数方法的精髓，而且有助于发展学生的思维和符号意识。但是学生在学习该知识以前，对它所涵盖的所有意义的理解能力是有限的，并且是存在水平层次上的差异的。我们要正视层次的存在并依据层次，由浅入深、由易到难进行教学。不同年级孩子的理解水平也是不同的，所以要根据孩子的年龄特点制定恰当的教学目标；合理处理教材以帮助学生理解。【关键词】 小学中高年级 用字母表示数 理解水平层次 一、“用字母表示数”理解水平层次的产生。 “用字母表示数”是整个代数知识学习的基础，在小学数学与初中代数之间起着承前启后的作用。现行六套教材对这个知识都只安排了一个单元的一块内容，由于内容少，前后知识间看似又没有太多的联系，教师缺乏对“用字母表示数”学生理解水平层次的细化把握，导致教学层次的划分不清晰，对教学目标的把握不准确等问题。本实验研究通过先后两次进行样本测试，并经过分析、改造，提出了小学中高年级学生“用字母表示数”理解水平层次框架。二、“用字母表示数”理解水平层次的框架。实验选取了两个标准，即：知识内容的难易层次（是以学生参与问题解决的知识点多少或思维含量的多少为标准）和题目结构复杂性的层次（以问题的呈现的方式和阻碍学生问题解决的干扰因素为标准），如：同一水平层次中由于题目结构的复杂性不同，由易到难安排了一组题目，在这里对于知识内容的本质来讲是同一水平层次的，但答题的难易性来讲，却是有层次差异的。同一水平层次内的层次差异可被看成是相同本质下的量变，目的是研究学生对不同呈现方式表现出来的理解水平上的差异。结合这两个方面标准的考虑，通过对四年级孩子的预测结果将“用字母表示数”的理解分成了以下十个水平层次，并将22道题作为测试题，面对四到六年级三个年级学生进行测查。第一水平：求图形算式或数列中的字母的值。这一层次是学生利用已有知识和生活经验求图形或字母的值。通过观察和计算，理解在一个数列或者一个算式中字母（符合、图形）可以表示一个特定的数。第一水平的题：题1： 如果+5=8， 那么=（ ）。题2：如果 + + =60 那么 =（ ）。题3 ：数列2、4、6、M、10 M=（）从学生的测试结果发现，三个年级孩子解决这三题的正确率均为100%，其中关于题1的解题方法孩子们都想到了用“和减另一个加数”，由于数据简单，87%的孩子说是直接看到算式就想到了3。题2有54.3%的孩子是用603的方法通过计算得到的。题3有100%的孩子说是通过观察发现的，其中有两个四年级孩子说M底下盖着一个8，在他看来M就是一块“盖布”。需要说明的是，这里的数列规律如果复杂些，学生的正确率可能会有所降低，但这只是对发现规律本身的问题，而不是对依据规律求数列中字母的值的解题方法问题，对解决此类问题的本质还是不变的，所以在这里我们忽视规律的发现难度。第二水平：给字母的值，求代数式的值。这一层次的题目是理解当字母表示一个确定的数时，可以代入求出含有字母的代数式的具体值，题4：当A=5，则A+5=3+5=8。题5：给一个代数式的值，如：a+b=10，可以忽略这个代数式的每一个字母的具体值，而把它看作一个整体，直接参与运算，求这个整体的3倍的值。虽然这里涉及到了两个未知变量，但可以通过代数式之间的比较消去变量，直接把a+b看成一个数10。题6：虽然未直接给出n的值，但可以根据3333，前求出n的值，再求出n-18的值，也可以直接比较两个代数式，发现后者减数大1，则差要小1。题4：填表A代表5 A代表8 A代表10A+32A3A-8题5：a+b=10,那么(a+b)3=（ ）题6：如果3333，那么（）第二层次题各年级正确率（%）比较。水平层次题号四年级五年级六年级题444.897.5100第二层次题596.697.5100题68497.5100数据说明：由于四年级学生不知道2A表示的值，所以在预测时，我们忽略题4下面两题正确率计算，但正式测试时我们出于调查的完整性考虑，将它列入测试范围。通过测试我们发现四年级孩子对2A和3A的理解有一个很有意思又是普遍的现象：49.4%的孩子认为2A是一个两位数，十位上是2，个位上是A，所以当A=5时，2A就是25，3A-8就是27。另外学生在解答第六题时，四年级仅有16个（18.4%）孩子用先求出n的值，再将n的值代入n-18中计算，其中5人计算n值时算错；在另外的71人（81.6%）都是根据比较两个代数式得到n-18的值，其中4人将差减一，错算成差加一。五年级错误2人，以上两种情况各错一人。5号题错误的均为未做，测后访谈结果为：不知道什么意思。第三水平：利用情境归纳法理解字母可以表示一个特定的任意数。这一层次是结合具体情境，利用归纳的方法和一一对应的思想，理解字母可以表示一个任意数。这里假定的字母已给出，依据给定的格式和方法，由具体的数值类推到字母，表达同一类的数量。题7： 1 只青蛙1张嘴， 2 只青蛙2张嘴， 3 只青蛙3张嘴， m只青蛙（ ）张嘴。题8：学校给每位少先队员发一条红领巾，A校有n名少先队员，该买（ ）条红领巾。第三层次题各年级正确率（%）比较。水平层次题号四年级五年级六年级第三水平题785.2100100题882.8100100我们发现四年级孩子对字母的理解是这样的：题7中，1 只青蛙1张嘴， 2 只青蛙2张嘴， 3 只青蛙3张嘴， m只青蛙（ ）张嘴。有14.5%的孩子不能理解m只青蛙与m张嘴的对应关系，其中11.2%的孩子写成了13张嘴，他们认为m是第13个字母，所以应该是13，8号题的答案就是14了。还有两个孩子写成了“无数”张嘴，因为m、n是“无数”的意思。题8增加了一个干扰量“A校”，但没有一个孩子写成A张嘴，说明他们理解A对应的不是红领巾条数。第四水平：借助情境利用类推法，理解用含有字母的式子可以表示一种既定的数量关系。这一层次是结合具体的情境，利用归纳法或类推法，由给定的数字算式类推到字母算式。在这里既要理解用字母可以表示一个不确定的数，又要理解用含有字母的式子可以表示一种既定的简单数量关系。题9： 妈妈比小明大30岁，小明1岁 妈妈 1+30 岁；小明2岁 妈妈 2+（ ）岁；小明3岁 妈妈 （ ）+（ ）岁 小明a岁 妈妈 （ ）+（ ）岁这里的a岁和前面的1岁、2岁、3岁有什么不同吗？题10： 摆一个三角形用了3根小棒； 摆2个三角形用的小棒根数：（ ）3=6； 摆3个三角形用的小棒根数：（ ）3=（ ）； 摆a个三角形用的小棒根数：（ ）( )；水平层次题号四年级五年级六年级第四水平题9 69.097.5100题1064.498.8100测试发现，四年级孩子虽然有情境的借助和前面数字算式的拐杖，但学生对用含有字母的代数式表示一种数量关系的理解还是有一定困难的。因为这是他们第一次自己定义一个代数式。在题9错误的31%的答案中，用“4+30”表示的占20.7%，他们将a看成顺着3岁下面的一个自然数了。另外的近10%的孩子，对年龄差不变或者用算式表示年龄差不变有困难，写成“小明2岁时，妈妈2+29岁或者2+31岁”等他们把两人的年龄和看成了一个不变的量。在表述a岁和1岁、2岁、3岁有什么不同（不计正确率，只作为信息采集）时，四年级有43.5%的孩子认为“没有不同，都表示年龄”；23.5%的孩子认为有区别“一个是字母，一个是数”；17.2%的孩子认为“a是除了1、2、3以外的所有的数”；5.7%的孩子认为“a是不知道的数，1、2、3是知道的数”；另外有6.9%的孩子认为“是不能大于120、110、100这样的自然数”这些孩子还表述了人是不能永远活着的。这一表述的五年级有34.6%，六年级有47.4%。五年级认为没有区别的占6.2%，认为“比1、2、3大的”占18.6%，同样的表述的六年级有17.1%。第五水平：用含有字母的一步运算代数式表示数量关系。这一层次是借助具体情境，运用简单的基本数量关系这一已有知识，理解用含有字母的式子也可以表示一种数量关系。它必须建立在对基本数量关系的理解基础上的，但又是借助具体情境帮助理解。已经学过用字母表示数的学生会用省略乘号的简便方法表示字母和数、字母与字母相乘关系，体验数学的简洁美。这里题11是只有一个字母的，但是表示的是乘除二级运算关系，题12、13虽然有两个字母，但表达的是比较大小的一级数量关系，三道题从本质上讲都是一步计算的数量关系。所以，将它们放在同一个水平层次可以认为是合理的。题11：一本故事书m元，3本故事书（ ）元，那么200元可以买（ ）本。题12：小明身高a米，老师比小明高b米，老师的身高是（ ）米。题13：食堂原计划每月烧煤a吨，实际节约b吨，实际每月烧煤（ ）吨。水平层次题号四年级五年级六年级第五水平题11 48.398.8100题1题1242.597.5100题1343.798.8100 测试发现四年级孩子对单纯依靠题目提供的情境，用含有字母的代数式来表示基本数量关系是有困难的，在没有系统学习的前提下，正确率不到50%，题12中23.8%的孩子都选择放弃解答，另外的孩子写着“老师的身高是c米”等，访谈了解到他们以为括号里要填一个数，或者不知道可以用a+b这样的算式来表示。对于这个教学难点，如何突破需要我们思考。第六水平： 借助情境理解含有字母的一步运算代数式表示的意义。这一层次借助具体情境，理解给定的一步运算代数式表示的意义。在这一层次里可能存在两个程度差异，即单纯表达是哪两个数量的运算，另一个程度能从整个数量关系上理解运算结果表示的意义。题14：根据图说说算式的意思。每筐a千克 每筐b千克 a+b表示( ) a-b表示( ) 题15：长方形的面积用字母s表示，长用字母a表示，那么sa表示（ ）水平层次题号四年级五年级六年级第六水平题1474.897.5100题1557.598.8100需要说明的是，这里的正确要求仅仅是能说出谁与谁的差（和），谁与谁相除就可以了的。如果从严格要求说出结果表示的意义的，各年级的差异还是很明显的。四年级只有22.7%，五年级有60.5%的孩子，六年级有93.4%的孩子从结果角度去表述。第七水平：脱离情境，用含有字母的一步运算代数式表示数量关系这一层次是学生脱离具体情境，理解用含有字母的一步运算代数式表示两个数量相加、相减、相乘、相除关系及计算公式。根据已有知识，将头脑中用文字描述的数量关系式抽象成用字母表示。但从理解层次上来讲跟理解用字母表示一步运算的数量关系属于同一理解水平的。题16：写出用含有字母的式子。的2倍与的和（ ）n个n相加的和是（ ）题17：用字母a表示苹果的单价，b表示数量，c表示总价。那么c=（ ）、a=( )、b=（ ）。水平层次题号四年级五年级六年级第七水平题165477.885.5题1725.3100100测试发现：学生对题16中的n个n相加错误率很高，孩子们都写成了2n或者n+n,说明这部分孩子对n个n相加的意义是不理解的。题17其实存在两个思维过程，首先是要掌握单价、数量、总价之间的数量关系，其次将头脑中文字的数量关系式转化成字母关系式，这对四年级的上册的孩子来说难度比较大，首先他们对基本数量关系还没有扎实地掌握；再者，这里纯字母的转化对孩子来说又是一个坎，所以出现25.3%的正确率。第八水平：用含有字母的两步运算代数式表示稍复杂的数量关系。这一层次是在掌握用含有字母的一步运算式子表示简单数量关系的基础上在理解上的一个新的提高，理解用含有字母的式子可以表示一种稍复杂的数量关系。这里包含了两次变化的数量关系及其变式，可以说是对用含有字母的代数式的一个多步应用和变式应用，是学生理解用字母表示数量关系顺向理解的最高层次。题18：苏宁公司在5月5日这一天，某品牌的手机十分畅销，上午卖出75部，下午卖出100部，已知每部手机a元，这一天一共收入（ ）元。题19：师傅每小时加工零件a个，徒弟每小时加工零件b个，三小时后师傅比徒弟多加工（ ）个零件？水平层次题号四年级五年级六年级第八水平题1845.392.5100题1925.391.7100从统计数据看，四年级孩子在解答这一层次的问题时是有困难的，首先他们还不习惯用综合算式来解决问题（人教版教材还未涉及到），需要通过分步计算得到结果感到困难，因为这里涉及到字母的参与。五年级的孩子错误大多是因为括号未加等。第九水平：理解含有字母的稍复杂的代数式表示的意义。这一层次是在能用含有字母的代数式表示两次变化数量关系的基础上，对含有字母的两步运算代数式的意义的理解层次。其中还存在两个代数式在意义上容易混淆的东西，即a的2倍与b的和与a、b和的2倍。题20：苹果每筐a千克，香蕉每筐b千克 。 2a+b表示( ) 2（ab）表示( ) 水平层次题号四年级五年级六年级第九水平题2034.5932100同样需要说明的是这里的正确仅仅要求说出两筐苹果和一筐香蕉，下面一题只需要写出一筐苹果和一筐香蕉的两倍就算正确。四年级错误的65.5%的孩子中，有32.2%的孩子写成了2千克的苹果和1千克的香蕉，说明他们对字母本身表示的意义的理解有一定的局限性，他们对于把一个具体的不等于1的数量看成一个整体（字母）再让它参与数量关系是有困难的。第十水平：理解字母可以看成一个一定范围的不确定的变量。这一层次需要理解字母可以表示一定范围的不确定的变量。题21中一组这样的数：a和a+30，它们之间存在一种关联，但a的取值范围应当看成是有限的，。题22与题21相似的地方在于都可以看成动态的变化的概念，不过，这种概念在把握上较题21的区别在于对a2 和2a的意义的把握上，而且在三种取值不同情况下的大小变化。虽然看似题21的思维含量比题22高，题22只需要考虑不同取值就可以了，而题21需要考虑的却是比较抽象的人的寿命，但由于题21这个问题本身与学生的生活经验是有联系的，所以我们也可以将它们看成是一个水平层次的。题21：如果用a表示小红的年龄，用a+30表示小红爸爸的年龄，这里的a可以是任意数吗？为什么？请举例说明。题22：a2和2a哪个大？为什么？请举例说明。水平层次题号四年级五年级六年级第十水平题219.123.594.3题225.733.396.7测试中我们看到回答用a+30表示小红爸爸的年龄，这里的a可以是任意数吗？四年级仅有90.9%的孩子认为可以是任意数，五年级有76.5%的孩子认为可以是任意数；而六年级则只有3.3%的孩子认为可以。回答a2和2a哪个大？五年级54.3%的孩子认为不一定，但其中有21%的孩子能完整列举三种情况；而六年级则有97.4%的孩子认为不一定，且只有一个孩子不能完整列举三种情况。三、得到的启发和教学建议。（一）依据各年级学生理解水平层次的差异，制定恰当的教学目标。如四年级有14.5%的孩子不能理解m只青蛙与m张嘴的对应关系，11.2%的孩子写成了13张嘴，他们认为m是第13个字母，所以应该是13。他们还不能理解字母还可以表示一个不确定的数，跟它对应的也应该是这个字母。五年级的孩子对“字母可以作为一个一定范围内的变量”的理解有困难，但随着孩子年龄的增大，经历的丰富，到六年级就能理解了。所以教学中我们不必要对这一目标有过高的要求。根据学生的年龄特点，给学生能力发展和自我感悟的时间，这对于培养学生的学习兴趣和探究能力也是有益的。（二）对“用字母表示数”的理解需要借助情境。就这一内容，各版本在教学年级上是这样安排：北师大版四下、青岛版四下、苏教版四下；人教版五上、新思维五上，西南版五上。从调查结果看，四五年级孩子均已经具备学习这一知识的能力。从四年级的测试情况看，孩子们对“用字母表示数”的理解反映出具体、直观的、有情境的题正确率比没有情境的、抽象本质特征的题正确率要高很多。如结合具体情境表述含有字母的代数式的意义比单纯用字母表示数量关系正确率要高。教学时切忌“字母”与“内容”脱节，字母的形式特性是造成学生理解和应用的困难所在，必须是抽象的字母获得具体的实际背景的支持。所以还是需要多借助直观的情境帮助对“用字母表示数”的理解。特别是理解“含有字母的代数式”表示一种数量关系，必须要借助具体情境，通过情境由具体数字算式类推到字母算式的过程是教学的基本策略，这个过程中必须使学生理解字母可以表示一个不确定的数，这是理解代数式的基础。（三）教材的呈现顺序特别是导入应遵循学生的理解水平层次。弗莱登塔尔在作为教育任务的数学一书中强调：作为数学任务的数学必须是经过改造的。即：我们在教学时，不能以我们所掌握的知识原型灌输给学生，而是需要依据学生对该知识的理解有计划地改造成有步骤、有层次的教学内容和方法。通过研究表明学生对这一知识的理解的最低层次应该是给字母赋值或给定字母值求含有字母代数式的值。现行的六套教材中只有人教社的教材是以第一水平层次开始呈现的，所以，在教材处理上教师应作适当调整。（四）四年级孩子对用字母表示相乘关系的简写形式的理解可能受到了两位数表征的影响，教学中应该注意新的“形式化”的建立。四年级孩子对2A的理解：49.4%的孩子认为2A是一个两位数，十位上是2，个位上是A，所以当A=5时，2A就是25，这一发现使我们对用字母表示一个相乘关系时的教学处理需要有新的认识。他们对2A的形式理解并不是根据“用字母表示数”的简写方法来理解的，这说明形式化不是在教学进程的最后阶段，而是在学生尚未掌握需要形式化的具体材料之前，对已有形式化的一种定势反应。这块教学需要教师强化，使学生建议新的形式化。（五）同样是学过这一知识的五六年级对知识理解的深刻性与年级的发展方向是一致的，学生对知识的内化需要时间和经历的积累。对比五六年级的正确率对比表。层次一二三四五六七八九十五年级%10097.51009794.598.388.992.293.228.4六年级%10010010010010010092.810010094.3横向看，五年级孩子在前面九个水平层次的理解上除第七层次（都错在n个n相加的和写成了2n或者n+n上）其他都基本都达到了90%以上，但对理解一定范围的变量上理解能力较差，而六年级就相对均衡。纵向看，五六年级对“用字母表示数”的理解水平层次的前九个层次的差异不明显，说明“用字母表示数”这块知识自五年级学习后孩子们一直都在应用它,如解方程、用字母表示数量关系、计算公式等，不易受时间相隔而遗忘的影响。主要差异在于第十层次上，百分率相差65.9%。这是一个很大的差异。说明六年级孩子在思维的广度和深度上都较五年级有较大发展。这一情况还体现在：1在对含有字母的式子理解上，五年级孩子不能很好地理解式子所表示的意义。37.1%的孩子单纯的理解什么除以什么，而并未清楚表述结果表示什么。而六年级的孩子就能很好地表述，仅6.6%的孩子未表述结果的意义。2对“字母可以作为一个变量”的理解。回答用a+30表示小红爸爸的年龄，这里的a可以是任意数吗？五年级有76.5%的孩子认为可以是任何数；而六年级则只有3.3%的孩子认为可以。回答a2和2a哪个大？五年级中54.3%的孩子认为不一定，但其中有21%的孩子不能完整三种情况；而六年级则有97.4%的孩子认为不一定，且只有一个孩子不能完整三种情况。 皮亚杰认为：儿童在学习过程中，知识的增长、智慧的积累不仅仅是量的积累，而必然伴随着认知结构的质的变化。如同个体发育过程中身体结构也日趋复杂一样。所以对“用字母表示数”的理解不是今天教了所有的知识内涵就非得全部理解掌握，而是需要给学生一个“内化发展”的过程。（六）内容虽少，但意义甚大，教师应重视教学内容的思想价值。 “用字母表示数”这一教学内容中，蕴含着“已知与未知”、“特殊与一般”、“具体与抽象”的对立与统一的思想方法。如“用字母表示一种关系”能够简洁地表示实际问题中的数量关系，方便表达一般规律，是对数量关系的“概括性表述”；而在“求含有字母的代数式的值”的学习中，通过将一个字母取定的值代入式子，经运算得到一个确定的代数式值的过程，使学生体会对应的思想，领悟“变化”与“确定”之间的辩证关系等等。总之，在“用字母表示数”的教学中，需要有意识渗透符号化、对应等数学思想，这样，既加深了对“用字母表示数”的理解，又促进他们接触、了解代数的研究方法，初步体会相应的数学思想方法的精神实质，对他们的后续学习有很大的帮助。参考文献：孩子们的数学理解(1116 岁)1981 年John Murray 出版社儿童怎样学习数学美国 科普兰 上海教育出版社小学数学新课程标准把握转折从“算术”走向“代数”人民教育2006.13-14 附：“用字母表示数”理解水平层次调查卷附件 “用字母表示数”理解水平层次调查卷亲爱的同学们，这只是一份教学研究问卷，并无成绩好坏区别，请您认真答卷。答卷时间40分钟 学校 班级 学号 在（ ）里填上适当的数或字母。1、 如果+5=8， 那么=（ ）我是这样想的 。2、如果+=60 那么=（ ）。3、 数列2、4、