工程经济学1[1].资金时间价值1.ppt

第一章 资金的时间价值理论 一、基本概念 1.资金的时间价值 指初始货币在生产与流通中与劳动相结合， 即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的推 移会得到货币增值，用于投资就会带来利润；用于储 蓄会得到利息。 资金的运动规律就是资金的价值随时间的变化而 变化，其变化的主要原因有： （1）通货膨胀、资金贬值 （2）承担风险 （3）投资增值 l 通常用货币单位来计量工程技术方案的得失， 我们在经济分析时就主要着眼于方案在整个寿命期 内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支 出称之为现金流量(cash flow)。 例如，有一个总公司面临两个投资方案a、b， 寿命期都是4年，初始投资也相同，均为10000元。 实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数 据见表1一1。 如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案 呢? 年末a方案b方案 0-10000-10000 1+7000+1000 2+5000+3000 3+3000+5000 4+1000+7000 表表1 1一一1 1 另有两个方案c和d，其他条件相同，仅现金流 量不同。 3000 3000 3000 方案d 3000 3000 3000 6000 1 2 3 4 5 6 方案c 0 1 2 3 4 5 6 0 3000 3000 货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大 小有关，而且与发生的时间有关。由于货币的时间价 值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加 以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。 以下图为例，从现金流量的绝对数看，方案e比 方案f好;但从货币的时间价值看，方案f似乎有它的 好处。如何比较这两个方案的优劣就构成了本课程 要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济 分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。 0 1 2 3 4 400 0 1 2 3 4 方案f 方案e 200 200 200 100 200 200 300 300 400 2.现金流量图（cash flow diagram) 描述现金流量作为时间函数的图形，它 能 表示资金在不同时间点流入与流出的情况 。 是资金时间价值计算中常用的工具。 大 小 流 向 时间点 现金流量图的三大要素 300 400 时间 200200200 1 2 3 4 现金流入 现金流出 0 说明：1. 水平线是时间标度，时间的推移是自左向右， 每一格代表一个时间单位（年、月、日）； 2. 箭头表示现金流动的方向： 向上现金的流入， 向下现金的流出； 3. 现金流量图与立脚点有关。 注意： 1. 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年 初。 2. 立脚点不同,画法刚好相反。 3. 净现金流量 = 现金流入 现金流出 4. 现金流量只计算现金收支(包括现钞、转帐 支票等凭证),不计算项目内部的现金转移(如 折旧等)。 3.利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增 值，用“i”表示。 4.利率利息递增的比率，用“i”表示。 每单位时间增加的利息 原金额（本金） 100%利率(i%)= 计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、 季度来计算，用“n”表示。 广义的利息 信贷利息 经营利润 二、利息公式 （一）利息的种类 设：i利息 p本金 n 计息期数 i利率 f 本利和 单利 复利 1. 单利每期均按原始本金计息（利不生利） i = p i n f=p（1+ i n ） 则有 例题1：假如以年利率6%借入资金1000元,共 借4年,其偿还的情况如下表 年年初欠款年末应付利息年末欠款 年末偿还 110001000 0.06=6010600 2 1060 1000 0.06=6011200 3 1120 1000 0.06=6011800 4 11801000 0.06=601240 1240 2 复利利滚利 f=p(1+i)n i=f-p=p(1+i)n-1 公式的推导如下： 年份年初本金p当年利息i年末本利和f p(1+i)2 p(1+i)n-1 p(1+i)n 1 ppi p(1+i) 2p(1+i)p(1+i) i n1p(1+i)n-2p(1+i)n-2 i n p(1+i)n-1p(1+i)n-1 i 年 初 欠 款 年 末 应应 付 利 息 年 末 欠 款 年 末 偿偿 还还 1 2 3 4 例题2：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4 年,其偿还的情况如下表 年 10001000 0.06=6010600 10601060 0.06=63.601123.600 1123.601191.02 0 1191.021262.481262.48 1123.60 0.06=67.42 1191.02 0.06=71.46 （二）复利计息利息公式 以后采用的符号如下 i 利率； n 计息期数； p 现在值，即相对于将来值的任何较早时间的价值 ； f 将来值，即相对于现在值的任何以后时间的价值 ； a n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末 实现。 g等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入 是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或 收入的差额。 1.一次支付复利公式 0 1 2 3 n 1 n f=？ p (已知） (1+i)n 一次支付复利系数 f = p(1+i)n = p(f/p,i,n) 例如在第一年年初，以年利率6%投资1000元 ，则到第四年年末可得之本利和 f=p(1+i)n =1000 (1+6%)4 =1262.50元 例：某投资者购买了1000元的债券，限期3年，年 利率10%，到期一次还本付息，按照复利计算法，则3 年后该投资者可获得的利息是多少？ i=p(1+i)n1=1000(1+10%)31=331 元 解： 0 123年 f=? i=10% 1000 2.一次支付现值公式 0 1 2 3 n 1 n f (已知 ） p =？ 例如年利率为6%，如在第四年年末得到的本利 和为1262.5元，则第一年年初的投资为多少？ 3.等额支付系列复利公式 0 1 2 3 n 1 n f =？ a (已知） a 1 累 计 本 利 和 （ 终 值 ） 等额支付值年末 2 3 a a n a a a+a(1+i) a+a(1+i)+a(1+i)2 a1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1=f 0 1 2 3 n 1 n f =？ a (已知） 即 f= a+a(1+i)+a(1+i)2+a(1+i)n-1 (1) 以(1+i)乘(1)式,得 f(1+i)= a(1+i)+a(1+i)2+a(1+i)n-1 +a(1+i)n (2) (2) (1) ，得f(1+i) f= a(1+i)n a 例如连续5年每年年末借款1000元，按年利率 6%计算，第5 年年末积累的借款为多少？ 解： 4.等额支付系列积累基金公式 0 1 2 3 n 1 n f (已知） a =？ 5.等额支付系列资金恢复公式 0 1 2 3 n 1 n p(已知） a =？ 根据 f = p(1+i)n = p(f/p,i,n) f =a (1+i)n 1 i p(1+i)n =a (1+i)n 1 i l6.等额支付系列资金恢复公式 0 1 2 3 n 1 n p=？ a (已知 ） 7.均匀梯度系列公式 均匀增加支付系列 a1+(n-1)g a1 a1+g a1+2g a1+(n-2)g 0 1 2 3 4 5 n1 n a1 0 1 2 3 4 5 n1 n （1 ） a2 0 1 2 3 4 5 n1 n （3 ） （n2）g g 0 1 2 3 4 5 n1 n 2g 3g 4g （n1）g （2 ） a2= g 1n ii （a/f,i,n） 图（2）的将来值f2为: f2=g（f/a,i,n1）+g（f/a,i,n2）+ + g（f/a,i,2）+ g（f/a,i,1 ） =g （ 1+i）n1 1 i （ 1+i）n2 1 i g g （ 1+i）2 1 i i （ 1+i）1 1 g i + （ 1+i）1 1 g （1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1（n1）1 = g i （1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1+1 = i g n g i = i g （ 1+i）n 1 i n g i i g （ 1+i）n 1n gi a2= f2 （ 1+i）n1 = iii （ 1+i）n1 gn gign g = i i （ 1+i）n1 = i i （a/f,i,n） = g 1n ii （a/f,i,n） 梯度系数（a/g,i,n） a1 0 1 2 3 4 5 n1 n （1 ） a2 0 1 2 3 4 5 n1 n （3 ） a=a1+a2 0 1 2 3 4 5 n1 n （4 ） 注：如支付系列为均匀减少，则有 a=a1a2 等值计算公式表等值计算公式表: : l 运用利息公式应注意的问题: l 1. 为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的 寿命期初； l 2. 方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计 息期（年）末； l 3. 本年的年末即是下一年的年初； l 4. p是在当前年度开始时发生； l 5. f是在当前以后的第n年年末发生； l 6. a是在考察期间各年年末发生。当问题包括p和 a时，系列的第一个a是在p发生一年后的年末发生； 当问题包括f和a时，系列的最后一个a是和f同时发 生； l 7. 均匀梯度系列中，第一个g发生在系列的第二 年年末。 例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i 。 0123 n-1 n a 0123 n-1 n a=a（1+ i ） 解： 例:有如下图示现金流量，解法正确的有( ) lb: 答案: ac 01 23 456 7 8 a f=? a. f=a(p/a,i,6)(f/p,i,8) b. f=a(p/a,i,5)(f/p,i,7) c. f=a(f/a,i,6)(f/p,i,2) d. f=a(f/a,i,5)(f/p,i,2) e. f=a(f/a,i,6)(f/p,i,1) 例：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确 的有（ ） a（f/a,i,n）= (p/a,i,n)(f/p,i,n) b（f/p,i,n）=(f/p,i,n1)(f/p,i,n2),其中n1+n2=n c（p/f,i,n）=(p/f,i,n1)(p/f,i,n2),其中n1+n2=n d（p/a,i,n）=(p/f,i,n)(a/f,i,n) e 1/（f/a,i,n）=(f/a,i,1/n) 答案: a b 例：若i1=2i2；n1=n2/2，则当 p 相同时有( ) 。 a （f/p，i1，n1）（f/p，i2，n2） c （f/p，i1，n1）=（f/p，i2，n2） d 无法确定两者的关系 答案: a 三、名义利率和有效利率 名义利率和有效利率的概念。 当利率的时间单位与计息期不一致时， 有效利率资金在计息期发生的实际利率。 例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%， 则 3%（半年）有效利率 如上例为 3%2=6% （年）名义利率 （年）名义利率= 每一计息期的 有效利率 一年中计息期数 1.离散式复利 按期（年、季、月和日）计息的方法。 如果名义利率为r,一年中计息n次，每次计息的 利率为r/ n，根据一次支付复利系数公式， 年末本利和为： f=p1+r/nn 一年末的利息为： p1+r/nn p 按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i 为： 例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银 行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为 15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件 优惠些？ 解： 因为i乙 i甲，所以甲银行贷款条件优惠些。 例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%， 每季度计息一次，求10年末的将来值。 f= ？ 1000 0 1 2 3 40 季度 每季度的有效利率为8%4=2%， 用年实际利率求解: 年有效利率i为： i=（ 1+ 2%）41=8.2432% f=1000（f/p，8.2432%，10）=2208（元） 用季度利率求解: f=1000（f/p，2%，40）=10002.2080=2208（元 ） 解： 例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季 度计息,则第3年应偿还本利和累计为( )元。 a.1125 b.1120 c. 1127 d.1172 f=1000(f/p,1%,43) =1000(f/p,1%,12) =1127元 答案: c f= ？ 1000 0 1 2 3 12 季度 解: 例: 已知某项目的计息期为月,月利率为8 ,则项目 的名义利率为( ) 。 a. 8% b. 8 c. 9.6% d. 9.6 解: （年）名义利率= 每一计息期 的有效利率 一年中计息期数 所以 r=128 =96 =9.6% 例：假如有人目前借入2000元，在今后2年中每月等 额偿还，每次偿还99.80元，复利按月计算。试求月有效 利率、名义利率和年有效利率。 解： 99.802000（a/p，i，24) （a/p，i，24)99.8/2000=0.0499 查表，上列数值相当于 i1.5月有效利率 则 名义利率 r1.51218 年有效利率 i（11.5)12119.56 l2.连续式复利按瞬时计息的方式。 l 在这种情况下，复利可以在一年中按无限 多次计算，年有效利率为： 式中：e自然对数的底，其数值为2.71828 下表给出了名义利率为12%分别按不同计息 期计算的实际利率： 复利周期每年计计息数期 各期实际实际 利率实际实际 年利率 一年 半年 一季 一月 一周 一天 连续连续 1 2 4 12 52 365 12.0000% 6.0000% 3.0000% 1.0000% 0.23077% 0.0329% 0.0000 12.0000 % 12.3600 % 12.5509 % 12.6825 % 12.7341 % 12.7475 % 12.7497 % 名义利率的实质：当计息期小于一年的利率化 为年利率时,忽略了时间因素,没有计算利息的利息 。 4.名义利率和有效（年）利率的应用： 1) 计息期与支付期相同可直接进行换算求得 2) 计息期短于支付期运用多种方法求得 3) 计息期长于支付期按财务原则进行计息，即现 金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计 息期分界点处的支付保持不变。 四、等值的计算 （一）等值的概念 在某项经济活动中，如果两个方案的经济效 果相同，就称这两个方案是等值的。 例如，在年利率6%情况下，现在的300元等值于8 年末的300 (1+0.06)8 =478.20元。这两个等值的现金流 量如下图所示。 478.20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 300 i=6% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 i=6% 同一利率下不同时间的货币等值 货币等值是考虑了货币的时间价值。 即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不 一定相等； 反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值 却可能相等。 货币的等值包括三个因素 金额 金额发生的时间 利率 在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在 方案评价、比较中广泛应用。 从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和7%之间 。 6%的表上查到1.689 7%的表上查到1.839 从用直线内插法可得 (二)计息期为一年的等值计算 相同 有效利率名义利率 直接计算 例：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年 末的525元？ 解： f=p(f/p,i,n)525=300(f/p,i,9) (f/p,i,9)=525/300=1.750 计算表明，当利率为6.41%时，现在的300元等值于 第9年年末的525元。 例：当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额 支付为多少时与第6年年末的10000 等值？ a=f（a/f,8%,6）=10000 (0.1363) =1363 元/年 计算表明，当利率为8%时，从现在起连续6年 1363 元的年末等额支付与第6年年末的10000 等值。 解： 10000 0 1 2 3 4 5 6 年 i=8% 0 1 2 3 4 5 6 年 a= ？ i=8% 例：当利率为10%时，从现在起连续5年 的年末等额支付为600元，问与其等值的第0 年的现值为多大？ 解： p=a(p/a,10%,5)=2774.59元 计算表明，当利率为10%时，从现在起 连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值 2274.50元是等值的。 (三)计息期短于一年的等值计算 如计息期短于一年，仍可利用以上的利息 公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三 种情况： l 1.计息期和支付期相同 l 例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起， 连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第 0年的现值为多大？ l 解：每计息期的利率 （每半年一期） n=(3年) (每年2期)=6期 p=a（p/a，6%，6）=100 4.9173=491.73元 计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算 利息，从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付 与第0年的现值491.73元的现值是等值的。 例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入 2000元，在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还 99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率 和年有效利率。 解：现在 99.80=2000（a/p，i,24） （a/p，i,24）=99.80/2000=0.0499 查表，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一 个月，所以月有效利率为1.5%。 名义利率 ： r=(每月1.5%） （12个月）=18% 年有效利率： 2.计息期短于支付期 例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息 ，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元， 问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？ 解： 其现金流量如下图 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度 f=？ 100010001000 l 第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末 支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流 量见下图： 0 1 2 3 4 239 239239 239 0 1 2 3 4 10001000 将年度支付转化为计息期末支付（单位：元） a=f （a/f，3%，4） =1000 0.2390=239元 （a/f，3%，4 ） 239 f=？ 季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 经转变后计息期与支付期重合（单位：元） f=a（f/a，3%，12）=239 14.192=3392元 第二种方法：把等额支付的每一个支付看作为一次 支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来， 这个和就是等额支付的实际结果。 f=1000(f/p，3%，8)+1000(f/p，3%，4)+1000 =3392元 f=a(f/a,12.55