高中数学第5章数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案北师大版.docx

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案 北师大版选修2-2自我校对1ac，bdzabiZ(a，b)ac(bd)i(ac)(bd)i复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR；(2)z为虚数.【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解.【规范解答】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由得x4，经验证满足式.所以当x4时，zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以由得x或x3.所以当x且x4时，z为虚数.再练一题1.(1)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A.3B.1C.1D.3(2)设复数z满足i(z1)32i(i是虚数单位)，则复数z的实部是_.【解析】(1)因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.(2)法一：设zabi(a，bR)，则i(z1)i(abi1)b(a1)i32i.由复数相等的充要条件，得解得故复数z的实部是1.法二：由i(z1)32i，得z123i，故z13i，即复数z的实部是1.【答案】(1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i21)，除法运算注意应用共轭的性质z为实数.(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数.若z1i，则i()A.2B.2iC.2D.2i(2)设复数z满足(z2i)(2i)5，则z()A.23iB.23iC.32iD.32i【精彩点拨】(1)先求出及，结合复数运算法则求解.(2)利用方程思想求解并化简.【规范解答】(1)z1i，1i，1i，i1ii(1i)(1i)(1i)2.故选C.(2)由(z2i)(2i)5，得z2i2i2i2i23i.【答案】(1)C(2)A再练一题2.已知(12i) 43i，则的值为()A.iB.iC.iD.i【解析】因为(12i) 43i，所以2i，所以z2i，所以i.【答案】A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.2.复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变.(1)在复平面内，复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为()A.(0，1)B.(0，1)C.D.【精彩点拨】先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标.【规范解答】(1)复数i.复数对应点的坐标是.复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.(2)i，其对应的点为(0，1)，故选A.【答案】(1)A(2)A再练一题3.(1)已知复数z对应的向量如图51所示，则复数z1所对应的向量正确的是()图51(2)若i为虚数单位，图52中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()图52A.E B.FC.GD.H【解析】(1)由题图知，z2i，z12i11i，故z1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z3i，所以2i，则其在复平面上对应的点为H(2，1).【答案】(1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即zxyi(x，yR)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.设zC，满足zR，且z是纯虚数，求z.【精彩点拨】本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.【规范解答】设zxyi(x，yR)，则zxyii，zR，y0，解得y0或x2y21，又zxyiyi是纯虚数.x，代入x2y21中，求出y，复数zi.再练一题4.满足z是实数，且z3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由.【解】设虚数zxyi(x，yR，且y0)，则zxyixi，z3x3yi.由已知，得因为y0，所以解得或所以存在虚数z12i或z2i满足题设条件.1.(2016全国卷)设复数z满足zi3i，则()A.12iB.12iC.32iD.32i【解析】由zi3i得z32i，32i，故选C.【答案】C2.(2015广东高考)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A.23iB.23iC.32iD.32i【解析】zi(32i)3i2i223i，23i.【答案】A3.(2015安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】1i，由复数的几何意义知1i在复平面内的对应点为(1，1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】B4.(2015山东高考)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A.1iB.1iC.1iD.1i【解析】由已知得i(1i)i1，则z1i，故选A.【答案】A5.(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A.3B.2C.2D.3【解析】(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.【答案】A章末综合测评(五)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a，bC，下列命题正确的是()A.3i5iB.a0|a|0C.若|a|b|，则abD.a20【解析】A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，bR时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|，但ii或i；D选项中，当aR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i210，b24b5(b2)210.复数对应的点在第四象限.故选D.【答案】D10.如果复数z3ai满足条件|z2|2，那么实数a的取值范围是()A.(2，2)B.(2，2)C.(1，1)D.(， )【解析】因为|z2|3ai2|1ai|2，所以a214，所以a23，即a.【答案】D11.若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()A.b2，c3B.b2，c3C.b2，c1D.b2，c1【解析】因为1i是实系数方程的一个复数根，所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.【答案】B12.设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z20，则z是实数B.若z20，则z是虚数C.若z是虚数，则z20D.若z是纯虚数，则z20【解析】设zabi(a，bR)，选项A，z2(abi)2a2b22abi0，则故b0或a，b都为0，即z为实数，正确.选项B，z2(abi)2a2b22abi0，则则故z一定为虚数，正确.选项C，若z为虚数，则b0，z2(abi)2a2b22abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误.选项D，若z为纯虚数，则则z2b20，正确.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2015重庆高考)设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_.【解析】|abi|，(abi)(abi)a2b23.【答案】314.a为正实数，i为虚数单位，2，则a_.【解析】1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.【答案】15.设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_. 【导学号：94210088】【解析】abi53i，依据复数相等的充要条件可得a5，b3.从而ab8.【答案】816.若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_.【解析】设zxyi(x，yR)，则由|zi|可得，即x2(y1)22，它表示以点(0，1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算：(1)(i)2(45i)；(2).【解】(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)i(1i)1i(i)1 0081i1i.18.(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.【解】由得解得将x，y代入得(54a)(6b)i98i，所以所以a1，b2.19.(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】(1)当k25k60，即k6或k1时，z是实数.(2)当k25k60，即k6且k1时，z是虚数.(3)当即k4时，z是纯虚数.(4)当即k1时，z是0.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积.【解】(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，所以SABC1.21.(本小题满分12分)已知复数z1i，z2i，z32i，z4在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知2 ，求点P对应的复数.【解】(1)证明：|z1|z2|z3|z4|，即|OA|OB|OC|OD|，A，B，C，D四点都在圆x2y25上，即A，B，C，D四点共圆.(2)A(0，)，B(，)，(，).设P(x，y)，则(x，y)，若2 ，那么(，)(2x，2y2)，解得点