2018版高三数学第三章导数及其应用试题理.docx

第三章 导数及其应用考点1 导数的概念及运算1.(2014大纲全国，7)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2e B.e C.2 D.11.C由题意可得yex1xex1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.2.(2014新课标全国，8)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A.0 B.1 C.2 D.32.Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.3.(2014陕西，3)定积分(2xex)dx的值为()A.e2 B.e1 C.e D.e13.C(2xex)dx(x2ex)|(1e)(0e0)e，因此选C.4.(2014江西，8)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A.1 B. C. D.14.B因为f(x)dx是常数，所以f(x)2x，所以可设f(x)x2c(c为常数)，所以x2cx22(x3cx)|，解得c，f(x)dx(x2c)dx(x2)dx|.5.(2014山东，6)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2 B.4 C.2 D.45. D由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4xx3)dx|4.6.(2014湖南，9)已知函数f(x)sin(x)，且0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x B.x C.x D.x6.A由定积分0sin(x)dxcos(x)|0cos sin cos 0，得tan ，所以k(kZ)，所以f(x)sin(xk)(kZ)，由正弦函数的性质知ysin(xk)与ysin(x)的图象的对称轴相同，令xk，则xk(kZ)，所以函数f(x)的图象的对称轴为xk(kZ)，当k0，得x，选A.7.(2014湖北，6)若函数f(x)，g(x)满足0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数.给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A.0 B.1 C.2 D.37.C对于，sinxcosxdxsin xdx0，所以是一组正交函数；对于，(x1)(x1)dx(x21)dx0，所以不是一组正交函数；对于，xx2dxx3dx0，所以是一组正交函数.选C.8.(2016全国，15)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.8.2xy10设x0，则x0,f(x)ln x3x,又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1.9.(2016全国，16)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.9.1ln 2 yln x2的切线为：yxln x11(设切点横坐标为x1).yln(x1)的切线为：yxln(x21)，(设切点横坐标为x2).解得x1，x2，bln x111ln 2.10.(2015陕西，15)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.10.(1，1)(ex)|x=0e01，设P(x0，y0)，有()|x=x01，又x00，x01，故P(1，1).11.(2015湖南，11)(x1)dx_.11.0(x1)dx2220.12.(2015天津，11)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_.12.曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形如图，由得A(1，1)，面积Sxdxx2dxx20.13.(2015陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_.13.1.2由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，设抛物线方程为yax2，将点(5，2)代入抛物线方程得a，故抛物线方程为yx2,抛物线的横截面面积为S12(2-x2)dx2(2x-x3)|(m2)，而原梯形上底为1026(m)，故原梯形面积为S2(106)216，1.2.14.(2014江西，13)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.14.(ln 2，2)由题意有yex，设P(m，n)，直线2xy10的斜率为2，则由题意得em2，解得mln 2，所以ne(ln 2)2.考点2 导数的应用1.(2015福建,10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f() B.f() C.f() D.f()1.C导函数f(x)满足f(x)k1,f(x)k0,k10,0,可构造函数g(x)f(x)kx,可得g(x)0,故g(x)在R上为增函数,f(0)1,g(0)1,g()g(0),f()1,f(),选项C错误,故选C.2.(2015陕西,12)对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线yf(x)上2.AA正确等价于abc0,B正确等价于b2a,C正确等价于3,D正确等价于4a2bc8.下面分情况验证,若A错,由、组成的方程组的解为符合题意；若B错,由、组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错,由、组成方程组,经验证a无整数解；若D错,由、组成的方程组a的解为也不是整数.综上,故选A.3.(2015新课标全国,12)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(,1)(0,1) B.(1,0)(1,)C.(,1)(1,0) D.(0,1)(1,)3.A 因为f(x)(xR)为奇函数,f(-1)0,所以f(1)-f(-1)0.当x0时,令g(x),则g(x)为偶函数,且g(1)g(1)0.则当x0时,g(x)()0,故g(x)在(0,)上为减函数,在(,0)上为增函数.所以在(0,)上,当0x1时,g(x)g(1)00f(x)0；在(,0)上,当x1时,g(x)g(1)00f(x)0.综上,得使得f(x)0成立的x的取值范围是(,1)(0,1),选A.4.(2015新课标全国,12)设函数f(x)ex(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A. B. C. D.4.D设g(x)ex(2x-1),yax-a,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线yax-a的下方,因为g(x)ex(2x1),所以当x时,g(x)时,g(x)0,所以当x时,g(x)min2e,当x0时,g(0)-1,g(1)3e0,直线ya(x-1)恒过(1,0)且斜率为a,故ag(0)1,且g(1)3e1aa,解得a1,故选D.5.(2014新课标全国,12)设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2,则m的取值范围是()A.(,6)(6,) B.(,4)(4,)C.(,2)(2,) D.(,1)(1,)5.C由正弦型函数的图象可知：f(x)的极值点x0满足f(x0),则k(kZ),从而得x0(k)m(kZ).所以不等式x02f(x0)2m2即为(k)2m233,其中kZ.由题意,存在整数k使得不等式m23成立.当k1且k0时,必有1,此时不等式显然不能成立,故k1或k0,此时,不等式即为m23,解得m2.6.(2014辽宁,11)当x2,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是()A.5,3 B.6, C.6,2 D. 4,36.C当x(0,1时,得a34,令t,则t1,),a3t34t2t,令g(t)3t34t2t,t1,),则g(t)-9t2-8t1-(t1)(9t1),显然在1,)上,g(t)0时,(x2)exx20；(2)证明：当a0,1)时,函数g(x)(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.7.(1)解f(x)的定义域为(,2)(2,).f(x)0,且仅当x0时,f(x)0,所以f(x)在(,2),(2,)单调递增.因此当x(0,)时,f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2),即(x2)exx20.(2)证明g(x)(f(x)a).由(1)知,f(x)a单调递增,对任意a0,1),f(0)aa10,f(2)aa0.因此,存在唯一xa( 0,2,使得f(xa)a0,即g(xa)0.当0xxa时,f(x)a0,g(x)xa时,f(x)a0,g(x)0,g(x)单调递增.因此g(x)在xxa处取得最小值,最小值为g(xa).于是h(a),由0,单调递增.所以,由xa(0,2,得h(a).因为单调递增,对任意,存在唯一的xa(0,2,af(xa)0,1),使得h(a).所以h(a)的值域是.综上,当a0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是.8.(2016全国,21)设函数f(x)acos 2x(a1)(cos x1),其中a0,记|f(x)|的最大值为4.(1)求f(x)；(2)求A；(3)证明|f(x)|2A.8.(1)解f(x)2asin 2x(a1)sin x.(2)解当a1时,|f(x)|acos 2x(a1)(cos x1)|a2(a1)3a2.因此A3a2.当0a1时,将f(x)变形为f(x)2acos2x(a1)cos x1,令g(t)2at2(a1)t1,则A是|g(t)|在1,1上的最大值,g(-1)a,g(1)3a-2,且当t时,g(t)取得极小值,极小值为g-1-.令-11,解得a(舍去),a.()当0a时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|a,|g(1)|23a,|g(-1)|g(1)|,所以A23a.()当a1时,由g(1)g(1)2(1a)0,知g(1)g(1)g.又|g(1)|0,所以A.综上,A(3)证明由(1)得|f(x)|2asin 2x(a1)sin x|2a|a1|.当0a时,|f(x)|1a24a2(23a)2A.当a1时,A1,所以|f(x)|1a2A.当a1时,|f(x)|3a16a42A.所以|f(x)|2A.9.(2016全国,21)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1x20,则当x(,1)时,f(x)0,所以f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增.又f(1)e,f(2)a,取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0,故f(x)存在两个零点.设a0,因此f(x)在(1,)上单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(2a)时,f(x)0,因此f(x)在(1,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),)上单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,).(2)不妨设x1x2.由(1)知,x1(,1),x2(1,),2x2(,1),f(x)在(,1)上单调递减,所以x1x2f(2x2),即f(2x2)1时,g(x)1时,g(x)0,从而g(x2)f(2x2)0,故x1x2e1x在区间(1,)内恒成立(e2.718为自然对数的底数).11.解(1)f(x)2ax(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)0,有x.此时,当x时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)令g(x),s(x)ex1x.则s(x)ex11.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,)内单调递增.又由s(1)0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1,)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,)内不恒成立.当a时,令h(x)f(x)g(x)(x1).当x1时,h(x)2axe1xx0.因此,h(x)在区间(1,)单调递增.又因为h(1)0,所以当x1时,h(x)f(x)g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a.12.(2016山东,20)已知f(x)a(xln x),aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时,证明f(x)f(x)对于任意的x1,2成立.12.(1)解f(x)的定义域为(0,),f(x)a.当a0时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,x(1,)时,f(x)0时,f(x).0a1,当x(0,1)或x时,f(x)0,f(x)单调递增,当x时,f(x)2时,00,f(x)单调递增,当x时,f(x)0,f(x)单调递减.综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减；当0a2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,)内单调递增.(2)证明由(1)知,a1时,f(x)f(x)xln xxln x1,x1,2.设g(x)xln x,h(x)1,x1,2,则f(x)f(x)g(x)h(x).由g(x)0,可得g(x)g(1)1,当且仅当x1时取得等号.又h(x).设(x)3x22x6,则(x)在x1,2单调递减.因为(1)1,(2)10,所以x0(1,2),使得x(1,x0)时,(x)0,x(x0,2)时,(x)g(1)h(2).即f(x)f(x)对于任意的x1,2成立.13.(2015新课标全国,21)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增；(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围.13.(1)证明f(x)m(emx1)2x.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0；当x(0,)时,emx10,f(x)0.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0；当x(0,)时,emx10,f(x)0.所以,f(x)在(,0)单调递减,在(0,)上单调递增.(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x0处取得最小值.所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1,则g(t)et1.当t0时,g(t)0；当t0时,g(t)0.故g(t)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增.又g(1)0,g(1)e12e0,故当t1,1时,g(t)0.当m1,1时,g(m)0,g(m)0,即式成立；当m1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即emme1；当m1时,g(m)0,即emme1.综上,m的取值范围是1,1.14.(2015北京,18)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0,1)时,f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立,求k的最大值.14.(1)解因为f(x)ln(1x)ln(1x),所以f(x),f(0)2.又因为f(0)0,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明令g(x)f(x)2,则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0xg(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2.(3)解由(2)知,当k2时,f(x)k对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)f(x)k,则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x时,h(x)0,因此h(x)在区间上单调递减.当0x时,h(x)h(0)0,即f(x)2时,f(x)k并非对x(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.15.(2015四川,21)已知函数f(x)2(xa)ln xx22ax2a2a,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,)内恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解.15.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,),g(x)f(x)2(xa)2ln x2,所以g(x)2,当0a时,g(x)在区间,上单调递增,在区间上单调递减；当a时,g(x)在区间(0,)上单调递增.(2)证明由f(x)2(xa)2ln x20,解得a,令(x)2ln xx22x2,则(1)10,(e)20,故存在x0(1,e),使得(x0)0,令a0,u(x)x1ln x(x1),由u(x)10知,函数u(x)在区间(1,)上单调递增,所以0a01,即a0(0,1),当aa0时,有f(x0)0,f(x0)(x0)0,由(1)知,f(x)在区间(1,)上单调递增,故当x(1,x0)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)0；当x(x0,)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)0,所以,当x(1,)时,f(x)0,综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,)内恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解.16.(2015天津,20)已知函数f(x)nxxn,xR,其中nN*,n2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为yg(x),求证：对于任意的正实数x,都有f(x)g(x)；(3)若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证：|x2x1|2.16.(1)解由f(x)nxxn,可得f(x)nnxn1n(1xn1).其中nN*,且n2,下面分两种情况讨论：当n为奇数时.令f(x)0,解得x1,或x1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(,1)(1,1)(1,)f(x)f(x)所以,f(x)在(,1),(1,)上单调递减,在(1,1)内单调递增.当n为偶数时.当f(x)0,即x1时,函数f(x)单调递增；当f(x)0,即x1时,函数f(x)单调递减；所以,f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减.(2)证明设点P的坐标为(x0,0),则x0n,f(x0)nn2.曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0),即g(x)f(x0)(xx0).令F(x)f(x)g(x),即F(x)f(x)f(x0)(xx0),则F(x)f(x)f(x0).由于f(x)nxn1n在(0,)上单调递减,故F(x)在(0,)上单调递减,又因为F(x0)0,所以当x(0,x0)时,F(x)0,当x(x0,)时,F(x)0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)F(x0)0,即对于任意的正实数x,都有f(x)g(x).(3)证明不妨设x1x2.由(2)知g(x)(nn2)(xx0),设方程g(x)a的根为x2,可得x2x0.当n2时,g(x)在(,)上单调递减,又由(2)知g(x2)f(x2)ag(x2),可得x2x2.类似地,设曲线yf(x)在原点处的切线方程为yh(x),可得h(x)nx.当x(0,),f(x)h(x)xn0,即对于任意的x(0,),f(x)h(x).设方程h(x)a的根为x1,可得x1.因为h(x)nx在(,)上单调递增,且h(x1)af(x1)h(x1),因此x1x1.由此可得x2x1x2x1x0.因为n2,所以2n1(11)n11C1n1n,故2nx0.所以,|x2x1|2.17.(2015江苏,19)已知函数f(x)x3ax2b(a,bR).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(,3),求c的值.17.解(1)f(x)3x22ax,令f(x)0,解得x10,x2.当a0时,因为f(x)3x20(x0),所以函数f(x)在(,)上单调递增；当a0时,x(0,)时,f(x)0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在,(0,)上单调递增,在上单调递减；当a0时,x(,0)时,f(x)0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在(,0),上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)b,fa3b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0,从而或又bca,所以当a 0时,a3ac0或当a0时,a3ac0.设g(a)a3-ac,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-,-3),则在(-,-3)上g(a)0,且在上g(a)0均恒成立.从而g(3)c10,且gc10,因此c1.此时,f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a,因函数有三个零点,则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根,所以(a-1)24(1-a)a22a-30,且(-1)2-(a-1)1-a0,解得a(-,-3).综上c1.18.(2015重庆,20)设函数f(x)(aR).(1)若f(x)在x0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3,)上为减函数,求a的取值范围.18.解(1)对f(x)求导得f(x),因为f(x)在x0处取得极值,所以f(0)0,即a0.当a0时,f(x),f(x),故f(1),f(1),从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y(x1),化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa,由g(x)0解得x1,x2.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数；当x1xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为增函数；当xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数.由f(x)在3,)上为减函数,知x23,解得a,故a的取值范围为.19.(2015新课标全国,21)已知函数f(x)x3ax,g(x)ln x.(1)当a为何值时,x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.19.解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)0,f(x0)0.即解得x0,a.因此,当a时,x轴为曲线yf(x)的切线.(2)当x(1,)时,g(x)ln x0,从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,)无零点.当x1时,若a,则f(1)a0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x1是h(x)的零点；若a,则f(1)0,h(1)minf(1),g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.()若a3或a0,则f(x)3x2a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0),f(1)a,所以当a3时,f(x)在(0,1)有一个零点；当a0时,f(x)在(0,1)没有零点.()若3a0,即a0,f(x)在(0,1)无零点；若f0,即a,则f(x)在(0,1)有唯一零点；若f0,即3a,由于f(0),f(1)a,所以当a时,f(x)在(0,1)有两个零点；当3-或a-时,h(x)有一个零点；当a-或a-时,h(x)有两个零点；当-a-时,h(x)有三个零点.20.(2015安徽,21)设函数f(x)x2axb.(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值；(2)记f0(x)x2a0xb0,求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值D；(3)在(2)中,取a0b00,求zb满足D1时的最大值.20.解(1)f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b,x.f(sin x)(2sin xa)cos x,x.因为x0,22sin x2.a2,bR时,函数f(sin x)单调递增,无极值.a2,bR时,函数f(sin x)单调递减,无极值.对于2a2,在内存在唯一的x0,使得2sin x0a.xx0时,函数f(sin x)单调递减；x0x时,函数f(sin x)单调递增；因此,2a2,bR时,函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)fb.(2)x时,|f(sin x)f0(sinx)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|.当(a0a)(bb0)0时,取x,等号成立.当(a0a)(bb0)1,函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(,)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明：m1.21.(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2exxR,f(x)0恒成立.f(x)的单调增区间为(,).(2)证明f(0)1a,f(a)(1a2)eaa,a1,f(0)2aeaa2aaa0,f(0)f(a)0,则m0,g(m)在(0,)上增.令g(x)0,则m0,g(m)在(,0)上减.g(m)ming(0)0.em(m1)0,即emm1.em(m1)2(m1)3,即a(m1)3.m1,即m1.22.(2015山东,21)设函数f(x)ln(x1)a(x2x),其中aR.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由；(2)若x0,f(x)0成立,求a的取值范围.22.解(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(1,),f(x)a(2x1).令g(x)2ax2axa1,x(1,).当a0时,g(x)1,此时f(x)0,函数f(x)在(1,)上单调递增,无极值点；当a0时,a28a(1a)a(9a8).()当0a时,0,g(x)0,f(x)0,函数f(x)在(1,)上单调递增,无极值点；()当a时,0,设方程2ax2axa10的两根为x1,x2(x1x2),因为x1x2-,所以x1-,x2-.由g(-1)10,可得-1x1-.所以当x(-1,x1)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增；当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；当x(x2,)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增；因此函数有两个极值点.()当a0时,0,由g(1)10,可得x11.当x(1,x2)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增；当x(x2,)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述,当a0时,函数f(x)有一个极值点；当0a时,函数f(x)无极值点；当a时,函数f(x)有两个极值点.(2)由(1)知,当0a时,函数f(x)在(0,)上单调递增,因为f(0)0,所以x(0,)时,f(x)0,符合题意；当a1时,由g(0)0,得x20,所以函数f(x)在(0,)上单调递增,又f(0)0,所以x(0,)时,f(x)0,符合题意；当a1时,由g(x)0,可得x20.所以x(0,x2)时,函数f(x)单调递减；因为f(0)0,所以x(0,x2)时,f(x)0,不合题意；当a0时,设h(x)xln(x1).因为x(0,)时,h(x)10 ,所以h(x)在(0,)上单调递增,因此当x(0,)时,h(x)h(0)0,即ln(x1)x.可得f(x)xa(x2x)ax2(1a)x,当x1时,ax2(1a)x0,此时f(x)0,不合题意.综上所述,a的取值范围是0,1.23.(2015湖南,21)已知a0,函数f(x)eaxsin x(x0,).记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点,证明：(1)数列f(xn)是等比数列；(2)若a,则对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立. 23.证明(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x),其中tan ,0.令f(x)0,由x0得xm,即xm,mN*,对kN,若2kx(2k1),即2kx(2k1),则f(x)0；若(2k1)x(2k2),即(2k1)x(2k2),则f(x)0.因此,在区间(m1),m)与(m,m)上,f(x)的符号总相反.于是当xm(mN*)时,f(x)取得极值,所以xnn(nN*).此时,f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0,而ea是常数,故数列f(xn)是首项为f(x1)ea()sin ,公比为ea的等比数列.(2)由(1)知,sin ,于是对一切nN*；xn|f(xn)|恒成立,即nea(n)恒成立,等价于(*)恒成立,因为(a0).设g(t)(t0),则g(t).令g(t)0得t1.当0t1时,g(t)0,所以g(t)在区间(0,1)上单调递减；当t1时,g(t)0,所以g(t)在区间(1,)上单调递增.从而当t1时,函数g(t)取得最小值g(1)e.因此,要使(*)式恒成立,只需g(1)e,即只需a.而当a时,由tan 且0知,.于是,且当n2时,n2.因此对一切nN*,axn1,所以g(axn)g(1)e.故(*)式亦恒成立.综上所述,若a,则对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立.24.(2015福建,20)已知函数f(x)ln(1x),g(x)kx(kR).(1)证明：当x0时,f(x)x；(2)证明：当k1时,存在x00,使得对任意的x(0,x0),恒有f(x)g(x)；(3)确定k的所有可能取值,使得存在t0,对任意的x(0,t),恒有|f(x)g(x)|x2.24.(1)证明令F(x)f(x)xln(1x)x,x(0,),则有F(x) 1.当x(0,)时,F(x)0,所以F(x)在(0,)上单调递减,故当x0时,F(x)F(0)0,即当x0时,f(x)x.(2)证明令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx,x(0,),则有G(x)k.当k0时,G(x)0,故G(x)在(0,)单调递增,G(x)G(0