广义黎曼积分与勒贝格积分.doc

广义黎曼积分与勒贝格积分(2010-10-02 14:03:15) 标签： 教育分类： 工作篇 黎曼积分，广义积分，无界黎曼积分的可积条件之一是函数有界，但是在广义积分里无界函数也可能积分。问题一，高数里的定积分和黎曼积分是不是一个意思？问题二，黎曼积分表示的是函数与坐标轴包围的面积，如果函数无界，黎曼积分不可积，这是不是表示函数与坐标轴包围的面积不能计算或者面积无穷大？问题三，同问题二，广义积分里函数无界也可能积分，那么这个积分结果是函数与坐标轴包围的面积吗？也就是说当函数无界时，函数与坐标轴包围的面积有可能是可以计算的，并且面积的大小可通过广义积分计算？问题四，对上面的总结，黎曼积分的定义是这样的：函数与坐标轴包围的面积采用分割的办法分割，如果分割的极限存在（也可能就是面积可计算？）那么就可黎曼积分。那么既然函数无界也可能够计算面积，那么这个计算结果也应该是黎曼积分里的那个极限，既然极限存在，为什么么会有一个函数必须有界的这个条件呢？，书上那个推导是说无界点领域内f(x)*y(y为分割大小）中由于f(x)无穷大所以f(x)*y为无穷大，这不就变向表示无界函数的面积一定无穷大嘛，这个推导好像理由不充分呀f(x)无穷大，y可以无穷小呀？问题：是不是无界就是一个人为规定的条件，实际上这个条件并不是必要条件问题补充：就是说函数有界只是黎曼可积的研究范围（也就是说黎曼积分只研究有界函数）而不是黎曼可积的必要条件我来帮他解答满意回答1、是；2、3、黎曼积分有两个条件：被积函数有界和积分区间有限，且被积函数可积与黎曼和收敛是等价的，黎曼和收敛时黎曼积分等于某个实数，当上述两个条件不满足时就叫做广义积分，一般分为无界函数积分与无穷限积分（也有既函数无界又积分限无穷的），它们都不是正常积分（黎曼积分），广义积分是可能收敛也可能发散的，它们的几何解释就是：当一个广义积分收敛时这个广义积分等于某个实数，它的几何意义是该积分对应的一个伸向无穷远的不封口的几何图形的面积就等于这个实数的绝对值；4、黎曼积分是对黎曼和取极限，且是对于任意分割，对于任意的界点集的选取，只要让读作“纳姆达”的希腊字母（即所有小的直径中的最大者，这个字母打不上去）趋于零，就有黎曼和无限地接近某个实数，这时才称该函数（黎曼）可积，广义积分都是先将积分区间缩小一点使变成正常（黎曼）积分，（这时它是不存在收敛与发散的问题的，它等于这个积分限的函数），再对那个积分限取普通的极限，使积分区间趋于原来的积分区间，如果这个极限存在就说这个广义积分收敛，否则就说其发散；但愿这样说你懂了。（1）不是一个意思，黎曼积分范围要小f（x）在a,b的定积分存在，我们称f（x）黎曼可积但是通常我们用来算的基本都是一样的（2）面积未必不能计算或者无穷大。可以参考广义黎曼积分。例如某函数存在奇点，它可能广义黎曼可积，也可能不可积。表达式不写了，太麻烦。（3）基本同意，就是那个包围的理解需要排除奇点。（4）如果喜欢把对区间a，b的任意划分理解成坐标函数包围的分割，那么可以接受4的理解函数无界，未必能计算面积啊，有界是黎曼可以的必要条件。（不是广义黎曼积分）对于一个划分（分割），那么这个划分（分割）就确定了，所以不可以说y是无穷小的。也就是说一个分割确定了，那么y是个定值（虽然可以非常小，但是是定值），而f（x）是应变量所以f（x）*y为无穷大。黎曼积分的可积条件之一是函数有界，但是在广义积分里无界函数也可能积分。问题一，高数里的定积分和黎曼积分是不是一个意思？问题二，黎曼积分表示的是函数与坐标轴包围的面积，如果函数无界，黎曼积分不可积，这是不是表示函数与坐标轴包围的面积不能计算或者面积无穷大？问题三，同问题二，广义积分里函数无界也可能积分，那么这个积分结果是函数与坐标轴包围的面积吗？也就是说当函数无界时，函数与坐标轴包围的面积有可能是可以计算的，并且面积的大小可通过广义积分计算？问题四，对上面的总结，黎曼积分的定义是这样的：函数与坐标轴包围的面积采用分割的办法分割，如果分割的极限存在（也可能就是面积可计算？）那么就可黎曼积分。那么既然函数无界也可能够计算面积，那么这个计算结果也应该是黎曼积分里的那个极限，既然极限存在，为什么么会有一个函数必须有界的这个条件呢？，书上那个推导是说无界点领域内f(x)*y(y为分割大小）中由于f(x)无穷大所以f(x)*y为无穷大，这不就变向表示无界函数的面积一定无穷大嘛，这个推导好像理由不充分呀f(x)无穷大，y可以无穷小呀？问题：是不是无界就是一个人为规定的条件，实际上这个条件并不是必要条件问题补充：就是说函数有界只是黎曼可积的研究范围（也就是说黎曼积分只研究有界函数）而不是黎曼可积的必要条件检举 | 2009-9-21 22:46 满意回答 1、是；2、3、黎曼积分有两个条件：被积函数有界和积分区间有限，且被积函数可积与黎曼和收敛是等价的，黎曼和收敛时黎曼积分等于某个实数，当上述两个条件不满足时就叫做广义积分，一般分为无界函数积分与无穷限积分（也有既函数无界又积分限无穷的），它们都不是正常积分（黎曼积分），广义积分是可能收敛也可能发散的，它们的几何解释就是：当一个广义积分收敛时这个广义积分等于某个实数，它的几何意义是该积分对应的一个伸向无穷远的不封口的几何图形的面积就等于这个实数的绝对值；4、黎曼积分是对黎曼和取极限，且是对于任意分割，对于任意的界点集的选取，只要让读作“纳姆达”的希腊字母（即所有小的直径中的最大者，这个字母打不上去）趋于零，就有黎曼和无限地接近某个实数，这时才称该函数（黎曼）可积，广义积分都是先将积分区间缩小一点使变成正常（黎曼）积分，（这时它是不存在收敛与发散的问题的，它等于这个积分限的函数），再对那个积分限取普通的极限，使积分区间趋于原来的积分区间，如果这个极限存在就说这个广义积分收敛，否则就说其发散；但愿这样说你懂了。其他回答 （1）不是一个意思，黎曼积分范围要小f（x）在a,b的定积分存在，我们称f（x）黎曼可积但是通常我们用来算的基本都是一样的（2）面积未必不能计算或者无穷大。可以参考广义黎曼积分。例如某函数存在奇点，它可能广义黎曼可积，也可能不可积。表达式不写了，太麻烦。（3）基本同意，就是那个包围的理解需要排除奇点。（4）如果喜欢把对区间a，b的任意划分理解成坐标函数包围的分割，那么可以接受4的理解函数无界，未必能计算面积啊，有界是黎曼可以的必要条件。（不是广义黎曼积分）对于一个划分（分割），那么这个划分（分割）就确定了，所以不可以说y是无穷小的。也就是说一个分割确定了，那么y是个定值（虽然可以非常小，但是是定值），而f（x）是应变量所以f（x）*y为无穷大。勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别/p-402985550619.html关于黎曼广义积分下的函数列的积分控制收敛定理关于黎曼广义积分下（或黎曼反常积分）的函数列的积分控制收敛定理，内容为 （a,b)上的广义积分，函数列的积分的极限与积分号可以交换的充分条件。(a,b)为有限开区间，或为无限开区间。广义黎曼积分 勒贝格积分是黎曼(Riemann)积分的推广,勒贝格积分理论为有限闭区间上的有界函数是否.广义的黎曼积分和勒贝格积分之间没有直接的包含关系，例如在（0，+）上是广义黎曼可积的（积分值为/2），但f（x）在（0，+）上不是勒贝格可 .十九世纪数学 mathematics in 19th century shijiu shiji shuxue19世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和分析学的.沿着扩展积分概念的方向，后来的数学家得到各种广义积分，最著名的当属20世纪初出现的勒贝格积分。1859年，黎曼研究函数的复零点，提出著名的黎曼猜.绝对可积函数 absolutely integrable function 指绝对值可积的函数.对黎曼积分(包括重积分),可积函数必绝对可积,且函数的绝对值的.对一元函数的广义积分，情形极不相同：f（x）广义可积（即f（x）的广义积分绝对收敛）时f广义可积，反之不一定.对广义重积分，通.广义积分 广义积分是定积分 (黎曼积分) 的推广。广义积分基本上分为两种类型,一种是无穷区间上的.+，f（x）在闭区间a，u上（黎曼）可积，形式积分称为f（x）在a，+）上的广义积分。记，如果存在常数I，使得F（u）=I，则说.广义黎曼积分和勒贝格积分的关系王菊 西南民族学院学报：自然科学版 1998年第24卷第1期给出了不变号的函数的积分和积分的关系，同时给出了若积分存在，则积分也存在。 广义黎曼积分作者: 丁传松 / 李秉彝出版社: 科学出版社出版年: 1989-8本书对Riemann积分作了一点自然和朴素的修改,而得到绝对型和非绝对型的等价积分。黎曼空间指的是一个n维微分流形M,在其上给定了一个黎曼度量g，广义相对论产生以来，黎曼几何获得了蓬勃的发展，特别是.嘉当在20世纪2030年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，由此还发展了线性联络及纤维丛方面的研究。黎曼积分如果函数f(X)在闭区间a,b上定义，而(P,)是这个闭区间的一个带点分割，则和 (f；p,):= f(i)Xi 叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割(P,)的积分和，其中Xi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何0可以找到一个0，使对区间a,b的任何带点分割(P,)，只要分化P的参数(P)，就有|I-(f；p,)|，则称函数f(X)在闭区间a,b上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间a,b上的黎曼积分。 勒贝格积分将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。概念简述定义：设f (x) 是E L q(mE 0，必然存在E 的分划D，使 S(D, f ) -s(D, f ) = imEi ，这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，imEi是Ei上的振幅。它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,高等理科教学,2000.1)即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。 积分介绍积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴0，1闭区间上定义函数：Y=1，当X是无理数；Y=0，当X是有理数。求该函数覆盖的面积。黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。0，1闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。而0，1闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。所以，0，1闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。 背景知识黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称lS积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。 勒贝格（18751941）Lebesgue，Henri Lon法国数学家。1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。18941897年在巴黎高等师范学校学习。1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。1922年任法兰西学院教授，同年被选为巴黎科学院院士。勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。在定义积分时他也采取划分值域而不是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。另外,他在维数论方面也有贡献。晚年他对初等几何学及数学史进行了研究。他的论文收集在勒贝格全集。1 本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。 黎曼积分是数学分析中的重要内容，勒贝格积分是实变函数论中的主要内容。就可积函数的范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更广泛。这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别。若函数在上黎曼可积，则它必在上勒贝格可积，且有相同的积分值，但勒贝格可积不一定黎曼可积。在教材及参考书中，有关黎曼积分与勒贝格积分的区别的内容讲的很少，也缺乏条理性和系统性，而由黎曼积分过渡到勒贝格积分，理解起来也有一定的困难。本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。为便于叙述，我们只考虑上有界函数的积分。一定义（一）黎曼积分的定义1黎曼积分是建立在黎曼和的基础上的，因此简单说明黎曼和的概念。区间a,b上有定义的实值函数f，关于取样分割 ， 黎曼和定义为和式中的每一项是子区间长度 在处的函数值的乘积。直观地说，就是以标记点到轴的距离为高，以分割的子区间的长的矩形的面积。2黎曼积分：有了黎曼和得定义，我们不难想象，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限，当分割越来越细的时候， 中的函数值才会与接近,矩形面积的和与“曲线下方的面积差也会越来越小。总结起来，也就是分割，取界点，做积，求和，取极限。 面给出黎曼积分的严格定义： 设是定义在区间a,b上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对a,b上的任何分割T,以及在其上任意选取的点集，只要 ，就有 则称函数在区间a,b上是黎曼可积，数 成为在区间a,b上的定积分或黎曼积分。记为 = ，那么就有 = =（二）勒贝格积分的定义 积分是现代数学中的一个积分的概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中，因此我们先要了解什么是外侧度？什么是可测集？1. 外侧度：设 (k=1,2, )是有限或可数个开区间，这些开区间覆盖了E，由 (k=1,2, )决定了一个非负广义实数u= ,一切这样的u是下有界的，所以有下确界，把这个下确界称为集E的外侧度，记为 ，即 = .2. 测度 可测集设集E ，偌对任意集X ，都有X= (X )+ (X )则称集E是可测集，这时把称为集E的测度,为mE。3. 勒贝格积分：（1）非负简单函数的积分：设E为中的一个可测集，mE+ ,f在E上几乎处处有界, ，(i=1,2 m.)为E的一个分化，（ij）,而且可测， ， 。上和为 ,下和为 。下积分： ，任一个分划D ，上积分 ，任一个分划D。若 = ，则称f在E上勒贝格积分存在，记为 。若+,则称f在E上勒贝格可积。 （2）非负可测函数的积分：设f(x)是可测集E 上的非负可测函数， 是收敛于f(x)的非负上升简单函数列。称为f(x)在E上的勒贝格积分值，记为。若积分值有限，则称f(x)在E上勒贝格可积。 （3）设f(x)是定义于可测集E 上的可测函数，如果 不同时为，则称 = 是f(x)在E上的勒贝格积分值，若积分值有限，则称f(x)在E上是勒贝格可积。在E上可积的全体函数记为L（E）.从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的。前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。然而就是这一点点差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多为黎曼积分所不具有的良好性质，这些性质从以下几点讨论中我们将会看得更清楚。我们将会看到，勒贝格积分比黎曼积分的应用范围更广泛，使用起来更方便。由此可见，比起黎曼积分来，勒贝格积分是向前迈了一大步。二可积函数的连续性1连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数，比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件。它将函数的可积性归结到了函数的内在性质连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。例如黎曼函数这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的。虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数X= ,当x= (p,q 为既约分数)R(x)= X=0 ，当x=(0,1)及（0，1）内的无理数） 仍然是黎曼可积的，且积分为0。事实上黎曼函数的全体有理数点组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的。 2. 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质。设f是可测集E上的连续函数，则在E上勒贝格可积的充要条件是在E上勒贝格可测。对于函数来说，可测集上的连续函数是可测函数。特别地，有限区间上的连续函数是可测函数。对于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数。从以上我们也可以看出黎曼可积则必是勒贝格可积。那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理：若mE0,有闭集F E，满足m(E-F) ,而f(x)在F上是连续的。从这个定理可以看出，在可测集E上几乎处处有限的可测函数是基本上连续的，或称为是近于连续的。因此勒贝格可积函数是近乎连续的。对应于黎曼可积函数的情形，例如狄利克雷函数0 ，x为有理数 D(x)=1 ，x为无理数 显然是有界函数，但在定义域上无处连续，所以不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的。通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出了。三积分的可加性 这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性。黎曼积分具有有限可加性，即如果函数f在区间a,c和c,d上都可积，那么f在区间a,b上也可积，并且有。但黎曼积分没有可列可加性，即设f(x)在E上可积，E= ,(ij),每个 都可测，则有 = 。对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可列可加性。克服了黎曼积分的缺陷。对于这