全国数学建模竞赛论文2106721.doc

高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘 要本文首先分析了HIV病毒导致CD4丢失的生物机理，由于二者间的相互作用极其复杂，而且无法对各个相互作用进行定量的分析，没有办法以微观生物机制分析的方式对治疗效果进行预测，故采用神经元算法，学习方法采用按时间序列进行数据交错预测，通过训练学习达到目标误差后对整体进行预测，获得合理的数据，并对治疗效果进行了恰当的判断。在选择多种治疗方案时，采用灰色模型GM(1,1)对附件2中数据的变化趋势进行预测，虽然每个病人的测试数据都比较少，但是灰色模型对于贫数据预测较其它模型更为精确，通过累加消除扰动的方式较精确地求出了数据的变化趋势，求出每组数据的灰色指数模型参数a,b后，对其进行残差分析，得到可信的预测结果。通过分组后组内求平均的方式消除病人与病人之间的差异，得出了这4种疗法最多能维持CD4在1000左右（单位为：0.2/ml），还得出CD4在不同范围时四种疗法的优劣排名，其中疗法3在经济和治疗效果方面都比较令人满意。在问题二的基础上，考虑治疗艾滋病的经济因素，分别对治疗效果和经济因素赋一个权重，由双目标规划变为一个单目标规划，然后根据灰色模型中求得的指数方程预测了后十次检测的数据，并对照各个治疗费用分析了不同权值所应该选择的最优治疗方案，根据较优的方法进行了效果预测。在模型的拓展中，采用信号分析的思想，将HIV和CD4分别看作激励和响应，以小信号分析的方式，将部分函数常数化，进而推出了HIV和CD4的表达式的一些特性。关键字：神经网络 灰色模型 一、问题的提出艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。二、问题假设1.不考虑治疗药物相互之间的关系；2.不考虑艾滋病发病中其药物作用的具体机理；3.在比较不同治疗方案时仅以CD4的数据为判别标准；4.假设HIV数值单位可以根据解题需要自行设定；5.假设预测不同治疗方法时检测CD4值的周期为定值（8周）；6.假设病人与病人之间没有免疫水平差别；7.题中所给调查数据值得信赖；三、参数设定：第k次测量时的CD4值；：每个预测模式的初始值；S(k+1)：k+1时刻治疗的成本；：病人对于疗效的权重；f(t)：CD4影响HIV增长的比例系数；：描述CD4对HIV的杀伤程度的函数；四、问题的分析本问题研究的是分组预测的问题，根据艾滋病发病机理，由统计数据中每个艾滋病人的患病情况，综合预测疾病的发展趋势。AIDS的发病学目前仍在探索中，研究表明AIDS的发展取决于病毒和宿主的相互作用。AIDS的进程，也就是免疫缺陷的进程，将决定于CD4+T细胞的绝对数目减少的速率，而后者取决于病毒存在的数量和持续时间、CD4+T细胞的死亡易感性以及CD4+T细胞的补充速率等因素。AIDS的发展过程实质上是HIV对宿主免疫系统的不断破坏和宿主的免疫应答失去清除感染的HIV的动力学过程。几乎可以肯定：HIV和AID发病机制的模式是“普遍性免疫活化细胞增殖活化诱导细胞死亡（AICD）和自主性细胞凋亡（ACAD）细胞丢失”，而不是“HIV的直接杀伤自稳性细胞增殖自主性细胞凋亡（ACAD）细胞丢失”模式。利用这一模式可以解释HIV感染者临床所遇到的许多问题。通俗说来，HIV劫持了宿主细胞两台生死攸关的生物学机器，一台是细胞增殖机器，另一台是细胞死亡机器，以服务于它自身的生存和复制。劫持细胞增殖机器用于病毒自身的复制；劫持细胞死亡机器服务于病毒逃脱宿主免疫系统的攻击。下图为HIV致病机理简图：HIVCD4免疫系统自吞噬效应促进凋亡由于活化而加速产生cd4以抗原形式活化免疫系统无法正常识别反而提供了生存空间图1已证实未经HAART抗病毒治疗的HIV/ AIDS 患者均可被检测出一定的病毒载量(1E21E6拷贝/ml),随着疾病的进展,病毒载量逐渐升高,病毒载量与CD4+T淋巴细胞绝对数量呈负相关(r=-0.899,P0.001)。（见图（2），该图取自中华检验医学杂志2003年3月第26卷第3 期。）图2 上图为HIV/AIDS患者CD4+T淋巴细胞数量与病毒载量的相关性，题目中的数据为进行治疗时HIV与CD4的数据，做二者的散点图。直观地从图线观察，二者成此消彼长的关系，但对二者以HIV+CD4=C（C在此为常数）与HIVCD4=C关系进行验证时，发现这两种关系都与两者的实际关系有差异。验证如下将每个病人的HIV，CD4关系加以验证，如下图，下表： 图3PtID数值名(单位与附录相同)12345相关系数23424CD4Count17822812617199-0.48831HIV5.53.94.74523426CD4Count101151115149120-0.58934HIV4.51.71.72.83.4表1将所有的CD4Count与HIV的值看作两组数据其相关系数为-0.40179，故可见，在药物治疗的情况下，二者不再是明显的线性负相关。其散点图如下图4五、模型的建立与求解问题一：全部调查表每个时段有354组数据，首先取部分病人的医疗调查报告进行分析：图5注：系列1为CD4的数量与时间的关系，由于HIV的数据并没有给出单位，故在此为了对比明显，使得HIV数值全部乘以20计算。由上表大致可以看出CD4与HIV的负相关性，当实行药物治疗后，可以改变CD4和HIV的绝对数量之间的关系，这就造成了上述图形中的出现的CD4与HIV的关系有波折现象，因其本身生物机理的复杂性，但是数据又存在规律性，故可以采用学习的方法进行预测，我们采用神经网络2进行预测，因为我们考虑到神经网络只需要提供特定的输入和输出，不需要考虑隐含层神经元个数以及传递函数，下面详细提出解题思路：首先我们取某一个病人的数据进行分析（第一组）：PtIDCD4DateCD4CountRNADateVLoad23424017805.523424422843.923424812684.72342425171254234244099405表2取4个项目指标（CD4），故取输入层的神经元数为4，输出时要得到4个项目的预测值，故可取输出层的神经元数为4，至于隐含层的神经元数可以在程序中根据误差要求进行反复调整，至于学习阶段，我们采用的算法是多变量时间序列预测，也就是首先输入一组项目的时间序列0 4 8 25的数据作为输入层，然后以4 8 25 40周的数据作为输出层，但是输入的时候要进行数据的初始化，可以应用归一化处理方法、标准化处理方法和主成分分析法，本题采用的是数据的归一化处理，在MATLAB2中用函数premnmx来实现：pn,minp,maxp,tn,mint,maxt=premnmx(p,t)p为178 228 126 171前四次检测的CD4数值，t为228 126 171 99为后四周检测的CD4值。初始化之后再用newff命令创建一前馈BP网络，然后进行网格训练，在此设定学习速率、最大步数以及目标误差：net.trainparam.lr=0.01； net.trainparam.epochs=10000； net.trainparam.goal=0.001；网络的输出为：an=sim(net,pn)；然后再运用train函数训练并仿真后与原数据比较，采用分段线性的方法，并得到如图：图6可以说仿真误差是可取的，然后再对后一采样周数据进行预测，重新创建输入矩阵，可以得到后一个采样周的数据趋势（40-50周）：图7由上图可以确定预测的结果是后来的CD4细胞的发展情况是减少的，上述结果是某一个人向后一位预测的数据，我们还可以预测任意一次的数据,现为了考究其发展趋势，列出由上述模型得到的后三个值，将趋势图列于下图：图8上图就是对于一个病人进行的后四个检测时期体内CD4的预测值，包含了上图中的预测点数值。接下来为了预测整体患者对于这种疗法的适应性，采用整体的神经网络预测，考虑到每个人的检测时间和次数不都一样，故只对前三次的数据进行分析，按照时间序列进行预测，如图：图9上图为我们采用神经网络预测总体患病病人的训练方式，即不采用原始的以时间为序列的预测方式，而是交错递归进行预测，其中的隐含层的函数和神经元个数在此不进行讨论，所得到的T（2）、T（3）、T（4）和T（5）乃至T（n+1）又作为新一轮预测的输入值，然后又可以得到一组新的输出值T（3）、T（4）、T（5）和T（6）乃至T（n+2），如此循环下去，就可以预测任意一年的CD4数量，现在还要考虑输入的初始值，考虑到有些病人并没有像其他病人一样进行了足够的检测，故在此取每一个病人的第一次和第二次检测结果进行输入，取每一个病人的第二次和第三次作为输出，然后采用上述方法进行循环就可以得到第四年、第五年乃至将来n年（在病人生存期以内）的体内CD4个数，在此采用matlab神经网络工具箱进行求解（程序见附录），下图为训练的过程：图10每一次预测可以得到354个数据，但是考虑分析的简便性，我们采用抽样式的方法，取结果的32个数据：病号次数12345678第三次1301111182831338245103第四次1531361425832468261128910111213141516第三次186892113412124533035第四次20511552157145260340641718192021222324第三次1582133202841991964688第四次179230330297218215751142526272829303132第三次18418977932653329191第四次2042081041192796359211表3通过对比第三次和第四次的数据可以知道第四次的CD4数值普遍比第三次高，这说明三种药物的均匀使用对HIV有抑制作用，对CD4数量的增长有促进作用，总体升高，然后我们继续进行预测，也就是分析第五次的数据：病号次数1 2 3 4 5 6 7 8 四次152 135 141 58 314 68 257 127 五次229 107 91 63 415 73 363 162 9 10 11 12 13 14 15 16 四次205 115 53 154 144 257 329 65 五次173 203 57 177 187 936 425 69 17 18 19 20 21 22 23 24 四次180 229 320 289 217 214 75 113 五次195 228 420 358 381 276 79 204 25 26 27 28 29 30 31 32 四次203 208 104 118 273 63 60 210 五次84 150 209 197 258 68 64 188 表4由上表可以看出经过下一轮模拟之后的第四次和第五次的数据有明显的变化，有些病人表现为CD4值下降，而某些病人仍能表现为CD4值在增加。这样的话CD4值下降的病人的药效就不是很明显了，做到这里再作一次模拟预测的话，就可以知道CD4的变化规律，从而预测治疗效果：病号次数12345678五次20684684039250340139六次15364694539360235120910111213141516五次1281581213214289138024六次10214525203123569246351718192021222324五次18321640834636926467192六次130140263300250140531932526272829303132五次691351941822435349173六次361391511561055455165表5由上表可以得到一个趋势，那就是这32个人第六次检查体内CD4数量的变化情况，根据数据的特点可以知道病人整体的CD4数量在减少，此时就比较符合数据散点图，即变化过程中有波折，但是总体趋势还是减少，这样的话这三种药均匀使用的效果在后期不是很明显，故认为在测试后的治疗应该提前终止治疗并且尝试选择其他药物进行治疗。上述结论的提出是建立在只考虑CD4的基础上，但是实际中病人的治疗情况还应该根据病毒数量进行判别，故在此还应该考虑HIV数据的发展情况,由附表1中所给HIV的数据变化，随机抽取几组HIV变化数据，可以得到相关信息：图11由上述几个简单的抽样图形可以知道HIV大致经过一个先增后减的过程，与CD4呈一定的负相关，在此恰与上述结论相一致。问题二：（此问题中CD4的量为log(CD4count+1)）通过观察已有数据的图像（如图5）可以看出，CD4的曲线除了呈一定的趋势增长或者减少外，还存在着一定的波动，由于HIV致病的机理复杂，无法从理论上分析波动的来源和大小，由于每个病人在接受每种治疗时测量的数据较少（1到7次之间），故采用灰色模型4对治疗效果进行预测。所谓灰色系统是指即含有已知信息又含有未知信息的系统.灰色系统的重要的组成部分之一的“灰色预测与决策”有着广泛的应用，作为一种预测模型，我们介绍其中应最为广泛的GM(1,1)模型.这种预测利用连续的灰色微分模型，可对系统的发展变化进行全面的观察分析，并作出长期的预测。传统的预测方法，建立的是离散的递推模型，不能对系统作长期预测.利用灰色预测方法，目前已经完成多项重大项目，其预测精度之高是其他预测方法所不能比拟的。通过该模型以累加数据进行预测的模式，在尽量减少波动影响的情况下，求得曲线的变化趋势，预测治疗效果。给定时间序列的值。为削弱时间序列的随机性使得规律性更加明显，采用一次累加： （1）GM（1，1）的模型是微分方程 （2）其中、为待定参数，可用MoorePenrose广义逆矩阵的办法求得，过程如下。取将方程（2）离散化，得 （3）令从而（3）化为 （4）以代入（4）得 （5）记则（5）可写成 （6）方程（6）有两个未知数N个方程，易见它是矛盾方程，其最小二乘解即为、的数值，于是 （7）其中是的广义逆，代入（7）得 （8）从而求出了方程（2）的解称为时间响应函数，易见（2）的解为 （9）其中为待定初始值，为此以代入（9）得 （10）从而解出为 （11）代入（10），可得 （12）以上给出了预测方程的求解过程，利用即可还原为预测值的大小。求得预测数据后，对原始数据进行残差分析1和精度检验1，采用了如下方法进行分析:1.求残差均值（即GM估计值x0 与实际值x0 之差的平均值）2.后验差比值： c=S 2 /S 1 （，c0表示CD4会减少，a0表示CD4会增加，a越小说明该疗法越有效。由图可以看出四种疗法都最多将log(CD4+1)的指维持在3左右，而且并非每一个个体都可以维持在3左右。为了考察这四种疗法在对于不同CD4量的情况下的治疗效果，我们按照CD4的变化范围重新对数据进行分组求平均值，得到如下结果：疗法分组灰色模型参数a灰色模型参数b该组CD4均值1A0.0452.3551.551B0.0983.2572.884C0.0934.2283.8582A0.0912.1241.465B0.0993.4032.840C0.0734.2293.8663A-0.1112.4171.699B0.0763.4252.806C0.0684.3333.9204A0.1182.3801.528B0.0553.4982.776C0.0444.3053.800表7从该表中我们可以看出，在CD4量比较少时（大约1.5左右），疗法3最有效，在CD4大于2.7后，疗法4最有效。四种疗法的优劣排序如下表(A优于B优于C优于D)：CD4疗法1.562.833.861BCD2CDC3ABB4DAA表8第三问：此问题是在问题二的基础上添加了经济限制，这样就可以考虑分别给效果和经济消耗赋一个权值，首先根据问题二中对每一种治疗方案都有一个表达其总体效果的函数表达式，并且是由灰色预测所得到的指数方程：其中为第k次测量时的CD4值，而则是每个预测模式的初始值，我们根据数据的特点分为3类初始值，分别对应与不同的数据变化方式，现把初始值对应的上述表达式的参数列表于下：初始值X(0)1.56 治疗方案1234a值0.05 0.09 -0.11 0.12 b值2.35 2.12 2.42 2.38 初始值2.83 治疗方案1234a值0.10 0.10 0.08 0.06 b值3.26 3.40 3.42 3.50 初始值3.86 治疗方案1234a值0.09 0.07 0.07 0.04 b值4.23 4.23 4.33 4.30 表9我们认为艾滋病对于病人的疗效的体现就是CD4值的增减情况，而每一个检测时间段都对应着一个CD4值X(k+1)，同时也对应着这个时刻治疗的成本S(k+1)，对于治疗方案和相应药物的治疗费用全部给出：药物名称zidodidzalnevir日费用（美元）1.60.851.851.2表10上述表格为不同药物所对应的日费用，而题中给出了检测病人体内CD4的周期为8周左右，为了计算了简便，可以认为检测周期就为8周，固由此可以得到一个周期内每个治疗方案的总费用：治疗方案第一种68.68 周 费 用第二种193.2第三种137.2第四种204.4表11根据上述四个指数方程，我们取一个CD4初始值为1.56的数据模型进行分析预测，首先费用是一个线形关系， 取前十次的检测效果进行分析，其CD4值的总体趋势是减少的，药物作用只是延缓CD4数量的减少，根据上述CD4值的预测表达式可以得到：检测次数12345678910第一种治疗CD4数量2.22 2.11 2.01 1.91 1.81 1.73 1.64 1.56 1.49 1.41 第二种治疗CD4数量1.89 1.73 1.58 1.45 1.32 1.21 1.10 1.01 0.92 0.84 第三种治疗CD4数量2.74 3.06 3.41 3.81 4.25 4.75 5.30 5.92 6.60 7.37 第四种治疗CD4数量2.07 1.83 1.63 1.44 1.28 1.13 1.01 0.89 0.79 0.70 表12上述就是预测十次检测每种治疗方案所得的CD4值，这符合第二问对四种疗法优劣分析的第一种情况，由表可以知道只有第三种治疗是使得CD4数值升高的，这样的治疗方案是可行的，但是在衡量经济费用时应该取一个可以相互比较的概念进行分析，经过考虑，我们认为衡量治疗的效果的指标应该改为CD4的平均下降速度，下降速度慢的说明这种疗法更能缓解病情，如果下降速度为负数的则说明这种疗法能够对病毒有一定的抑制作用，在经济与CD数值之间取一个权重，表示病人对疗效的追求，越大则疗效越好。其中经济费用分别为：然后再给出平均下降速率表达式：对于整体效果我们认为权重在这个要求之间是平衡作用，应取：CD4数值越高越好，费用越少越好，由于附表二中CD4取值log(CD4+1)，故（）才是CD4实际数值.在此，我们讨论初始值为2.83的预测情况：检测次数12345678910下降速率第一种治疗CD4数量2.83 2.56 2.32 2.10 1.90 1.72 1.55 1.41 1.27 1.15 0.17第二种治疗CD4数量2.97 2.68 2.43 2.20 1.99 1.80 1.63 1.47 1.33 1.21 0.18第三种治疗CD4数量3.07 2.83 2.62 2.41 2.23 2.06 1.90 1.75 1.62 1.49 0.16第四种治疗CD4数量3.23 3.04 2.87 2.70 2.54 2.39 2.26 2.12 2.00 1.88 0.13表13由上表可以看出第四种治疗的效果最好（下降速率慢，可以缓解病情），其费用也是最多，为20440美元，而第三种治疗的效果也是比较满意的，仅次于第四种，但是其费用是比较低的，为13720，假设某个病人是对追求费用节省，则应该选择第一种治疗方案，此时=0，如果追求治疗效果，应该选择第四种，此时=1，如果同时追求两者，设定=0.5，通过上述的max表达式可以知道应该选择第三种治疗效果。至此我们通过在问题二的数据预测的基础上，考虑了经济费用这个附加条件，并且与疗效这个制约关系之间提出了权重分布的概念，比较合理的分析了预测的方案。六、模型的评价与拓展根据已有的研究成果，可以看出HIV与CD4之间的相互作用很复杂，以下图为例，HIV既有通过活化免疫系统而使CD4增加的效应，也有通过释放表达蛋白而活化诱导细胞死亡（AICD）和自主性细胞凋亡（ACAD）而使CD4减少的效应。HIV偏爱感染活化的CD4,而CD4对HIV亦有杀伤作用，HIV通过自身变异使得CD4不能对其进行有效的识别从而达到了加速生物克隆删除机制（AICD，ACAD）的目的。HIVCD4免疫系统自吞噬效应促进凋亡由于活化而加速产生CD4以抗原形式活化免疫系统无法正常识别反而提供了生存空间图14由以上关系我们可以得到如下的微分方程，其中：h(t)为描述HIV量的函数，c(t)为描述CD4量的函数，f(t)为CD4影响HIV增长的比例系数，可理解为HIV通过CD4生殖的传递函数，1、2号药物就是通过阻止HIV的DNA复制来阻止HIV的增长，其作用影响就包含在内，是描述CD4对HIV的杀伤程度的函数，与HIV的变异速度呈负相关；是描述HIV对CD4杀伤程度的函数，其生物原理主要为（AICD，ACAD），是描述HIV通过免疫活化而增加CD4的程度的函数，其生物原理为免疫系统活化，以下简称活化程度。局限于对HIV与CD4的生物机理的了解，以及为了将微分方程控制在可以解决的范围内，我们用由算子简化来的函数， ，来描述该问题：第一个方程描述了HIV的增长量与其生长空间成正比，并受生殖传递函数的影响。第二个方程描述了CD4的增长量与:1. HIV对其杀伤量，该杀伤量与HIV数量成正比,受杀伤程度的影响；2. 免疫活化的影响，免疫活化程度与HIV数量成正比，并受活化程度影响；采用信号分析的思想，将HIV看作是激励，CD4看作响应，通过微观机理分析求出二者之间的传递关系。由于, , 无从知晓，我们通过小信号（小变化区间）分析，将一些函数常数化，再通过对对这些常数化的函数的分段（不同小变化区间）分析，进而描述和预测h(t),c(t)。由于HIV和CD4相互制约的关系，以及医学界已经取得的结果表明，二者呈现此消彼长的关系。通过微分方程可以看出， 越大，HIV增长越快，越小，CD4减少越快，此种情况可以认为病情趋于恶化，反之亦可类推好转。同过CD4以及HIV的量也可对病情时期进行估计：。其中，K1，K2 为常数，实际上是对原式中函数的