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文档简介
常考问题12空间中的平行与垂直真题感悟1(2013安徽卷)在下列命题中,不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理答案A2(2013广东卷)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A若,m,n,则mn B若,m,n,则mnC若mn,m,n,则 D若m,mn,n,则解析A中,m与n可垂直、可异面、可平行;B中m与n可平行、可异面;C中,若,仍然满足mn,m,n,故C错误;故D正确答案D3(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A且lB且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l解析假设,由m平面,n平面,则mn,这与已知m,n为异面直线矛盾,那么与相交,设交线为l1,则l1m,l1n,在直线m上任取一点作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面,所以l1l.答案D4(2013江西卷)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么mn等于()A8 B9 C10 D11解析如图,CE平面ABPQ,CE平面A1B1P1Q1,CE与正方体的其余四个面所在平面均相交,m4,取CD的中点G,连接EG,FG,则易证CDEG,CDFG,所以CD平面EFG,又ABCD,所以AB平面EFG,故平面BPP1B1平面EFG,EF平面BPP1B1,且EF平面AQQ1A1,EF与正方体的其余四个面所在平面均相交,n4,故mn8,选A.答案A考题分析题型选择题、填空题、解答题难度低档线、面位置关系的判断中档线面平行关系与垂直关系的证明.1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a,b,aba.(2)线面平行的性质定理:a,a,bab.(3)面面平行的判定定理:a,b,abP,a,b.(4)面面平行的性质定理:,a,bab.2平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以要注意转化思想的应用,以下为三种平行关系的转化示意图3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m,n,mnP,lm,lnl.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性质定理:,l,a,ala.4垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理:两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面,当题目中有面面垂直的条件时,一般都要用此定理进行转化.热点一空间线面位置关系的判断例1 (1)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()Al1l2,l2l3l1l3Bl1l2,l2l3l1l3Cl1l2l3l1,l2,l3共面Dl1,l2,l3共点l1,l2,l3共面(2)已知两条直线m,n,两个平面,给出下面四个命题:mn,mn;,m,nmn;mn,mn;n,mn,m.其中假命题的序号是()A B C D解析(1)当l1l2,l2l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1l2,l2l3l1l3,故B正确;当l1l2l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确(2)因为,m,n,所以可能有mn,也可能有m与n异面,故错;mn,m,则可能有n,也可能有n,故错易知正确答案(1)B(2)D规律方法 正确理解基本概念,学会用三种语言表达公理、定理并做到真正理解是解决此类题目的关键训练1 (1)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则下列命题中假命题的序号是_过点P有且仅有一条直线与l,m都平行;过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直;过点P有且仅有一条直线与l, m都相交;过点P有且仅有一条直线与l,m都异面(2)设l是直线,是两个不同的平面()A若l,l,则B若l,l,则C若,l,则lD若,l,则l解析(2)利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法设a,若直线la,且l,l,则l,l,因此不一定平行于,故A错误;由于l,故在内存在直线ll,又因为l,所以l,故,所以B正确;若,在内作交线的垂线l,则l,此时l在平面内,因此C错误;已知,若a,la,且l不在平面,内,则l且l,因此D错误答案(1)(2)B热点二空间中的平行与垂直关系例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABAD,BAD60,E,F分别是AP,AD的中点求证:(1)直线EF平面PCD;(2)平面BEF平面PAD.证明(1)如图,在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD,BAD60,所以ABD为正三角形因为F是AD的中点,所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.规律方法 在立体几何的平行关系问题中,“中点”是经常使用的一个特殊点,通过找“中点”,连“中点”,即可出现平行线,而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以通过计算的方式证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直,其中要特别重视两个平面垂直的性质定理训练2 (2013临沂二模)如图,AD平面ABC,ADCE,ACADAB1,BAC90,凸多面体ABCED的体积为,F为BC的中点(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:平面BDE平面BCE.证明(1)取BE的中点G,连接DG,GF,则GF綉EC,又AD平面ABC,BAC90,则BA平面ACED,又VABCEDVB-ACEDSACEDAB(1CE)11.CE2,AD綉CE,AD綉GF.四边形ADGF为平行四边形,AFDG,而AF平面BDE,DG平面BDE,AF平面BDE.(2)ABAC1,F为BC的中点,AFBC,又AD平面ABC.CEAD,EC平面ABC,AF平面ABC,AFEC,又BCECC.AF平面BCE,又DGAF,DG平面BCE,而DG平面BDE,平面BDE平面BCE.热点三空间几何中的“翻折”问题例3 如图,在ABC中,B,ABBC2,P为AB边上一动点,PDBC交AC于点D,现将PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥A-PBCD的体积最大时,求PA的长(2)若点P为AB的中点,E为AC的中点,求证:ABDE.(1)解令PAx(0x0,f(x)单调递增;当x时,f(x)0,f(x)单调递减所以当x时,f(x)取得最大值故当VA-PBCD最大时,PA.(2)证明设F为AB的中点,如图所示,连接PF,FE,则有EF綉BC,PD綉BC.所以EF綉PD.所以四边形EFPD为平行四边形所以DEPF.又APPB,所以PFAB,故DEAB.规律方法 (1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变,哪些不变,抓住翻折前后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决训练3 平面图形ABB1A1C1C如图所示,其中BB1C1C是矩形,BC2,BB14,ABAC,A1B1A1C1,现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图所示的空间图形对此空间图形解答下列问题:(1)证明:AA1BC;(2)求AA1的长;(3)求二面角A-BC-A1的余弦值(向量法)(1)证明取BC,B1C1的中点分别为D和D1,连接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C为矩形知,DD1B1C1.因为平面BB1C1C平面A1B1C1,所以DD1平面A1B1C1.又由A1B1A1C1知,A1D1B1C1.图1故以D1为坐标原点,可建立如图1所示的空间直角坐标系D1-xyz.由题设,可得A1D12,AD1.由以上可知AD平面BB1C1C,A1D1平面BB1C1C,于是ADA1D1.所以A(0,1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(1,0,4),D(0,0,4),故1(0,3,4),(2,0,0),10,因此1.即AA1BC.(2)解因为1(0,3,4),所以|1|5,即AA15.(3)解法一连接A1D.由BCAD,BCAA1,可知BC平面A1AD,所以BCA1D,所以ADA1为二面角A-BC-A1的平面角因为(0,1,0),1(0,2,4),所以cos,1,即二面角A-BC-A1的余弦值为.法二设平面A1BC的法向量为n1(x1,y1,z1),又因为(1,2,4),(1,2,4),所以即令z11,则n1(0,2,1)又因为平面ABC z轴,所以取平面ABC的法向量为n2(0,0,1),则cosn1,n2,所以二面角A-BC-A1的余弦值为.图2(综合法)(1)证明如图2,取BC,B1C1的中点分别为D和D1,连接A1D1,DD1,AD,A1D,AD1.由条件可知,BCAD,B1C1A1D1.由上可得AD平面BB1C1C,A1D1平面BB1C1C,由此得ADA1D1,即AD,A1D1确定平面AD1A1D.又因为DD1BB1,BB1BC,所以DD1BC.又考虑到ADBC,ADDD1D,所以BC平面AD1A1D,故BCAA1.(2)解延长A1D1到G点,使GD1AD.连接AG.因为AD綉GD1,所以AG綉DD1綉BB1.由于BB1平面A1B1C1,所以AGA1G.由条件可知,A1GA1D1D1G3,AG4,所以AA15.(3)解因为BC平面AD1A1D,所以ADA1为二面角A-BC-A1的平面角在RtA1DD1中,DD14,A1D12,解得sinD1DA1,cosADA1cosD1DA1,即二面角A-BC-A1的余弦值为.失分案例(五)逻辑性错误逻辑性错误指学生在解题过程中由于违犯逻辑思维的规律而产生的错误,常见的逻辑性错误有如下形式:步骤缺失、虚假依据、偷换概念、分类不当、循环论证、不等价变换(用必要条件代替可能导致解集扩大,而用充分条件代替解集可能缩小)训练12空间中的平行与垂直(建议用时:50分钟)1(2013济南3月模拟)已知两条直线a,b与两个平面,b,则下列命题中正确的是()若a,则ab;若ab,则a;若b,则;若,则b.A B C D解析过直线a作平面使c,则ac,再根据b可得bc,从而ba,命题是真命题;下面考虑命题,由b,b,可得,命题为真命题故正确选项为A.答案A2已知,是三个不重合的平面,a,b是两条不重合的直线,有下列三个条件:a,b;a,b;b,a.如果命题“a,b,且_,那么ab”为真命题,则可以在横线处填入的条件是()A或 B或C或 D只有解析由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得,横线处可填入条件或,结合各选项知,选C.答案C3已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A,且m Bmn,且nC,且m Dmn,且n解析根据定理、性质、结论逐个判断因为,mm,的位置关系不确定,可能平行、相交、m在面内,故A错误;由线面垂直的性质定理可知B正确;若,m,则m,的位置关系也不确定,故C错误;若mn,n,则m,的位置关系也不确定,故D错误答案B4已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n,且,则mn;若m,n,且,则mn;若m,n,且,则mn;若m,n,且,则mn.其中正确的个数有()A1 B2 C3 D4解析中m,n可能异面或相交,故不正确;因为m,n且成立时,m,n两直线的关系可能是相交、平行、异面,故不正确;因为m,可得出m,再由n可得出mn,故正确;分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确故选B.答案B5(2013西安质检)如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析在平面图形中CDBD,折起后仍有CDBD,由于平面ABD平面BCD,故CD平面ABD,CDAB.又ABAD,故AB平面ADC.所以平面ABC平面ADC.D选项正确答案D6设和为两个不重合的平面,给出下列四个命题:若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直;直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直其中为真命题的是_(写出所有真命题的序号)解析由知内两条相交直线分别平行于平面,则两条相交直线确定的平面平行于平面,故为真命题;由线面平行的判定定理知,为真命题;对于,如图,l,a,al,但不一定有,故为假命题;对于,直线l与平面垂直的充分必要条件是l与内的两条相交直线垂直,故为假命题综上所述,真命题的序号为.答案7(2013金丽衢十二校联考)下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出直线AB平面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解析对于,注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行,因此直线AB平行于平面MNP;对于,注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交,因此直线AB与平面MNP相交;对于,注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行,且直线AB位于平面MNP外,因此直线AB与平面MNP平行;对于,易知此时AB与平面MNP相交综上所述,能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是.答案8如图,在长方形ABCD中,AB2,BC1,E为DC的中点,F为线段EC上一动点现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足设AKt,则t的取值范围是_解析如图,过D作DGAF,垂足为G,连接GK,平面ABD平面ABC,DKAB,DK平面ABC,DKAF.又DGAF,AF平面DKG,AFGK.容易得到,当F运动到E点时,K为AB的中点,tAK1;当F运动到C点时,在RtADF中,易得AF,且AG,GF,又易知RtAGKRtABF,则,又AB2,AKt,则t.t的取值范围是.答案9(2013南京模拟)如图,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EFBD,ABEF.(1)求证:BF平面ACE;(2)求证:BFBD.证明(1)设AC与BD交于O点,连接EO.在正方形ABCD中,BOAB,又因为ABEF,BOEF,又因为EFBD,四边形EFBO是平行四边形,BFEO,又BF平面ACE,EO平面ACE,BF平面ACE.(2)在正方形ABCD中,ACBD,又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,BD平面ABCD,平面ABCD平面ACEAC,BD平面ACE,EO平面ACE,BDEO,EOBF,BFBD.10如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,点O是对角线AC与BD的交点,M是PD的中点,AB2,BAD60.(1)求证:OM平面PAB;(2)求证:平面PBD平面PAC;(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时,求PB的长(1)证明在PBD中,O,M分别是BD,PD的中点,OM是PBD的中位线,OMPB.OM平面PAB,PB平面PAB,OM平面PAB.(2)证明底面ABCD是菱形,BDAC.PA平面ABCD,BD平面ABCD,PABD.又
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