概率统计第七章参数估计.doc

第七章 参数估计参数估计是统计推断的基本内容之一，它是凭借从总体中抽取的样本，构造合适的样本函数，对总体中的未知参数作出符合要求的估计.例1. 某批产品的质量用次品率来衡量，但是数量太大，无法一一检测，那么如何估计该批产品的质量呢？我们可以抽取100件进行检测，如果其中有95件正品，5件次品.这时我们就把100件样品的次品率0.05，作为该批产品的次品率的估计。例2. 要统计某地人均年商品消费额，我们抽取1000户进行调查，计算得到人均年商品消费额为6800元，这时我们就把样本的人均年商品消费额6800元作为该地人均年商品消费额的估计。上述例子的共同之处是：利用样本资料得到的信息来估计有关总体分布中的一些未知参数，这类估计方法称为参数估计。依据估计形式的不同，参数估计分为点估计和区间估计两种。第一节 参数的点估计一. 估计量，估计值和点估计1. 估计量 ：设是来自总体X的样本，是总体的未知参数，若用一个合适的统计量来估计，则称为参数的估计量.2. 估计值：在抽样后，每当有了一组样本值，将其代入统计量，称为参数的估计值。3. 点估计：设是总体的未知参数，如果用估计值来估计未知参数，这种估计称为点估计。二. 点估计的两个基本估计式1.用样本均值作为总体的数学期望的估计量2. 用样本方差作为总体的方差的估计量特别地，对于正态总体，有.例1. 某灯泡工厂某天生产了一大批灯泡，从中任意取出10只进行寿命试验，测得数据如下（单位：小时）：1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200试估计该天生产的灯泡的平均寿命。解：所以，即：估计该天生产的灯泡的平均寿命为1147小时.例2. 设总体X的概率密度为，其中是总体的未知参数，求的估计量。解：设为取自总体X的样本，因为取样本均值作为总体的数学期望的估计量，即：，于是得到： ，所以 . 第二节 估计量的评价标准一. 无偏性定义 设为未知参数的估计量，若成立，则称为参数的无偏估计量.【注1】 无偏估计的实际意义就是无系统偏差，即若对总体进行大量重复的抽样，那么所有这些得出的估计值的平均值收敛于.或者可以理解为“平均偏差为0”.当然“平均偏差为0”的估计优于平均偏差不为0的估计.例1. 设 为取自总体X的样本，试证：样本均值及样本方差分别是和的无偏估计量.证：因为 ，所以 是的无偏估计量.又：，而. 所以，分别是的无偏估计量.例2. 设总体，为取自总体X的样本，则， 都是的无偏估计量.解：；. 它们都是的无偏估计量.二. 有效性定义 设和都是未知参数的无偏估计量，若，则称比有效.【注2】 作为无偏估计量，它们的观察值都是在的真值左右摆动，而比有效指的是的摆动幅度比的摆动幅度更小些，因此有效性还有比较高的估计精度的含义.例3. 比较上例中及的有效性解：由于；有 所以， 比 有效.三. 一致性定义 设为未知参数的估计量，若对任意， 成立，则称为未知参数的一致性估计量.【注3】一致性是一种大样本的性质，事实上，当时，信息量越来越大，对的估计也应该越来越精确，应该与相差无几才合理.如果一致性不满足，估计量显然不是合的。可以证明：样本均值及样本方差分别是和的一致性估计量.第三节 正态总体参数的区间估计用点估计来估计总体参数，估计值一般不是参数的真值.点估计没有给出估计的精确程度和可信程度，我们希望在一定可靠程度下，指出被估计的总体参数所在的一个数值范围，这就是区间估计。一. 置信区间和置信度定义 设总体的概率密度为，是未知参数，是来自总体的样本，如果对于给定的，若存在统计量和，使得 ，则称区间 为未知参数的置信度为的置信区间. 称为置信度，和分别称为置信下限和置信上限。【注1】置信区间是一个随机区间，对于不同的样本值会得到不同的区间，它可能包含的真值，也可能不包含的真值.当置信度为 时，置信区间 包含真值的概率为 。可以这样理解：如果取，若重复抽样100次得到了100个不同的区间，则其中大约有95个包含了真值，不包含真值的仅仅占5个。【注2】置信区间长度的大小是反映估计的精确程度的，而置信度是反映估计的可靠程度的.当样本容量给定后，很可惜这两者是一对矛盾，置信度高，则精确性相对就差，即：置信度越高，则置信区间的长度越长. 置信区间和置信度提出了一个在一定的概率保证下，参数的估计满足一个精确度的概念，从这个角度来说，区间估计是统计意义上的近似计算和误差分析，所以在处理实际问题时更加有用。下面，我们讨论正态总体参数的区间估计。二. 正态总体数学期望的区间估计1. 正态总体，其中已知，求的置信区间.设是来自总体的样本，于是由抽样分布定理知：统计量，对于给定的置信度，查标准正态分布表，确定临界值，（注意：这里 ），使得，即 ，于是，得到均值的置信度为 的置信区间为：.例1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7 , 15.0 , 14.9 , 14.8 , 15.2 , 15.1，求的置信度0.9的置信区间和置信度0.99 的置信区间。解： 由于已知，所以选用的置信区间。当，查表得=1.64；当，；查表得=2.576； 代入数据得的置信度0.9的置信区间为，即为。的置信度0.99 的置信区间为，即为。2. 正态总体，其中未知，求的置信区间.由于未知，所以用的无偏估计量，引入统计量，对于给定的置信度，查分布表，确定临界值，使得，即，于是，得到均值的置信度为 的置信区间为：.例2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的置信度为0.95的置信区间.解： 由于和都未知，故的置信区间为代入数据得：所以，的置信度为0.95的置信区间为：.三. 正态总体方差的区间估计正态总体，其中未知，求的置信区间.引入统计量，于是由抽样分布定理知：.对于给定的置信度，查分布表，确定临界值，使得，即：，于是，得到的置信度为 的置信区间为： ；从而标准差的置信度为 的置信区间为