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列一元一次方程解应用题分类复习列一元一次方程解应用题分类复习 列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方 程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面； 下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮 助. 列方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题的一般步骤： 1 1、审：就是审题。通过反复读题，弄明白题目所述事情，审：就是审题。通过反复读题，弄明白题目所述事情， 在头脑中形成图像；分析题目中已知什么、求什么，明确各在头脑中形成图像；分析题目中已知什么、求什么，明确各 数量之间的关系；数量之间的关系； 2 2、找：找出能够表示应用题全部含义的等量关系；找：找出能够表示应用题全部含义的等量关系； 3 3、设：设未知数设：设未知数 x x（一般情况下求什么就设什么为未知数），（一般情况下求什么就设什么为未知数）， 未知数设出后就视同已知；未知数设出后就视同已知； 4 4、列：根据找出的等量关系列出方程；列：根据找出的等量关系列出方程； 5 5、解：解所列出的方程，求出未知数的值；解：解所列出的方程，求出未知数的值； 6 6、验：检验所求出的解是否为所列方程的解并检验是否符验：检验所求出的解是否为所列方程的解并检验是否符 合题意；合题意； 7 7、答：写出答案（包括单位名称）答：写出答案（包括单位名称） 1.1. 和、差、倍、分问题：和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百 分之几，增长率”来体现。 （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体 现。 例 1.根据 2001 年 3 月 28 日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止 到 2000 年 11 月 1 日 0 时，全国每 10 万人中具有小学文化程度的人口为 35701 人，比 1990 年 7 月 1 日减少了 3.66%，1990 年 6 月底每 10 万人中约有多少人 具有小学文化程度？ 分析：分析：等量关系为： 解：解：设 1990 年 6 月底每 10 万人中约有 x 人具有小学文化程度 答：答： 配套练习： （1）某班学生参加公益活动，原来每组 8 人，后来根据需要重新编组， 每组 14 人，这样比原来少了 3 组，这个班有学生多少人？ （2）小明用 129 元钱买了两种书共 10 本，单价分别为 15 元、8 元，两 种书小明各买了多少本？ （3）学校派七、一班和七、二班植树，七、一班有 40 人，七、二班有 52 人；现在从七、三班调来 43 人，支援七、一班和七、二班，使七、二班人 数是七、一班的 2 倍，问应调入七、一班和七、二班各多少人？ （4）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共 2000 件，已知 捐给甲学校的件数比乙学校的 2 倍少 400 件，该企业捐给甲、乙两学校各多少 件？ （5）某学校女生人数占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这个学校 有多少学生？ 2.2. 等积变形问题：等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积。（形状变了，体积没变） 例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm？（结果保留整数 ） 分析：分析：等量关系为： 解：解：设玻璃杯中的水高下降 xmm 答：答： 练习练习 （1）用一边长为 6cm 的正方形铁丝框改为一个长方形铁丝框，且 使长方形的长是宽的 2 倍，长方形的长、宽各是多少？. （2）在一个底面直径 40cm 的圆柱体水箱内，有一个底面积为 5cm 的直棱柱钢材完全浸在水中，当钢材从水中取出后，水面下 降了 3cm，求这段钢材的长。 3.3. 劳力调配问题：劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 例例 3 3. 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿 轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加 工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 分析：分析：列表法。 每人每天人数数量 大齿轮16 个x 人 16x 小齿轮10 个人 等量关系 ： 解：解：设分别安排 x 名、 名工人加工大、小齿轮 答：答： 练习：某车间有 28 名工人，生产特种螺栓和螺母，一个螺栓的两头各套 一个螺母配成一套，每人每天生产螺栓 12 个或螺母 18 个，问应怎样分配工人 生产才能使每天生产的产品配套？ 4.4. 比例分配问题：比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写出相应的代 数式。 常用等量关系：各部分之和总量。 例 4. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的 数是几？ 分析：分析：等量关系： 解：解：设一份为 x，则三个数分别为 x，2x，4x 答：答： 练习（1）某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，废水排量比环保限制的最大 量还多 200t，用新工艺废水排量比环保限制的最大排量少 100t，新、旧工艺的 废水排量比为 2：5，两种工艺的废水排量各是多少？ （2） 地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按 25216 的比例配制搅 拌而成。现已将前三种料称好，共 5600 千克，应加多少千克的水搅拌？前三种 料各称了多少千克？ 5.5. 数字问题数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。 （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1； 偶数用 2N 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示。 例例 5.5. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的 数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数 等量关系： 解：解：设十位上的数字 X，则个位上的数是 2x， 答： 练习（1）. 一个三位数，三个数位上的和是 17，百位上的数比十位上的数 大 7，个位上的数是十位上的数的 3 倍。求这个数。 （2）一个六位数的最高位上的数字是 1，如果把这个数字移到个位数的 右边，那么所得的数等于原数的 3 倍，求原数。 （3）三个连续偶数的和是 150，求这三个数。 6.6. 工程问题：工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。 例例 6 6. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合 作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全 部工程？ 分析：分析：设工程总量为单位 1，等量关系为： 解：设乙还需 x 天完成全部工程， 答：. 练习：（1）某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级单独工作需要 75h 完成，如果让八年级单独工作需要 5h 完成，如果让七、八年级一起工作 1h，再由八年级单独完成剩余的部分，共需多少小时完成？ （2）一项工程甲队独做 10h 完成，乙队独做 15h 完成，丙队独做 20h 完成。 开始三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙两队完成，从开始到工程完成共 用了 6h，甲队实际工作了几小时？ （3）一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲 单独开需 10 小时注满一池水，乙单独开需 6 小时注满一池水，丙单独开 15 小 时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？ （4）加工某种工件，甲单独作要 20 天完成，乙只要 10 就能完成任务，现 在要求二人在 12 天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期 完成任务？ （5）收割一块麦地，每小时割 4 亩，预计若干小时割完。收割了后,改用新 式农具收割，工作效率提高到原来的 1.5 倍。因此比预计时间提前 1 小时完工。 求这块麦地有多少亩？ 7.7. 行程问题：行程问题： （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度时间。 （2）基本类型有 相遇问题； 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环 形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系， 一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例例 7.7. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公 里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时 后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相 距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢 车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少 小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可 结合图形分析。 （1）分析：分析：相遇问题，画图表示为 等量关系是： 解：解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 答： （2）分析：分析：相背而行，画图表示为： 等量关系是： 解：解：设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得， 答： （3）分析：追及问题：分析：追及问题：画图表示为： 等量关系为： 解：解： 答： （4） 分析：分析：追及问题，画图表示为： 等量关系为： 解：解：设 x 小时后快车追上慢车。 答： (5)(5) 分析：分析：追及问题，画图表示为： 等量关系为： 解：解： 答：. 练习（1）某队伍 450 米长，以每分钟 90 米速度前进，某人从排尾到排头取 东西后，立即返回排尾，速度为 3 米/秒。问往返共需多少时间？ （2）汽车以每小时 72km 的速度笔直的开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭， 4s 后听到回响，已知声音的速度是 340ms，听到回响时汽车离山谷的距离是 多少？ （3）两辆汽车从相距 84km 的两地同时出发相向而行，甲的速度比乙的速度快 20kmh，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？ （4）王丽骑自行车从 A 地到 B 地，陈平骑自行车从 B 地到 A 地，两人都沿同一 条公路匀速前进，已知两人在上午 8：00 同:0 出发，到上午 10:00 两人还相距 36KM，的中午 12:00 两人又相距 36KM，求 A、B 两地间的距离。 (5)一列火车匀速行驶，经过一条长 300M 的隧道需要 20S，隧道的顶上有一盏 灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10S。 设火车的长度为 X 米，用含 X 的式子表示从火车头经过灯下到车尾离开隧道 火车所走的路程和这段时间火车的平均速度； 设火车的长度为 X 米，用含 X 的式子表示从火车头进入隧道到车尾经过灯下 火车所走的路程和这段时间火车的平均速度； 上述过程中火车的平均速度发生变化了吗？ 求这列火车的速度。 （5）一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需 6 小时，逆流航行需 8 小时， 已知水流速度每小时 2 km。求甲、乙两地之间的距离 （6）一条环形跑道长 400m 甲、乙两人练习跑步，甲平均每秒跑 8m，乙平均每 秒跑 6m，甲在乙前面 20m，两人同时出发，同向而行，经过多长时间两人首次 相遇？再经过多长时间两人第二次相遇？ 8.8. 利润赢亏问题利润赢亏问题 （1）销售问题中常出现的量有：进价（原价）、售价、标价、利润等 （2）有关关系式： 商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣率商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价折扣率=商品的进价+ 例例 8.8. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每 件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？ 分析：分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元 进价折扣率标价优惠价利润 x 元8 折（1+40%）x 元80%（1+40%）x15 元 等量关系：（利润=折扣后价格进价）折扣后价格进价=15 解：解：设进价为 X 元 答：. 练习 ： （1）商店对某商品调价，作 6 折出售，此时商品的利润率是 20，商品原价 300 元，问进价多少？ （2）甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装 按 50%的利润定价，乙服装按 40%的利润定价。在实际出售时应顾客要求两件 服装均按九折出售，这样商店共获利 157 元，两件服装的成本价各是多少元？ （3）商场对某种商品调价，按原价的 8 折出售，此时商品的利润是 10%；若 此商品的进价为 1600 元，此商品的原价是多少元？ （4）新华书店一天内销售两种书籍，甲种书共卖得 1560 元。为了发展农业 将书籍送下乡，乙种书共卖的 1350 元。若甲乙两种书成本分别计算，甲种书 盈利 25%，乙种书亏本 10%。试问该书店这一天共盈利（亏本）多少元？ 9.9. 储蓄问题储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称 本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付 利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%） 例例 9.9. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息 和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析：分析：等量关系：本息和=本金（1+利率） 解：解：设半年期的实际利率为 x， 所以年利率为 0.01082=0.0216 10.10. 年龄问题年龄问题 此类问题要抓住两人年龄同増同减，年龄差始终不变。 例题 10 明明今年过生日时爷爷对明明说：“今年我的年龄是你年龄的 7 倍， 再过两年我的年龄就变成你的年龄的 6 倍了。”那么明明今年多大？ 练习： (1)、 兄弟俩今年年龄的和是 30 岁，当哥哥像弟弟这样大时，那年弟弟的年龄 恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年多大？ 1111、拓展题拓展题 例题 11、某校参加全县中学生运动会，获取的金牌数与银牌数的比是 56，铜 牌数比金牌数的 2 倍少 5 块，金牌数的 3 倍与银牌数的和等于 42 块，求该校获 取三种奖牌各多少块。若组委会规定，单独获取 12 块以上（含 12 块）奖牌的 学校，将授予团体优胜奖，则该学校是否获得这个奖项？ 例题 12、足球比赛的计分办法为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，输一场得 0 分。一支足球队在某个赛季中共需比赛 14 场，现在已经比赛了 8 场，输了一场， 得 17 分，请问： 前 8 场比赛中这支球队共胜了多少场？ 这支球队打完 14 场比赛，最高能得多少分？ 通过对比赛情况的分析，这支球队打满 14 场比赛，得分不低于 29 分，就可 以达到预期的目标。请你分析一下，在后面的 6 场比赛中，这支球队至少要胜 几场，才能达到预期目标？ 例题 13、如果某公司有 A、B、C 三种型号的电脑，其价格分别为 A 型每台 6000 元；B 型每台 4000 元；C 型每台 2500 元。某中学计划将 100500 元钱全部用于 从该公司购进两种不同型号的电脑共 36 台，请你设计出几种不同型号的购买方 案供该校选择，并说明理由。 例题 14、8 个人乘速度相同的两辆汽车同时赶往火车站，每辆车乘 4 人（不包 括司机），其中一辆汽车在距离火车站 10km 的地方出现了故障，此时距停止检 票还有 28min，这时唯一可利用的交通工具是另一辆汽车，已知包括司机在内 这辆车限乘 5 人，且这辆车的平均速度是 60kmh，人步行的平均速度是 5kmh。试设计几种方案，并通过计算说明这 8 个人能够在停止检票前赶到火 车站。 练习（1）某服饰有限公司生产一种西装每套定价 200 元，领带每条定价 40 元， 厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 买一套西装送一条领带； 西装和领带均按定价的九折付款。 某公司老板要到该服装厂购买西装 20 套，领带若干，经过核算，老板发现两种 优惠方案所需的钱相等，试问这位老板购买领带多少条？ （2）某市出租车的收费标准如下： 里程 收费 3 千米及 3 千米