探索基本不等式的奥秘.doc

数学小论文探究基本不等式摘要：在高中数学必修五上虽然介绍了基本不等式（）只用了一节内容，但是作为高中唯一一个不等式可想而知，基本不等式在高中的地位还是很重要的。基本不等式在高考中既是重点也是难点。它的变化千奇百样，从它这么一条简单的式子中又可以推出与之相关的一些别的推论。今天我就以我学过的基本不等式进行进一步的研究。一证明一代数法1. 比较法-=1/2【()+（）-2】=1/2(-）0当且仅当=即a=b时，取“=”2.3.综合法对于正数a,b有（-）0得到a+b-20得到a+b2，推得4.代换法设为sin，为cos，则为sincosSin+cos=1，sincos=1/2sin21a+b1/2 二几何法1.2.二基本不等式的变形a+b2（a,bR），ab（a+b/2）（当且仅当ab,取等号）a+a/12（aR）当且仅当a=1时取等号a+a/1-2【当且仅当a=-1时取等号】若a,bR，则a/b2a-b（当且仅当ab,取等号）若a,bR，则2(a+b) (a+b) （当且仅当ab,取等号）若a, bR，且b0，则（a/b）/b-1（当且仅当ab,取等号）若a,bR，a/b+b/a2（当且仅当ab,取等号）（a+b/2）a+b/2（当且仅当ab,取等号）若ab0，则1/a+1/b1/2(1/a+1/b) （当且仅当ab,取等号）若m,nR,a,bR,则a/m+b/n(a+b)/ m+n（当且仅当an=bn时等号成立（10）a+b（当且仅当ab,取等号）三基本不等式的推广1.a0,b0,（当且仅当A=b时取“=”）又a+b/2=_=_a+b2ab0，+b/2(a+b)/2-=1/2*(-)2=0，即(a+b)/2=，当且仅当a=b时取等号(a+b)/(2ab)-1/=(a+b-2)/(2ab)=( -)2/(2ab)=0即(a+b)/(2ab)=1/ 也就是， =2ab/(a+b)，当且仅当a=b时取等号 (综上所述 (a+b)/22ab/(a+b)2广公式：a,bRab - 4/（1/a+1/b） = （a/b+b/a- 2）/（1/a+1/b） =(a/b-b/a) / （1/a+1/b） 0 a、b属于正实数 2/（1/a+1/b）其余 (a+b)/2上面已证3.若a,bR，则1/a+1/b4/a+b(a-b) 0a -2ab + b 0a+ b 2ab(a + b)/ab 2a/b + b/a 2a/b + b/a + 2 4(a+b)(1/a+1/b) 44.令，则有作差法证明： 由推论1知 5. 知a, b, cR a+b+cab+ac+bc等式两边同乘22a+2b+2c=2ab+2ac+2bc化简得(a-2ab+b)+(b-2bc+c)+(a-2ac+c)=0(a-b) +(b-c) +(a-c) =06.一般地，对于n个正数a1,a2,an(n2),都有GnAn 令bi=(i=1,2, ,n)，则b1b2bn=1，故可取x1,x2, ,xn0，使得b1=,b2=, ,bn-1=,bn=.b1+b2+bn =x1+x2+xn=n，n,即Gn由推论6.得到一个公式：当且仅当时，等号成立。对它进行变形，又可以得到则当且仅当时，等号成立。i. 当为常数时，由不等式可以求出的最小值，且当时取到最小值。ii. 当为常数时，由不等式可以求出的最大值，且当时取到最大值。7.已知a , b , cR+, 且a+b+c=1, 求证:. 证明： .8. 已知a、b、cR,且a+b+c=1则.a+b+c1/3.由基本不等式可得:a+b2ab.b+c2bc.c+a2ca.上面的三个等号仅当a=b=c=1/3时取得,三式相加,整理可得:2(a+b+c)2ab+2bc+2ca两边同加a+b+c,可得:3(a+b+c)a+b+c+2ab+2bc+2ca.a+b+c=1.两边平方可得:1=a+b+c+2ab+2bc+2ca.3(a+b+c)1.a+b+c1/3.9 . 知a,b,c，则 证明： 即，两边开平方得同理可得三式相加，得四极值定理1.和定积最大：当a+b=S时，abS/4（a=b取等） a,b都是正数，a+b/2 ，又a+b=s,ab(x+y/2)= S/42. 积定和最小：当ab=P时，a+b2P（a=b取等）a, b都是正数, a+b/2，当且仅当a=b时，等号成立。又ab=Pa+b2P六其他不等式琴生不等式 设f(x)为凸函数，则f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n(下凸);设f(x)为凹函数，f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。绝对值不等式 |a|-|b|a+b|a|+|b|权方和不等式 对于xi，yi0，当m(m+1)0时： x1+x2+x3+xi+xn)(m+1)/(y1+y2+y3+yi+yn)mx1(m+1)/y1m+x2(m+1)/y2m+x3(m+1)/y3m+xi(m+1)/yim+xn(m+1)/ynm. m(m+1)=0时： x1+x2+x3+xi+xn)(m+1)/(y1+y2+y3+yi+yn)m=x1(m+1)/y1m+x2(m+1)/y2m+x3(m+1)/y3m+xi(m+1)/yim+xn(m+1)/ynm. m(m+1)0时： x1+x2+x3+xi+xn)(m+1)/(y1+y2+y3+yi+yn)mx1(m+1)/y1m+x2(m+1)/y2m+x3(m+1)/y3m+xi(m+1)/yim+xn(m+1)/ynm. 其中n是正整数。 取等号的条件：x1/y1=x2/y2=x3/y3=xi/yi=xn/yn 贝努利不等式对任意整数n0，和任意实数x-1， 有 (1+x)n1+nx 成立； 如果n0是偶数，则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n2 和任意实数x-1，x0，有 契比雪夫不等式对于n个正数a1an以及b1bn,有排序关系a1a2.an,b1b2.bn, 则有a1bn+a2b(n-1)+.+anb1（1/n）*（a1+a2+.+an)(b1+b2+.+bn)a1b1+a2b2+.+anbn， 该不等式即为契比雪夫(chebyshev)不等式。契比雪夫不等式实质上是排序不等式的一个推广柯西不等式二维形式(a2+b2)(c2+ d2)(ac+bd)2 等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)三角形式 （a2+b2)+（c2+d2）(a-c)2+(b-d)2 等号成立条件：ad=bc向量形式 |，=(a1,a，an），=(b1,b，bn）（nN，n2） 等号成立条件：为零向量，或=（R）。一般形式 （ai2；）（bi2;) （aibi)2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=an:bn，或ai、bi均为零。均值不等式调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2.an)(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+.+an)/n