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有关身高与体重之间函数关系的探究(转载）队员：陈初燕、石冬梅、张文静 吉首市民族中学高一年级162班指导老师：陈峻孝摘要：本文通过对身高、体重等有关数据的分析，采用图像、数据拟合、表格描述等方法，建立了关于身高与体重的函数模型，并选取我校某班50多名同学为样本，收集了相关数据来验证该函数模型，并给出了一些说明和评价.同时，本文对有关身高、体重、性别的关系及生活水平对身高体重的影响等研究有一定的参考作用.关键词：身高；体重；数据分析；数学模型一、问题的提出以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：表一：身高（cm）60708090100110120130140150160170体重（kg）6.137.99.9912.1515.0217.520.9226.8631.1138.8547.2555.05 所要研究的问题：问题1：根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数.问题2：在你的学校中采集至少50组有关性别、年龄、身高、体重的数据，做一个真实的统计表.问题3：根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别.给出验证的方法、公式和标准，提出修正的意见.问题4：若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦.根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价.（注：本题目来自东北地区06年数学建模竞赛中学生试题）二、问题的分析本文给出了有关身高与体重的数据，要求建立相关的函数模型.为此，我们可先把身高与体重在一直角坐标系中画出散点图，然后观察该系列散点的变化趋势，从而预测出与我们熟悉的函数模型，最后建立一般的函数关系式并求解.针对问题二、问题三、问题四我们可以在我们学校选择一个班级收集相关数据，并验证上述建立的模型，并给出相应的解释和结论.三、模型的建立与求解问题一：根据表中提供的数据，体重y与身高x之间函数关系的探究.根据该地区不同身高的未成年男性的体重平均值表所给的数据，以体重y为纵轴，以身高x为横轴建立直角坐标系，并描出相应的散点图如下：图一观察上述图像，并利用EXCEL分别用线性（即一次函数）、二阶多项式（即二次函数）进行拟合发现，该散点图的变化趋势与二次函数的图像比较接近，添加趋势线后的图像如下：图二因此，可以设身高与体重的函数模型的一般表达式为： Y=ax2+bx+c (a0) 选取最靠近趋势线的几个点（70，7.9）、（110，17.5）、（130，26.86）、（150，38.85），分别带入模型得到：a=0.0037,b=-0.431,c=19.697.故，根据该地区不同身高（x）的未成年男性的体重（y）之间的函数关系为：Y=0.0037x2-0.431x+19.697 问题二：我校某班有关性别、年龄、身高、体重的数据，及相关统计表表二：有关性别、年龄、身高的数据统计表姓名性别身高cm体重kg年龄岁姓名性别身高cm体重kg年龄岁罗俊杰男1352813曾芳群女1453612吴国栋男1453613田依可女1503612姚 舟男1383512易希玲女1554313江哲浩男1403612卜 艳女1504112向 清男14136.513张静霄女1534513张忠斌男1363513郑学苏女1625012向安磊男1554313石资娴女1473814文 祥男1655313彭朝晖女1554612张 翔男1554313杨圆圆女1403213黄 杰男1403013邹 柔女1403012周春雨男1453513张学莉女1503513向 龙男1453513李 杨女1584012龙书高男1484013龙 亭女14834.212李 波男14032.512石 建女1543912李程伟男1453514曾 灿女1583913杨 帆男1564213田 菲女1544213冀 新男1505212张 敏女1403013田 过男1402512王高敏女1554413孙 浩男1523813吴 姚女1454013李浩男男1453513郑富连女1584113张 科男1453113田 甜女1503813杨秋菊女1403013史文杰女1504414张灵艳女1402512唐广源女15235.512张 涵女1544013张 倩女1473613杨 捷女1483312陈 杰女1453212高 雨女1503513曾 雨女1554012梁慧娟女1453612彭颖可女15337.512问题三：根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别，及修正意见.为了衡量所求函数是否适合表一中不同的年龄和性别，我们需要引入相应的验证方法、公式和标准.引入1：一个近似数与它准确数的差的绝对值，称为绝对误差.引入2： 测量的绝对误差与被测量约定真值之比，称为相对误差.常乘以100所得的数值，以百分数表示.用a表示近似数，A表示它的精确数，那么近似数a的相对误差就是|a-A|/A.表三：男生体重误差考虑到本数据的特殊性，我们分别不同性别和年龄段的数据进行分析，并按照不同的年龄进行误差分析.结果如下：姓名年龄体重拟合值绝对误差相对误差姓名年龄体重拟合值绝对误差相对误差姚 舟1230.68184.31820.123377张忠斌1329.51625.48380.15668江哲浩1231.8774.1230.114528向安磊1341.78451.21550.028267李 波1231.8770.6230.019169文 祥1349.31453.68550.069538冀 新1238.29713.7030.263519张 翔1341.78451.21550.028267田 过1231.8776.8770.27508黄 杰1331.8771.8770.06257罗俊杰1328.94450.94450.03373周春雨1334.99450.00550.000157吴国栋1334.99451.00550.027931向 龙1334.99450.00550.000157向 清1332.48574.01430.109981龙书高1336.95383.04620.076155李浩男1334.99450.00550.000157杨 帆1342.50420.50420.012张 科1334.99453.99450.12885孙 浩1339.66981.66980.04394李程伟1434.99450.00550.000157总计（平均）35.68622.77730.0750表四：女生体重误差姓名年龄体重拟合值绝对误差相对误差姓名年龄体重拟合值绝对误差相对误差曾芳群1234.99451.00550.027931易希玲1341.78451.21550.028267田依可1238.2972.2970.06381张静霄1340.36734.63270.102949卜 艳1238.2972.7030.065927杨圆圆1331.8770.1230.003844郑学苏1246.97783.02220.060444张学莉1338.2973.2970.0942彭朝晖1241.78454.21550.091641曾 灿1343.96584.96580.12733邹 柔1231.8771.8770.06257田 菲1341.07220.92780.02209李 杨1243.96583.96580.09915张 敏1331.8771.8770.06257龙 亭1236.95382.75380.08052王高敏1341.78452.21550.050352石 建1241.07222.07220.05313吴 姚1334.99455.00550.125138唐广源1239.66984.16980.11746郑富连1343.96582.96580.07234陈 杰1234.99452.99450.09358田 甜1338.2970.2970.00782曾 雨1241.78451.78450.04461张 倩1336.29330.29330.00815彭颖可1240.36732.86730.07646杨秋菊1331.8771.8770.06257张灵艳1231.8776.8770.27508张 涵1341.07221.07220.02681杨 捷1236.95383.95380.11981高 雨1338.2973.2970.0942梁慧娟1234.99451.00550.027931史文杰1438.2975.7030.129614石资娴1436.29331.70670.044913总 计38.34162.698070.07343综合上述两个表格的数据可以发现，我们根据所建立的函数模型求出男生体重的绝对误差为2.7773，相对误差约为7.5%；女生体重的绝对误差约为2.6980，相对误差约为7.34%，能够比较近似地反映出身高与体重的关系.问题四：若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦.根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价.表四：男生各身高段有关体重的评价考虑到数据的特殊性，我们把身高分以10cm为组距，分别计算出不同性别下相应分组的体重平均值，然后作出相应评价如下：身高平均体重姓名体重kg比例系数评价结果身高平均体重姓名体重kg比例系数评价结果135厘米至145厘米32.25罗俊杰280.8682合理145厘米至155厘米37.44吴国栋360.9615合理张忠斌351.0853合理周春雨350.9348合理姚 舟351.0853合理向 龙350.9348合理江哲浩361.1163合理李程伟350.9348合理黄 杰300.9302合理李浩男350.9348合理李 波32.51.0078合理张 科310.8280合理田 过250.7752偏瘦龙书高401.0684合理向 清36.51.1318合理冀 新521.3889偏胖155厘米至165厘米45.25向安磊430.9503合理孙 浩381.0150合理张 翔430.9503合理杨 帆420.9282合理文 祥531.1713合理表五：女生各身高段有关体重的评价身高平均体重姓名体重kg比例系数评价结果身高平均体重姓名体重kg比例系数评价结果135厘米至145厘米32.33千克杨秋菊300.9280合理145厘米至155厘米38.08千克石资娴380.9979合理张灵艳250.7733合理张 倩360.9454合理杨圆圆320.9898合理杨 捷330.8666合理邹 柔300.9279合理龙 亭34.20.8981合理张 敏300.9279合理高 雨350.9191合理梁慧娟361.1135合理田依可360.9454合理曾芳群361.1135合理卜 艳411.0767合理吴 姚401.2372偏胖张学莉350.9191合理陈 杰320.9898合理田 甜380.9979合理155厘米至165厘米42.87千克易希玲431.0028合理史文杰441.1555合理彭朝晖461.0728合理唐广源35.50.9322合理王高敏441.0261合理张静霄451.1817合理曾 雨400.9328合理彭颖可37.50.9848合理李 杨400.9328合理张 涵401.0504合理曾 灿390.9095合理石 建391.0242合理郑富连410.9562合理田 菲421.1029合理郑学苏