数理方法第一章答案.pdf

第一章 复数与复变函数 习题一 1-1 求出下列复数的代数式 （3） n i)sincos1 ( N 为正整数 解：思路：先化成指数或三角式，再利用复 数的乘方运算公式计算 设 sincos1iz 2 cos2 2 cos4)cos1 (2sin)cos1 ( 222 z 2 tan 2 cos2 2 cos 2 sin2 cos1 sin )tan( 2 Argz 可得 2 2 kArgz ，k 为任意整数 ) 2 sin 2 (cos 2 cos2 2 cos2 2 cos2)sincos1 ( 2 ) 2 2( n i n e eeziz n n i n n kni n inArgz n nn （4） （1+i） n+（1-i）n = (2) n ( 2 2 + i 2 2 ) n + (2) n ( 2 2 i 2 2 ) n = 2 n 2(cos 4 + isin 4) n + 2 n 2(cos 4 isin 4) n = 2 n 2(ei 4n+ ei 4n) = 2 n 2 2cos 4 n = 21+ n 2cos 4 n 1-2 求出下列复数的三角式和指数式 （2）1 + i 解：令 z=1+i 则 三 角 式 z= 2cos( 4 + 2k) + isin( 4 + 2k) 指数式 z=2ei( 4+2k) 三角式 z = 2 4 cos( 8 + k) + isin( 8 + k) 指数式z=2 4 ei( 8+k) (3)( 3 + i)2 解:令 z=3 + i 则三角式 z=2(cos 6 + isin 6) 指数式 z=2ei 6 所求三角式z2=1 4 (cos 5 3 + isin 5 3 ) 指数式z2= 1 4 ei 5 3 (4)sin-icos(为正实数) cossiniz设 ) 2 tan() 2 tan( sin cos tan 1cossin 22 Argz z ) 2 2( ) 2 2sin() 2 2(c ki ez kikosz 指数式： 三角式： 1-3 求下列复数的值（复数的标准形式） （3） 5 (1i)(2i)（3i） = 5(1 + i)(2 + i)(3 + i) (1 i)(2 i)（3 i）(1 + i)(2 + i)(3 + i) = i 2 1-4 （2） 2121 zzzz 证明： )( 2121 2 21 zzzzzz )( 2121 zzzz 21122211 zzzzzzzz )( 2121 2 2 1 2 zzzzzz ).Re(2 21 2 2 1 2 zzzz 又21 2 2 2 1 2 21 2zzzzzz ,2 21 2 2 2 1 zzzz 且 ),Re( 2121 zzzz 所以 . 2121 zzzz 1-6 利用复数求下列和式 （ 1 ） S()= cos +cos3 + + cos(2n 1)（n 为正整数） （2）S()= sin + sin3 +sin(2n 1) （n 为正整数） 解：ei=cos+isin ei3= cos3+isin3 ei(2n1)= cos(2n 1)+isin(2n 1) 所以ei+ ei3+ ei(2n1)的实部即为（1） 式，虚部为（2）式 ei(2n1) n= n=1 =e i(1ei2n) 1ei2 =(cos+isin)(1cos2nisin2n) 1cos2isin2 =(cos+isin)2sin 2 (n)isin2n(sin+icos) 2sin(sinicos)(sin+icos) =sin2n 2sin + isin2 (n) sin 所以（1）=sin2n 2sin (2)= sin 2 (n) sin 1-7 求下列函数值 (1)sin(1-5i) =sin1cos5i-cos1sin5i =sin1 2 )5()5(iiii ee -cos1 i ee iiii 2 )5()5( =sin1cosh5-isinh5cos1 (2)(1+i) i =) 2 2 2 2 (2i i =(2) iei(/4+2k) i = e -(/4+2k)ei(ln2)/2 (k=0,1, 2) (3)Lni i =Lne (/2+2n)ii = 2+2n + i2k (n=0,1, 2;k=0, 1, 2) (4)cosh(1-i) =e 1(cos1isin1)+e1(cos1+isin1) 2 =cos1(e 1+e1) 2 -isin1(e 1e1) 2 =cosh1cos1-isinh1sin1 1-8 求出下列多值函数的所有支点并构造其 黎曼面 (1)=z a 解：令=e i,z-a=rei 则 2=z-a,即2e2i= rei 所以 2=r=r 2=+2n 与 r 一一对应，但与不对应 当 n=0, 1=/2 当 n=1, 2=/2+ 当 n=2, 3=/2+2,与 n=0 重复 所以只有两支 图略 （2）解：z a = e,令 = u + iv,z a = rei. 则rei= eu+iv u = lnr = ln|z a| v = arg|z a| = + 2n = ln|z a| + i( + 2n) 可见有无穷多支，因为不同 n 对应不同 1-8 （光信息 1001 唐丽红输入）求出下列多值