《一元一次方程》全章复习与巩固提高.doc

一元一次方程全章复习与巩固（提高）知识讲解撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳【学习目标】1理解单项式、多项式、整式等概念，弄清他们之间的区别与联系；2. 理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法；3. 理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；4掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴含的化归思想；5能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性，体会建立数学模型的思想【知识网络】【要点梳理】要点一、整式的相关概念1.代数式的定义：诸如：5.6n ，3.5x ，m+n ，34，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如，等都不是代数式2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中涉及的数量关系用代数式来表示，这就是列出代数式用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“ ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写 3单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 4多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式5. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列6整式：单项式和多项式统称为整式要点二、同类项与合并同类项1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都是同类项要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变要点三、等式和一元一次方程的概念1等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等3方程：含有未知数的等式叫做方程4一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程要点诠释：（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b0(a0)的形式，它是一元一次方程的标准形式（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1；未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数；5方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解6解方程：求方程的解的过程叫做解方程要点四、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为axb(00)的形式 (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a0) (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解要点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程速度时间 2.和差倍分问题：增长量原有量增长率 3.利润问题：商品利润商品售价商品进价 4.工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量5.银行存贷款问题：本息和本金+利息，利息本金利率 6.数字问题：多位数的表示方法：abcda103+b103+c10+d 【典型例题】类型一、整式的相关概念1指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式 (1) (2)5 (3) (4) (5)3xy (6) (7) (8)1+a% (9)【答案与解析】解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)单项式：(2)、(5)、(6)，其中：5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；的系数是，次数是1.多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：是一次二项式；是一次二项式；是一次二项式；1+a%是一次二项式；是二次二项式。【总结升华】分母中出现字母的式子不是整式，故不是整式；是常数而不是字母，故是整式，也是单项式；(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减如其实质为，其实质为举一反三：【变式1】若单项式与单项式的和是单项式，那么 .【答案】15【变式2】若多项式是关于的二次三项式，则，这个二次三项式为 .【答案】类型二、同类项及合并同类项2若与是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加.【答案与解析】解：因为是同类项， 所以 解得当且时，.【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并. 举一反三：【变式】合并同类项 (1)； (2)【答案】 (1)原式(2)原式类型三、等式和一元一次方程的相关概念3已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程【答案与解析】解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m是关于x的一元一次方程，所以3m-40且5-3m0由3m-40解得，又能使5-3m0，所以m的值是将代入原方程，则原方程变为，解得所以，【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-40，而x的一次项系数5-3m0，m的值必须同时符合这两个条件举一反三：【高清课堂：一元一次方程复习393349 等式和方程例3】【变式】下面方程变形中，错在哪里：(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.（2），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.【答案】（1）答：错在第二步，方程两边不能除以x-y，只有一种可能就是x-y为0了，所以出现了1=-1的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不能为0的. （2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.4如果5(x+2)2a+3与的解相同，那么a的值是_【答案】【解析】 由5(x+2)2a+3，解得 由，解得 所以，解得【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程举一反三：【变式】已知|x+1|+(y+2x)20，则_【答案】1类型四、一元一次方程的解法5.解关于的方程：【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系【答案与解析】解：原方程可化为：当时，原方程有唯一解：；当时，原方程无数个解；当时，原方程无解；【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明6. 解方程|x-2|3【答案与解析】解：当x-20时，原方程可化为x-23，得x5 当x-20时，原方程可化为-(x-2)3，得 x-1 所以x5和x-1都是方程|x-2|3的解【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|3的解为x-1和x5举一反三：【变式1】若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则的大小关系为：（ ）A. B. C. D.【答案】A【变式2】若是方程的解，则；又若当时，则方程的解是 【答案】1； 9或3类型五、一元一次方程的应用7李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变【答案与解析】解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：，解得：由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为(小时)李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时，则有：(千米/时)答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法8某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成你认为选择哪种方案获利最多，为什么?【答案与解析】解：（1）若选择方案1，依题意，总利润=2000元4+500元(9-4)=10500（元）（2）若选择方案2方法一：解：设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售.依题意得，解得当时，总利润=20001.5+12007.5=12000（元） 1200010500， 选择方案2较好方法二：解：设x天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.x+3(4-x)=9x=1.54-x=2.51.512000+2.531200=12000（元） 1200010500， 选择方案2较好答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程例如本题方案2中的方法一，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：每吨利润吨数工效天数酸奶12003奶片20001合计94从表中能一目了然条件之间的关系，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算，同学们可根据理解自己选择举一反三：【变式】某科技小组的学生在3名老师的带领下，准备前往国家森林公园考察、采集标本，当地有甲，乙两家旅行社，其定价都一样，但对师生都有优惠：甲旅行社对带队老师免费，学生按8折收费；乙旅行社对师生一律按7折收费，经核算，甲，乙旅行社的实际收费正好相同（1）该科技小组共有多少学生？（2）若科技小组增加了学生人数，那么选择哪家旅行社较为合算？说明理由【答案】解：（1）设科技小组共有x个学生，根据题意得80%x=（x+3）70%，80%x=70%x+2.1，80%x-70%x=2.1，10%x=2.1，x=21答：该科技小组共有21个学生；（2）设增加了y名学生，则：甲旅行社收费：80%（21+y）=16.8+0.8y；乙旅行社收费：70%（24+y）=16.8+0.7y；0.8y0.7y（y是正整数），乙旅行社较为合算，答：若科技小组增加了学生人数，那么选择乙旅行社较为合算【巩固练习】一、选择题 1A、B、C、D均为单项式，则A+B+C+D为( ) A单项式 B多项式 C单项式或多项式 D以上都不对2下列计算正确的个数（ ） ； ； ； ； A2 B1 C4 D03有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则（ ）A2b B0 C2c D2c2b4已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是( ) A1 B1 C-1 D0或15已知是方程的解，那么关于y的方程的解是( ) Ay1 By-1 Cy0 D方程无解6已知，则等于（ ）A B C D7一架飞机在两城间飞行，顺风要55小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x的方程是（ ）A B C D8某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）A80元B100元 C120元D160元二、填空题9 的系数是_，次数是_；的系数是_，次数是_10多项式是_次_项式,其中最高次项的系数是_,常数项是_，以x为主元进行降幂排列为_ _11当k=_时，关于x，y的多项式中不含项12多项式是五次三项式，则m的值为_ 13已知方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为_ 14已知和互为相反数，则_15对于有理数a，b，我们规定（1） ；（2）若有理数满足则的值为 16某书城开展学生优惠购书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算某学生第一次去购书付款72元,第二次去购书享受八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节约了34元则该学生第二次购书实际付款_元 三、解答题17已知：为有理数，求的值 18解方程：（1）（2） （3）3x-2-4=0 （4）探究：当b为何值时，方程x-2=b+1 无解；只有一个解； 有两个解19右图的数阵是由一些奇数排成的 1 3 5 7 9（1）右图框中的四个数有什么关系？（设框中第一行第一个数 11 13 15 17 19 为） （2）若这样框出的四个数的和是200，求这四个数 91 93 95 97 99（3）是否存在这样的四个数，它们的和为420，为什么？20商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？ 【答案与解析】一、选择题1【答案】C 【解析】若A、B、C、D均为同类项，则A、B、C、D的和为单项式，否则为多项式，故选C2【答案】D 3【答案】B 4【答案】 B【解析】由题意得|m|1，且m+10，所以m1，故选B5【答案】C 【解析】由x1是方程的解，可代入求出a的值，然后把a的值代入方程a(y+4)2ay+4a中，求出y的值6【答案】 D 【解析】由原式可得：，将“”看作整体，合并化简即可7【答案】A【解析】解：两城距离为x，顺风要55小时，逆风要6小时，顺风速度=，逆风速度=，风速为24千米/时，可列方程为：8【答案】C 【解析】解：设最多降价x元时商店老板才能出售则可得：（1+20%）+x=360解得：x=120二、填空题9 【答案】，5，6 10【答案】5，4，-1，-2，11【答案】【解析】原式=，不含项，即=0，12【答案】3【解析】多项式的最高次项是五次，那么只有可能是第一项的次数是五次，即，但13【答案】x1 【解析】首先将原方程整理成的形式，由一元一次方程的定义可知，二次项系数为0，所以a5，代入方程中即可求出x的值14【答案】-8 【解析】两数互为相反数，则和为0，由非负数的性质可知m-n+40，且n-30从而得m-1，n315【答案】-8；5【解析】（1）（-3）4+4= -8；（2）3（x-4）+3=6，解得x=516【答案】204 【解析】第二次应该付x元，则：，解得：，第二次实际付款：三、解答题17【解析】解： 18【解析】解：（1）整理，得，去分母，得，去括号，得 ，移项，得 ，合并，得 ，系数化为1，得 （2）原方程可化为：解得： x=（3）原式可化为：3x-2=4由，可得：；由，可得：所以原方程的解为：x1=2，x2=-；（4）当，即 b-1时，原方程无解；当，即 b=-1时，原方程只有一个解； 当，即b-1时，原方程有两个解19【解析】解：（1）设第一行第一个数为，则其余3个数依次为（2）根据题意，得，解得： =45，所以这四个数依次为45，47，53，55（3）不存在因为， 解得，为偶数，不合题意，故不存在20【解析】解：（1）解：设购进甲种电视机台，则购进乙种电视机（50）台，根据题意，得15002100（50）=90000解得： =25，则50=25故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台设购进甲种电视机台，则购进丙种电视机（50 ）台，根据题意，得15002500（50）=90000解得： =35，则50=15故第二种进货方案是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台设购进乙种电视机台，则购进丙种电视机（50）台，购进题意，得21002500（50）=90000解得： =87.5（不合题意）故此种方案不可行（2）上述的第一种方案可获利：1502520025=8750元，第二种方案可获利：1503525015=9000元，因为87509000，故应选择第二种进货方案【巩固练习】一、选择题1已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是( ) A1 B1 C-1 D0或12已知是方程的解，那么关于y的方程的解是( ) Ay1 By-1 Cy0 D方程无解3已知，则等于（ ）A B C D4一列火车长100米，以每秒20米的速度通过800米长的隧道，从火车进入隧道起，至火车完全通过所用的时间为( ) A50秒 B40秒 C45秒 D55秒5一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x的方程是（）A B C D6某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（）A80元B100元 C120元D160元7某书中一道方程题：，处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x2.5，那么处应该是数字( ) A-2.5 B2.5 C5 D78. 已知：，若符合前面式子的规律，则ab的值为（ ）A 179 B 140 C 109 D 210二、填空题9已知方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为_10已知和互为相反数，则_ 11当x_时，代数式的值为-112一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件 元13某种中草药含甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种草药成分的质量比是0.7124.7现在要配制这种中药1400克，这四种草药分别需要多少克？设每份为克，根据题意，得 14有一列数，按一定的规律排列：1，2，4，8，16，32，64，128，其中某三个相邻数之和为384，这三个数分别是 15已知关于的方程和方程有相同的解，则出该方程的解为 16. x表示一个两位数, y表示一个三位数, 若把x放在y的左边组成一个五位数记作M1, 把y放在x的左边组成一个五位数记作M2, 则 M1 - M2 是 的倍数三、解答题17解方程：（1）（2） （3）3x-2-4=0 18.探究：当b为何值时，方程x-2=b+1 无解；只有一个解； 有两个解.19右图的数阵是由一些奇数排成的 1 3 5 7 9（1）右图框中的四个数有什么关系？（设框中第一行第一个数 11 13 15 17 19 为） （2）若这样框出的四个数的和是200，求这四个数 91 93 95 97 99（3）是否存在这样的四个数，它们的和为420，为什么？20商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B 【解析】由题意得|m|1，且m+10，所以m1，故选B 2. 【答案】C 【解析】由x1是方程的解，可代入求出a的值，然后把a的值代入方程a(y+4)2ay+4a中，求出y的值3. 【答案】D 【解析】由原式可得：，将“”看作整体，合并化简即可 4【答案】C 【解析】相等关系是：火车所走的路程火车长度+隧道长度设火车完全通过所用时间为x秒，可得方程20x100+800，解得x455. 【答案】A【解析】解：两城距离为x，顺风要5.5小时，逆风要6小时，顺风速度=，逆风速度=，风速为24千米/时，可列方程为：6【答案】C 【解析】解：设最多降价x元时商店老板才能出售则可得：（1+20%）+x=360解得：x