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文档简介
专题01 极值点的关系证明极值点的关系证明是今年高考的热点和难点,其关键在于根据极值的必要条件确定极值点的关系,再通过极值的加减,运算整理,构造函数,再利用导数求最值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。【题型示例】1、已知函数,其中为正实数 (1)若函数在处的切线斜率为,求的值;(2)求函数的单调区间;(3)若函数有两个极值点,求证:【答案】(1)(2)单调减区间为, ,单调减区间为(3)见解析【解析】(1)因为,所以,则,所以的值为(2),函数的定义域为,若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为, ,单调减区间为(3)由(2)知,当时,函数有两个极值点,且因为要证,只需证构造函数,则,在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理,可知在上唯一实根, 且则在上递减,上递增,所以的最小值为因为,当时,则,所以恒成立所以,所以,得证2、已知。 (1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)当时, ,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.(2),令,时,无极值点,时,令得:或,由的定义域可知,且,且,解得:,为的两个极值点,即, ,且, ,得:,令, ,时,在递减, ,时, ,不合题意,综上,.3、已知函数(1)当时,求的极值;(2)讨论的单调性;(3)设有两个极值点,若过两点,的直线与轴的交点在曲线上,求的值【答案】(1)当时,的极大值为;当时,的极小值为;(2)见解析;(3)或或 【解析】(1)当时,则则的关系如下: 增减增所以,当时,的极大值为;当时,的极小值为(2),当时,且仅当时,所以在R是增函数当时,有两个根当时,得或,所以的单独增区间为:;当时,得,所以的单独减区间为:(3)由题设知,是的两个根,且所以同理, 所以,直线的解析式为设直线与轴的交点为则,解得代入得因为在轴上,所以解得,或或4、已知。(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.【答案】(1);(2). 【解析】(1)当时, ,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.(2),令,时,无极值点,时,令得:或,由的定义域可知,且,且,解得:,为的两个极值点,即, ,且, ,得:,令, ,时,在递减, ,时, ,不合题意,综上,.【专题练习】1、设函数,.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(2)求函数的单调区间;(3)若函数有两个极值点,且,求证:.【答案】(1);(2)函数在,单调递增,在单调递减(3)当函数有两个极值点时,故此时,且,即,所以,设,其中,则,由于时,故在是增函数,故,所以. 当,即时,的两个根为,当,即时,当时, 故当时,函数在单调递减,在单调递增;当时,函数在,单调递增,在单调递减(3)当函数有两个极值点时,故此时,且,即,所以,设,其中,则,由于时,故在是增函数,故,所以.2、已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)当时,所以.因
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