2019届高考数学二轮复习专题二导数第3讲函数的极值与最值课时训练.docx

第3讲函数的极值与最值1. 当函数yx2x取极小值时，x_答案：解析：令y2xx2xln 20，所以x.经验证，当x时，函数yx2x取极小值2. (2018南京外国语)函数f(x)x23x4在0，2上的最小值是_答案：解析：f(x)x22x3，由f(x)0，x0，2，得x1.比较f(0)4，f(1)，f(2)，可知最小值为.3. 函数yx33x9的极小值是_答案：7解析：y3x23，令y0，得x1；令y0，得1x1.故函数yx33x9在区间(，1)，(1，)上单调递增，在区间(1，1)上单调递减故函数yx33x9在x1时取得极小值，极小值为y7.4. 已知x2是函数f(x)x33ax2的极小值点， 那么函数f(x)的极大值为_答案：18解析：x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，即x2是f(x)3x23a0的根，代入x2得a4，经检验a4符合题意，所以函数解析式为f(x)x312x2，则f(x)3x212，令f(x)0，即3x2120，解得x2，故函数在(2，2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知，当x2时函数f(x)取得极大值，f(2)18.5. 若函数f(x)x3ax21在x4处取得极大值，则实数a的值是_答案：2解析：f(x)x22axx(x2a)，令f(x)0，解得x0或x2a，若函数f(x)x3ax21在x4处取得极大值，则2a4，解得a2.6. 已知函数f(x)的导函数f(x)x2x，则使得f(x)取得极大值的x_答案：0解析：由f(x)x2x0得到x0或x1，当x1时，f(x)0.当0x1时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值7. (2018辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_答案：(，3)(6，)解析：因为f(x)3x22mx(m6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根，所以4m243(m6)0，解得m6或m3，所以实数m的取值范围是(，3)(6，)8. 方程x36x29x100的实根个数是_答案：1解析：设f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1.9. 已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx_答案：解析：由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0，84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.10. 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值是_答案：13解析：求导得f(x)3x22ax.由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，所以a3，由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为直线x1，所以当n1，1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.11. 已知函数f(x)x3ax23x.(1) 若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2) 若x3是f(x)的极值点，求f(x)的极值解：(1) f(x)3x22ax30，在x1，)上恒成立，则a在1，)上恒成立，所以a(x)min3(当x1时取最小值)，即a的取值范围是(，3(2) 因为f(3)0，即276a30，所以a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2.当x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0，即当x时，f(x)取得极大值f()；当x3时，f(x)取得极小值f(3)9.12. (2018南京学情调研)已知函数f(x)2x33(a1)x26ax，aR.(1) 曲线yf(x)在x0处的切线的斜率为3，求a的值；(2) 若对于任意x(0，)，f(x)f(x)12ln x恒成立，求a的取值范围解：(1) 因为f(x)2x33(a1)x26ax，所以f (x)6x26(a1)x6a，所以曲线yf(x)在x0处的切线斜率kf (0)6a，所以6a3，所以a. (2) f(x)f(x)6(a1)x212ln x对任意x(0，)恒成立，所以(a1). 令g(x)，x0，则g(x).令g(x)0，解得x.当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x(，)时，g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递减所以g(x)maxg()， 所以(a1)，即a1，所以a的取值范围是. 13. 设函数f(x)exax1.(1) 若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2) 当a0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)0.(1) 解：由题意知f(x)exa0对xR恒成立，且ex0，故a的取值范围是a0.(2) 证明：当a0时，由f(x)exa，可得函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln