2016_2017学年高中数学2.2.1平面向量基本定理学案新人教B版必修.docx

2.2.1平面向量基本定理1.了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示.(重点)2.理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.(难点)基础初探教材整理1平面向量基本定理阅读教材P96P97“例1”以上内容，完成下列问题.1.平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.2.基底：把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量.()(3)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()【解析】(1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.(2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示.(3)错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立.【答案】(1)(2)(3)教材整理2直线的向量参数方程式阅读教材P97“例2”P98以上内容，完成下列问题.1.向量参数方程式：已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图221所示)，对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式(1t)t；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应.向量等式(1t)t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数.图2212.线段中点的向量表达式：在向量等式(1t)t中，令t，点M是AB的中点，则().这是线段AB的中点的向量表达式.已知AD为ABC的边BC上的中线，则等于()A.B.C. D.【解析】根据线段BC的中点向量表达式可知()，故选D.【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型用基底表示向量如图222，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，则_，_.(用a，b表示)图222【精彩点拨】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.【自主解答】()ab，()ab.【答案】abab平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.再练一题1.已知ABC中，D为BC的中点，E，F 为BC的三等分点，若a，b用a，b表示，.图223【解】a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.直线的向量参数方程式的应用已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有3(13)(R，点O为直线AB外一点)，则点C的轨迹是什么图形？并说明理由.【导学号：72010054】【精彩点拨】将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点.【自主解答】将已知向量等式两边同时减去，得(31)(13)(13)()(13)，即(13)，R，又，共始点，A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.理解直线的向量参数方程式时要注意(1t)t中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.再练一题2.如图224，设一直线上三点A，B，P满足(1)，O是平面上任意一点，则()A.B.C.D.图224【解析】P，A，B三点共线，一定存在实数t，使得(1t)t，则t满足(1t)t1，只有选项A：1符合.【答案】A探究共研型平面向量基本定理的综合应用探究1在向量等式xy中，若xy1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？【提示】三点P，A，B在同一直线上.在向量等式xy中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy1.探究2如图225所示，有点O，A，D，B，以OA和OB为邻边作一平行四边形ADBO，将此平行四边形的各边所在直线延长，将平面分成9部分，对于平面上任一向量，存在唯一有序实数对(x，y)，使xy成立.图225对于点C的位置与实数x，y的取值情况需分几种讨论？【提示】需分12种情况.(1)点C与点O重合，则xy0.(2)点C与点A重合，则x1，y0.(3)点C与D重合，则xy1.(4)点C与点B重合，则x0，y1.(5)点C在直线OA上，则xR，y0.(6)点C在直线AD上，则x1，yR.(7)点C在直线BD上，则xR，y1.(8)点C在直线OB上，则x0，yR.(9)点C在直线OD上，则xy.(10)点C在直线AB上，则xy1.(11)点C在区域上，则x1；点C在区域上，则0x1；点C在区域上，则x0.(12)点C在区域上，则y0；点C在区域上，则0y1.如图226所示，在OAB中，a，b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P，求.图226【精彩点拨】可利用t及s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得.【自主解答】A()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解.再练一题3.如图227所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于E，设a，b，试用基底a，b表示向量.图227【解】易得b，a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b，由于a，b为基底，所以解之得所以ab.1.(2016黄石高一检测)已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.，B.，C.， D.，【解析】由于，不共线，所以是一组基底.【答案】D2.已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A.不共线 B.共线C.相等 D.不确定【解析】ab3e1e2，c2(ab)，ab与c共线.【答案】B3.如图228，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则()图228A.(5e13e2) B.(5e13e2)C.(3e25e1) D.(5e23e1)【解析】()()(5e13e2).【答案】A4.(2016福州市八县一中高一联考)已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有，则_.【解析】A，B，D三点共线，存在实数t，使t，则t()，即t()(1t)t，即.【答案】5.已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.【导学号：72010055】【解】a，b不共线，可设cxayb，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又e1，e2不共线，解得ca2b.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A.e1e2和e1e2B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2D.e1和e1e2【解析】B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底.【答案】B2.(2016合肥高一检测)如图229，向量ab等于()图229A.4e12e2B.2e14e2C.e13e2D.3e1e2【解析】不妨令a，b，则ab，由平行四边形法则可知e13e2.【答案】C3.(2016大连高一检测)如图2210，已知E，F 分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF 与AC交于点G，若a，b，用a、b表示()图2210A.ab B.abC.ab D.ab【解析】易知，.设，则由平行四边形法则可得()22，由于E，G，F 三点共线，则221，即，从而，从而(ab).【答案】D4.若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B. C. D.【解析】4rs，()rs，r，s，3rs.【答案】C5.如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是()A.若实数1，2，使1e12e20，则120B.空间任一向量a可以表示为a1e12e2，其中1，2RC.对实数1，2，1e12e2不一定在平面内D.对平面中的任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对【解析】选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面内任一向量都可表示为1e12e2的形式，故1e12e2一定在平面内；选项D错误，这样的1，2是唯一的，而不是有无数对.【答案】A二、填空题6.已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.【解析】由题意可以设ab1(b3a)31a1b，因为a与b不共线，所以有解得【答案】7.设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_.【解析】因为ae12e2 ，be1e2 ，显然a与b不共线，得ab3e2，所以e2代入得e1e2bbab，故有e1e2ababab.【答案】ab三、解答题8.如图2211，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，求的值.图2211【导学号：72010056】【解】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则，在RtOCD中，因为|2，COD30，OCD90，所以|4，|2，故4，2，即4，2，所以6.9.(2016马鞍山二中期末)如图2212所示，在ABCD中，E，F 分别是BC，DC的中点，BF 与DE交于点G，设a，b.图2212(1)用a，b表示；(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线.【解】(1)abbab.(2)证明：连接AC，BD交于O，则，E，F 分别是BC，DC的中点，G是CBD的重心，又C为公共点，A，G，C三点共线.能力提升1.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向.又0，)，的方向与的方向相同.而，点P在上移动，点P的轨迹一定通过ABC的内心.【答案】B2.如图2213所示，OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运