2019版高考数学第9章平面解析几何3第3讲圆的方程教案理.docx

第3讲圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径： 2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()(4)方程x22axy20一定表示圆()(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22，选D. 方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A.m1Bm1Cm1解析：选B.由(4m)2445m0，得m1. 点(1，1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0，即3a24a40，解得2a.又a，所以仅当a0时，方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆【答案】B角度二由已知条件求圆的方程 求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程【解】法一：设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.由题意得解得故所求圆的方程为x2y22x4y50.求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值提醒解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质 通关练习1设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上B原点在圆外C原点在圆内D不确定解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a0，即，所以原点在圆外2若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(x5)2y25或(x5)2y25B(x)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25解析：选D.设圆心坐标为(a，0)(a0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)24与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)借助几何性质求最值问题；(2)建立函数关系求最值 典例引领 角度一借助几何性质求最值问题 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值【解】原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2. 在本例条件下，求x2y2的最大值和最小值解：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.角度二建立函数关系求最值 (2018厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则的最大值为_【解析】由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212.【答案】12求解与圆有关的最值问题的方法 通关练习1如果实数x，y满足圆(x2)2y21，那么的取值范围是_解析：(x，y)在圆上，表示的是圆上的点(x，y)与点(1，3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k，切线方程为kxy3k0，圆心到直线的距离等于半径，即1，k，故取值范围是.答案：2由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_解析：切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.答案：3设圆x2y22的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为_解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线AB的方程为1，即bxayab0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d，即2(a2b2)(ab)24ab，所以ab4，当且仅当ab时取等号又|AB|2，所以|AB|的最小值为2，此时ab，即ab2，切线l的方程为1，即xy20.答案：xy20与圆有关的轨迹问题 典例引领 已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程【解】(1)由x2y26x50得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1，当x3时可得1，整理得y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此0)；(2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0) 易错防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；(2)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件 1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21解析：选A.设圆心为(0，a)，则1，解得a2，故圆的方程为x2(y2)21.故选A.2方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆B两个圆C半个圆D两个半圆解析：选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆3(2018湖南长沙模拟)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1B2C1D22解析：选A.将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11，选A.4(2018山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x0和xy2均相切，则该圆的标准方程为()A(x1)2(y2)24B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)24D(x2)2(y2)24解析：选C.设圆心坐标为(2，a)(a0)，则圆心到直线xy2的距离d2，所以a2，所以该圆的标准方程为(x2)2(y2)24，故选C.5(2018广东七校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是()A2B. C4D. 解析：选D.由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，因为圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，所以该直线经过圆心(1，3)，即a3b30，所以a3b3(a0，b0)所以(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D.6圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的范围为_解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|CB|得(a1)212(a1)232.所以a2.半径r|CA|.故圆C的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2()210，解得0m4.答案：(0，4)7已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为_解析：圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0.即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.答案：(x1)2(y3)228已知点P(2，3)，圆C：(x4)2(y2)29，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，则过P、A、B三点的圆的方程为_解析：易知圆C的圆心为C(4，2)，连接AC、BC，由题意知PAAC，PBBC，所以P，A，B，C四点共圆，连接PC，则所求圆的圆心O为PC的中点，所以O，所以所求圆的半径r.所以过P，A，B三点的圆的方程为(x1)2.答案：(x1)29求适合下列条件的圆的方程(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(9，2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.所以圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)所以半径r2，所以所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E4，F95.所以所求圆的方程为x2y22x4y950.10已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3，6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.1已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是()A(2，4)B2，4C4，4D4，2解析：选B.由于y0，所以x2y24(y0)为上半圆.xym0是直线(如图)，且斜率为，在y轴上截距为m，又当直线过点(2，0)时，m2，设圆心O到直线xym0的距离为d，所以即解得m2，42设命题p：(x，y，kR且k0)；命题q：(x3)2y225(x，yR)若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是_解析：如图所示：命题p表示的范围是图中ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件，实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可由题知B，则解得0k6.答案：(0，63.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程解：(1)由已知可知A(3，0)，B(3，0)，C(，3)，D(，3)，设圆心E(0，b)由|EB|EC|，得(03)2(b0)2(0)2(b3)2，解得b1，r2(03)2(10)210，所以圆的方程为x2(y1)210.(2)设P(x，y)，由已知得M(2x5，2y2)，代入x2(y1)210，得(2x5)2(2y3)210，化简得.4已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O