2019版高考数学不等式选讲3第3讲柯西不等式与排序不等式教案理.docx

第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立(2)(二维变式)|acbd|，|ac|bd|(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2R，那么(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则2柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1，2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立3排序不等式设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，则有：a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和 若x2y3z6，求x2y2z2的最小值解：因为6x2y3z，所以x2y2z2，当且仅当x即x，y，z时，x2y2z2有最小值. 设a1，a2，b1，b2为实数，求证：.证明：()2aa2bbaa2|a1b1a2b2|bbaa2(a1b1a2b2)bb(a2a1b1b)(a2a2b2b)(a1b1)2(a2b2)2，所以 . 已知a，b，cR，a2b2c21.若不等式|x1|x1|(abc)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围解：由柯西不等式得(abc)212(1)212(a2b2c2)3.若不等式|x1|x1|(abc)2对一切实数a，b，c恒成立，则|x1|x1|3.即实数x的取值范围为. 已知a，b为正数，求证：.证明：因为a0，b0，所以由柯西不等式，得(ab)()2()29，当且仅当ab时取等号，所以.柯西不等式的证明典例引领 若a，b，c，d都是实数，求证：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立【证明】因为(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2a2c2b2d22acbda2d2b2c22adbc(adbc)20，当且仅当adbc时，等号成立即(a2b2)(c2d2)(acbd)20，所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立设，是两个向量，求证|，当且仅当为零向量或存在实数k，使k时等号成立证明：如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量(a，b)，(c，d)，与之间的夹角为，0.根据向量数量积(内积)的定义，有|cos ，所以|cos |.因为|cos |1，所以|.如果向量和中有零向量，则adbc0，不等式取等号如果向量和都不是零向量，则当且仅当|cos |1，即向量和共线时，不等式取等号柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则 .证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)由|CA|CB|BA|与两点间的距离公式得.当且仅当点C位于线段BA上时取等号 若a，b，cR，且1，求证：a2b3c9.证明：因1，又a，b，cR，故由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.利用柯西不等式求最值典例引领 已知正实数u，v，w满足u2v2w28，求的最小值【解】因为u2v2w28.所以82(u2v2w2)2(91625)，所以.当且仅当345，即u，v，w2时取到“”，所以当u，v，w2时的最小值为.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件 通关练习1设x，y，zR，2xy2z6，试求x2y2z2的最小值解：考虑以下两组向量u(2，1，2)，v(x，y，z)，根据柯西不等式(uv)2|u|2|v|2，得2x(1)y(2)z222(1)2(2)2(x2y2z2)，即(2xy2z)29(x2y2z2)，将2xy2z6代入其中，得369(x2y2z2)，即x2y2z24，故x2y2z2的最小值为4.2设x，y，zR，x2y2z225，试求x2y2z的最大值与最小值解：根据柯西不等式，有(1x2y2z)212(2)222(x2y2z2)，即(x2y2z)2925，所以15x2y2z15，故x2y2z的最大值为15，最小值为15.函数与柯西不等式的综合问题典例引领 (2018贵州省适应性考试)已知函数f(x)|x1|x5|，g(x).(1)求f(x)的最小值；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2b26，求证：g(a)g(b)m.【解】(1)因为f(x)|x1|x5|，所以f(x)|x1|x5|所以f(x)min4.(2)证明：由(1)知m4.由柯西不等式得1g(a)1g(b)2(1212)g2(a)g2(b)，即g(a)g(b)22(a2b22)，又g(x)0，a2b26，所以g(a)g(b)4(当且仅当ab时取等号)即g(a)g(b)m.求解函数与柯西不等式综合问题的步骤(1)利用求函数最值的方法求出其最值M(或m)(2)根据M(或m)构造的条件，将要求的不等式转化成柯西不等式的特点，利用柯西不等式求其解 (2018湖南省湘中名校高三联考)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解：(1)由|xa|b，可得baxba，所以ba2且ba4.解得a3，b1.(2)利用柯西不等式，可得()2，当且仅当，即t2时等号成立 利用柯西不等式解决问题的关键是构造柯西不等式的结构形式 二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2反映4个实数之间的特定关系利用其求最值时，注意构造常量a2b2(或c2d2) 用柯西不等式求最值或证明不等式时，注意等号成立的条件 1设a，bR且ab1，求证：.证明：因为(1212)25.所以.2设a、b、c是正实数，且abc9，求的最小值解：因为(abc)()2()2()218.所以2.当且仅当abc时取等号，所以的最小值为2.3已知x，y，z均为实数若xyz1，求证：3.证明：因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.当且仅当x，y，z0时取等号4已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解：(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43，6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值m3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc)(当且仅当abc1时，取“”)所以abc，即3.5已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.解：(1)因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab且x1x21时，有最小值6.(2)证明：由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x1x2，当且仅当，即x1x2时取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.1设a1，a2，an是1，2，n(n2，nN*)的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2，且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.故原不等式成立2已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解：(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)(23c1)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.3(2018成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)4|