抽象函数的对称性与周期性.doc

您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！抽象函数的对称性与周期性一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (bx)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 对称。推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax) （或f (2ax)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程f (x)=0有n个根，则此n个根的和为na 。定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (bx)=c，（a,b,c为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点 对称。推论1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (ax)=0，（a为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。定理3.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (bx)两函数的图象关于直线x=对称。定理4.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=cf (bx)两函数的图象关于点对称。性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= f(bx)成立，则y=f(x)的图象关于点（,0）对称。性质2：函数y=f(xa)与函数y=f(ax)的图象关于直线x=a对称。性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(ax)的图象关于直线x=0对称。性质4：函数y=f(a+x)与函数y=f(bx)图象关于点（,0）对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)=f (xb)，则y=f (x) 是以T=ab为周期的周期函数。定理6.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)= f (xb)，则y=f (x) 是以T=2（ab）为周期的周期函数。定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 x=b （ab)对称，则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数。定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (ab)对称，则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数。定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 点(b,0),(ab)对称，则y=f (x) 是以 T=4(ba)为周期的周期函数。性质1：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx) (ab,ab0),则函数f(x)有周期2(ab)；性质2：若函数f(x)满足f(ax)= f(ax)及f(bx)= f(bx)，(ab,ab0),则函数有周期2(ab).特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.性质3：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (ab,ab0)，则函数有周期4(ab).特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。练习：1 设,求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线方程。2函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A f(1)f()f() B. f()f(1) f() B C. f()f()f(1) D f()f(1) f().3已知函数f(x1)的图象，通过怎样的变换可以得到函数f(x+2)的图象。4. 若函数f (x)=x2+bx+c 对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ ） （A） f (2)f (1) f(4) (B)f (1)f (2) f(4) (C) f (2)f (4) f(1) (D)f (4)f (2) f(1)5、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (1x)的图象关于（ ）对称。（A）直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=16、设函数y= f (x)定义在实数集R上，且满足 f (x1)= f (1x)，则函数y= f (x)的图象关于（ ）对称。（A）直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线y=1 (D)直线 x=17、设函数f (x)=(xa)3 对任意实数x 都有 f (2+x) =f (2x) ,则 f (3)+f (3) = ( ) (A) 124 (B) 124 (C) 56 (D) 568、已知实系数多项式函数f (x) 满足f (1x) = f (3x) , 并且方程 f (x)=0有四个根，求这四个根之和。9、函数 f(x)的定义域为R，且满足 f (12x) = f (x) ,方程f (x) =0 有n个实数根，这n个实数根的和为1992，那么n为（ ）（A） 996 （B） 498 （C） 332 （D） 11610、设f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足 f (10+x) = f (10x)与 f (20x)= f (20+x)，则f (x)是 （ ）（A）偶函数，又是周期函数， （B）偶函数，但不是周期函数（C）奇函数，又是周期函数， （D）奇函数，但不是周期函数11、设y=f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足 f (x) = f (x)与f (4x)=f (x)，若当x0,2时，f (x) =-x2 +1 ,则当x6 , 4 时f (x)= （