全国高考数学复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系习题理.docx

第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系【选题明细表】知识点、方法题号极坐标与直角坐标的互化1直线和圆的极坐标方程及应用2简单曲线的极坐标方程及应用3,41.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设C的极坐标方程为=2sin ,点P为C上一动点,点M的极坐标为(4,),点Q为线段PM的中点.(1)求点Q的轨迹C1的方程;(2)试判定轨迹C1和C的位置关系,并说明理由.解:(1)由C的极坐标方程为=2sin 得2=2sin ,所以C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,又点M的极坐标为(4,),所以点M的直角坐标为(0,4).设点P(x0,y0),点Q(x,y),则有+(y0-1)2=1.(*)因为点Q为线段PM的中点,所以代入(*)得轨迹C1的方程为x2+(y-)2=.(2)因为C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1,而轨迹C1是圆心为(0,),半径为的圆,所以两圆的圆心距为,等于两圆半径和,所以两圆外切.2.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为=-2cos ,cos(+)=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.解:(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离为d=1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点.(2)设Q(0,0),P(,),则即 因为点Q(0,0)在曲线C2上,所以0cos(0+)=1, 将代入,得cos(+)=1,即=2cos(+)为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为(x-)2+(y+)2=1,因此点P的轨迹是以(,-)为圆心,1为半径的圆.3.导学号 49612292在极坐标系中,圆C是以点C(2,-)为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求圆C被直线l:=-(R)所截得的弦长.解:法一(1)设所求圆上任意一点M(,),如图,在RtOAM中,OMA=90,AOM=2-,|OA|=4.因为cos AOM=,所以|OM|=|OA|cos AOM,即=4cos(2-)=4cos(+),验证可知,极点O与A(4,- )的极坐标也满足方程,故=4cos (+)为所求.(2)设l:=-(R)交圆C于点P,在RtOAP中,OPA=90,易得AOP=,所以|OP|=|OA|cos AOP=2.法二(1)圆C是将圆=4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是=4cos(+).(2)将=-代入圆C的极坐标方程=4cos(+),得=2,所以圆C被直线l:=-(R)所截得的弦长为2.4.已知曲线C1的极坐标方程为cos(-)=-1,曲线C2的极坐标方程为=2cos(-).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.解:(1)依题意得=2cos(-)=2(cos +sin ),即2=2(cos +sin ),可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)曲线C1的极坐标方程为cos(-)=-1,即(cos +sin )=-1,化为直角坐标方程为x+y