浙江专版高考数学第7章立体几何热点探究训练4立体几何中的高考热点问题.docx

热点探究训练(四) 立体几何中的高考热点问题1如图9所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：图9(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF. 【导学号：51062255】证明(1)如图，建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，3分(2,4,0)，(2,4,0)，DENC.又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.6分(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.12分，即B1FEF，B1FAF.又AFFEF，B1F平面AEF.15分2(2017绍兴模拟)如图10，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DADHDB4，AECG3.图10(1)求证：EGDF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值解(1)证明：连接AC，由AE綊CG可得四边形AEGC为平行四边形，所以EGAC，而ACBD，ACBF，所以EGBD，EGBF，3分因为BDBFB，所以EG平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EGDF.6分(2)设ACBDO，EGHFP，由已知可得，平面ADHE平面BCGF，所以EHFG，同理可得EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綊AE，从而OP平面ABCD.9分又OAOB，所以OA，OB，OP两两垂直由平面几何知识得BF2.如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2,0)，E(2，0,3)，F(0,2,2)，P(0,0,3)，所以(2，2,3)，(2，0,0)，(0,2，1).12分设平面EFGH的法向量为n(x，y，z)，由可得令y1，则z2，所以n(0,1,2)设BE与平面EFGH所成角为，则sin .故直线BE与平面EFGH所成角的正弦值为.15分3如图11，直角三角形ABC中，A60，ABC90，AB2，E为线段BC上一点，且BEBC，沿AC边上的中线BD将ABD折起到PBD的位置图11(1)求证：BDPE；(2)当平面PBD平面BCD时，求二面角CPBD的余弦值解由已知得DCPDPBBD2，BC2.1分(1)证明：取BD的中点O，连接OE，PO.OB1，BE且OBE30，OE，OEBD.3分PBPD，O为BD的中点，POBD，又POOEO，BD平面POE，BDPE.6分(2)平面PBD平面BCD，PO平面BCD，OE，OB，OP两两垂直，如图以O为坐标原点，以OE，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(0,1,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，(0，1，)，(，3,0).9分设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则不妨令y，得n(3，1).12分又平面PBD的一个法向量为m(1,0,0)，cosm，n，故二面角CPBD的余弦值为.15分4在如图12所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的条母线. 图12(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角 FBCA的余弦值. 【导学号：51062256】解(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GIEF.2分又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.6分(2)法一：连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FMOB于点M，所以FM3，可得F(0，3).9分故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得12分可得平面BCF的一个法向量m.因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cos m，n，所以二面角FBCA的余弦值为.15分法二：如图，连接OO，过点F作FMOB于点M，则有FMOO.又OO平面ABC，所以FM平面ABC，可得FM3.9分过点M作MNBC于点N，连接FN，可得FNBC，从而FNM为二面角FBCA的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin 45.12分从而FN，可得cosFNM.所以二面角FBCA的余弦值为.15分5已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD2，AB1，E，F分别是线段AB，BC的中点图13(1)求证：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值解(1)证明：PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)，不妨令P(0,0，t)，t0.2分(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00，PFFD.4分(2)设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得则取z1，则n.设G(0,0，m)(0mt).8分E，由题意n0，m0，mt，当G是线段PA的靠近于A的一个四等分点时，使得EG平面PFD.10分(3)PA平面ABCD，PBA就是PB与平面ABCD所成的角，即PBA45，PAAB1，P(0,0,1)，由(2)知平面PFD的一个法向量为n.12分易知平面PAD的一个法向量为(1,0,0)，cos，n.由图知，二面角APDF的平面角为锐角，二面角APDF的余弦值为.15分6如图14，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.图14(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解(1)证明：如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.1分由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.4分从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因为