《定积分教案》word版.doc

高等数学教案 5积分的应用第五章定积分及其应用知识点：教学目的要求：（1）理解与掌握定积分的概念与性质；了解变上限积分函数的概念，能求变限积分函数的导数。（2）掌握牛顿莱布尼兹公式，并能熟练利用牛顿莱布尼兹公式计算简单的定积分；掌握定积分的换元积分法与分部积分法，并能熟练地进行定积分的计算。（3）了解无穷限积分的概念，能进行简单的无限积分的计算。（4）掌握定积分的几何意义，同时能利用定积分解决一些简单的应用问题。教学重点：1定积分的概念与几何意义2牛顿莱布尼兹公式及应用3定积分的计算方法教学难点：1定积分的概念及性质2换元积分法与分部积分法3无穷限积分的概念及计算4利用定积分解决实际应用问题第一节定积分的概念与性质【教学内容】定积分的定义，定积分的几何意义，定积分的简单性质。【教学目的】理解定积分的概念，了解如何根据定义计算定积分；理解定积分的概念，会用定积分求曲边梯形的面积；掌握定积分的性质，会比较定积分的大小。【教学重点】1定积分的定义；2利用定积分计算曲边梯形的面积；3定积分的性质。【教学难点】1定积分的概念；2定积分的性质。【教学时数】3学时【教学进程】一、两个实例1曲边梯形的面积提问：在生产实际中，常常需要计算各种图形的面积，对于矩形、三角形、圆等规则图形的面积，我们在初等数学中已学过然而在实际问题中常常会碰到由一条曲线围成的平面图形的面积，如何计算图51中的阴影部分的面积？(1) 曲边梯形：由连续曲线与三条直线,所围成的平面图形（如图52所示） 提问：如何计算曲边梯形的面积？(2)计算曲边梯形面积的基本思想：将原曲边梯形划分成若干个小区间，考虑每个小区间上小曲边梯形的面积如果分得足够细，则每个小曲边梯形的面积近似地等于一个小矩形的面积。把所有这些小矩形的面积加起来，就得到大曲边梯形面积的近似值。当分割无限细密，并使得每一个小区间的长度都趋于零时，得到的近似值就无限接近于曲边梯形的面积，因此，其极限就可定义为该曲边梯形的面积A。具体步骤表述如下：（1）分割用分点把区间分成个小区间，第个小区间的长度记为，即过每个分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形(如图53所示)第个小曲边梯形的面积记为，则（2）近似代替在第个小区间上任取一点，用以为宽，为高的小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，即提问：为什么能在小区间上任取一点？（3）求和将每个小矩形的面积相加，所得的和就是整个曲边梯形面积的近似值，即（4）取极限当这些小区间长度的最大值趋向于零时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即上式表明，曲边梯形的面积就是一个和式的极限 提问：为什么要使小区间长度的最大值趋向零？2变速直线运动的路程 提问：如何计算变速直线运动的物体所走的路程，能否用匀速直线运动“路程速度时间”计算？已知速度是时间的连续函数，且，采用求曲边梯形面积的类似方法计算从时刻到时刻物体所经过的路程计算物体作变速直线运动所经过路程的基本思想：将总时间区间划分成若干个小区间，考虑每个小区间内物体作匀速直线运动的路程如果分得足够细，则每个小区间内物体作匀速直线运动的路程近似地等于物体作变速直线运动的路程。把所有匀速直线运动的路程加起来，就得到变速直线运动的路程的近似值。当分割无限细密，并使得每一个小区间的长度都趋于零时，得到的近似值就无限接近于变速直线运动的路程，因此，其极限就可定义为变速直线运动的路程。具体步骤表述如下：（1）分割用分点把时间区间分成个小区间，第个小区间的长度记作物体在第个小区间内所走的路程记作，则（2）近似代替在第个小区间上任取一点，在很短的时间间隔内，速度的变化是微小的，可以将内的变速直线运动近似地看作速度为的匀速直线运动，得到路程的近似值，即（3）求和把个小区间内的路程相加，得到整个区间上的路程的近似值，即（4）取极限当这些小区间长度的最大值趋向于零时，和式的极限就是物体所走的路程，即上式表明，变速直线运动的路程也是一个和式的极限思考：已知边际成本函数，产量由a增到b时总成本为多少？二、定积分的定义提问：上面两个实例解决问题的思想方法与步骤是否相同，最终结果有什么特点？我们把这类求和式的极限的问题从具体问题中抽象出来进行研究，从而引进了定积分的概念定义51设函数在区间上有定义，在中插入个分点把区间分成个小区间，每个小区间的长度依次为（）在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作和式（称为积分和式）记，如果当时，和式的极限存在，则称这个极限值为函数在上的定积分（简称积分），记作，即其中叫做积分号，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间强调定积分符号必须正确书写。如果函数在上的定积分存在，我们就称函数在上可积，否则称函数在上不可积提问：什么样的函数是可积的？定理5.1 闭区间上的连续函数必可积了解定理5.1，在此不讨论。由定积分的定义，前面的两个实例可分别表述如下：（1）由连续曲线与直线所围成的曲边梯形的面积等于函数在上的定积分，即（2）变速直线运动的物体所走的路程等于其速度在时间区间上的定积分，即说明：提问：定积分的值与区间的分法以及点的取法是否有关？（无关） 提问：因为定积分是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，它与哪些因素有关，与积分变量用什么字母是否有关？(与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关)，即有在定积分的定义中，我们假定，即积分下限小于积分上限如果，我们规定即，定积分上下限互换时，积分值仅改变符号；当时，规定例1 根据定积分的定义，证明证明 被积函数是常数，由定积分的定义，得为方便起见，我们可把积分简记为，即例2 根据定积分的定义计算解因为积分值与区间的分法及点的取法无关为了便于计算，我们把区间等分，分点为这时，每个小区间的长度选取每个小区间的右端点为，即于是，积分和式为因为，所以当时，于是=三、定积分的几何意义由前面的讨论知，我们可以得到以下的几何解释（1）当时，定积分在几何上表示由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积；提问：当时，如何计算曲边梯形的面积？（2）如果在上，则，因此由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积为因此这就是说，当时，定积分在几何上表示曲边梯形面积的负值（如图54所示）；提问：如果在上有时取正值，有时取负值，如何计算曲边梯形的面积？（3）如果在上有时取正值，有时取负值（如图55所示），则有比较：总面积因此，在一般情形下，定积分的几何意义是：它表示由曲线与直线所围成的曲边梯形各部分面积的代数和例3 用定积分表示图56中各图形阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值解（）在图56（1）中，被积函数在区间上连续，且，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为所以（2）在图56（2）中，被积函数在区间上连续，且，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为所以（3）在图56（3）中，被积函数在区间上连续，且，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为所以课堂练习：根据定积分的几何意义求出定积分的值（1）计算。（答案：）（2）计算。（答案：8）（2）计算。（答案：2）三、定积分的简单性质在下面的讨论中，假定函数在所讨论的区间上都是可积的性质1两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，即例如，推广：有限个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和即性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即例如，性质3（积分区间的可加性）对于任意三个数，总有下面根据定积分的几何意义对这一条性质加以说明分两种情况讨论：当介于、之间时，在图57（1）中，有提问：当介于、之外时，如何计算？在图57（2）中，因为所以+不论的位置如何，式子都成立性质4如果在区间上，恒有，则例4 不计算定积分的值，比较下列定积分大小（1）与 （2）与解 （1）因为当时，所以课堂练习：比较下列定积分大小。（1）与；（答案：）（2）与；（答案：）（3）与；（答案：）性质5如果和分别是在区间上最小值和最大值，则由性质4，又，性质4与性质5可用定积分的几何意义加以说明（如图5-8、图5-9所示）性质6（积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得当（）时，积分中值定理的几何解释是：由曲线，直线，和所围成的曲边梯形的面积，等于以区间为底、以该区间上某一点处的函数值为高的矩形的面积（如图510所示）强调从几何意义理解记忆。通常我们称为函数在上的平均值本堂课小结：主要内容：定积分的概念，定积分的几何意义，定积分的简单性质重点：定积分的定义，利用定积分计算曲边梯形的面积，定积分的性质难点：定积分的概念，定积分的性质作业：第二节微积分基本公式【教学内容】变上限积分函数，牛顿莱布尼茨公式。【教学目的】掌握牛顿莱布尼兹公式，并能熟练利用牛顿莱布尼兹公式计算简单的定积分。【教学重点】牛顿莱布尼兹公式及应用。【教学难点】变上限积分函数的概念。【教学时数】学时【教学进程】一、变上限积分函数设函数定义在上，x为区间上的任意一点，由定积分的几何意义知，定积分表示的是图511中阴影部分的面积提问：当阴影部分的面积发生变化时，变上限积分函数是否为的函数？随着积分上限x在区间内变化，定积分都有惟一确定的值与相对应，所以是的函数，称它为变上限积分函数，记作，即定理52如果函数在区间上连续，则函数在区间上可导，且它的导数就是，即本定理说明了变上限积分函数与被积函数的的关系，即是连续函数的一个原函数提问：变上限积分函数与定积分有何区别？（变上限积分函数是的函数，属于定积分；而定积分是一个极限值，它是一个常数）提问：变上限积分函数与不定积分有何区别？（变上限积分函数是被积函数的一个原函数；而不定积分是被积函数的一个原函数加上一个任意常数）例1 设，求解 根据定理52，可得=例2 设，求解 将积分上下限交换后再求导，可得=*例3 设，求解 是一个由与复合而成的函数，根据复合函数求导法则求导所以=*例4 设，求解 利用积分区间的可加性将积分分解成两个积分，再求导 课堂练习：（1）设，求。（答案：）（2）设，求。（答案：）（2）设，求。（答案：）二、微积分基本公式定理53设函数在上连续，且是在上的一个原函数，则证明因为是的一个原函数，又由定理52可知，函数也是的一个原函数，提问：函数的任意两个原函数之间的关系是什么？根据第四章第一节中拉格朗日中值定理的推论2知，这两个原函数至多相差一个常数，即在上式中，令，得因为，所以于是，得在上式中，令，即得由于定积分的值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得上式称为牛顿（Newton）莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫微积分基本公式上述公式也可以写成或由牛顿莱布尼茨公式可知，求在区间上的定积分，只需求出在区间上的任一个原函数，并计算它在两端处点的函数值之差即可例5求定积分解因为，所以是的一个原函数，所以由牛顿莱布尼茨公式有关键是寻找原函数，将本题与上节例2比较，可看出计算的简洁性例6求定积分解因为，所以是的一个原函数，所以由牛顿莱布尼茨公式，有例7求定积分解因为，所以是的一个原函数，所以由牛顿莱布尼茨公式，有由例5、例6、例7可以看出，应用牛顿莱布尼茨公式求定积分时，先用不定积分求被积函数的原函数，再求原函数在积分区间上的差为了简便，第一步可以不必写出来 例8求定积分解这里用到性质5.1的推论例9求定积分解提问：能否对被积函数直接积分，其绝对值如何去掉？被积函数是分段函数由积分区间的可加性，得 例10 求定积分.解 这里采用凑微分法例11 求定积分.解 运用加一项减一项的技巧，在上例12 求定积分.解 例13 求定积分.解例14 求定积分.解课堂练习：求下列定积分（1）。（答案：）（2）。（答案：）（3）。（答案：）（4）。（答案：）（5）。（答案：）（6）。（答案：）本堂课小结：主要内容：变上限积分函数，牛顿莱布尼茨公式重点：牛顿莱布尼兹公式及应用难点：变上限积分函数的概念作业：第三节 定积分的换元积分法与分部积分法【教学内容】定积分换元积分法，定积分分部积分法。【教学目的】掌握定积分的换元积分法与分部积分法，并能熟练地进行定积分的计算。【教学重点】定积分的计算方法。【教学难点】换元积分法与分部积分法。【教学时数】2学时【教学进程】一、定积分的换元积分法定理5.4设函数在上连续，令，且满足：（1），；（2）当从变化到时，单调地从变化到；（3）在上连续则上式称为定积分的换元公式使用定积分换元积分法注意事项：1.换元时可以令或；2.积分上、下限要相应换成新变量的积分上、下限（不定积分换元积分法不考虑积分上、下限问题）；3.不必象计算不定积分把求出的原函数换成原变量的函数。例1计算解令，则，且当时，；当时，所以 根式代换的特点：整体作变换。例2计算解提问：如何作代换，用还是？令，则，且当时，；当时，所以本例用到立方和公式： *例3计算解令，则，且当时，；时，于是 三角代换的特点：1.形如，作代换；2.形如，作代换；3.形如，作代换课堂练习：求下列定积分（1）。（答案：）（2）。（答案：）（3）。（答案：）（4）。（答案：）（5）。（答案：）例4设在上连续，试证明：（1）若在上为偶函数，则（2）若在上为奇函数，则证明因为在中，令，则当时，；时，于是（1）若为偶函数，则于是所以（2）若为奇函数，则于是所以上述结论的几何意义如图5-12所示. 利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到简化，甚至不经计算即可得到结果.例5计算下列定积分：（1）. （2） （3）解（1）因为被积函数是奇函数，且积分区间关于原点对称所以（2）因为被积函数是偶函数，且积分区间关于原点对称，所以（3）因为=，被积函数是奇函数，是偶函数，且积分区间关于原点对称，所以在利用这两个公式计算时关键是判断积分区间是否对称以及被积函数的奇偶性。课堂练习：求下列定积分（1）。（答案：）（2）。（答案：）（3）。（答案：）二、定积分的分部积分法定理5.5设函数与在区间上有连续的导数，则或简写成上述公式称为定积分的分部积分公式. (1)被积函数为幂函数与对数函数的乘积例6 计算. 解 =幂函数与对数函数乘积时，先用幂函数凑微分；本例中幂函数看作。(2)被积函数为幂函数与三角函数的乘积例7 计算. 解 =幂函数与三角函数乘积时，先用三角函数凑微分。(3)被积函数为幂函数与反三角函数的乘积例8 计算. 解 =幂函数与反三角函数乘积时，先用幂函数凑微分。(4)被积函数为幂函数与指数函数的乘积例9 计算. 解 幂函数与指数函数乘积时，先用指数函数凑微分。例10计算解令，则，且当时，；当时，于是 本例先采用换元积分法时，再使用分部积分法。课堂练习：求下列定积分（1）。（答案：）（2）。（答案：）（3）。（答案：）（4）。（答案：）（5）。（答案：）本堂课小结：主要内容：定积分换元积分法，定积分分部积分法重点：定积分的计算方法难点：换元积分法与分部积分法作业：第四节 广义积分【教学内容】无穷区间上的积分，被积函数为无界函数的积分。【教学目的】了解广义积分的概念，能进行简单的广义积分的计算。【教学重点】1广义积分的概念；2广义积分的计算。【教学难点】广义积分的概念及计算。【教学时数】学时【教学进程】常义积分：积分区间是有限区间，且被积函数是有界函数的定积分；广义积分：积分区间是无穷区间或者被积函数是无界函数的定积分一、无穷区间上的积分提问：由曲线与轴、轴所“围成”的开口图形(如图513所示)的面积如何求？ 基本思想：在上任取一点，先求由与与轴、轴及所围成的曲边梯形的面积，即求闭区间上的定积分，然后再让，所得的极限即为所求开口图形的面积把称为函数在区间上的广义积分一般的定义为：定义52设函数定义在区间上，任取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散类似地，我们把定义为函数在区间上的广义积分如果极限存在，称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散我们把=定义为函数在无穷区间上的广义积分如果广义积分和都收敛，称广义积分收敛；如果和至少有一个发散，则称广义积分发散上述三类广义积分统称无穷区间上的广义积分 例1 求解例2 求解提问：本例中广义积分的几何意义是什么？几何意义：它表示由曲线和直线围成的“开口”曲边梯形的面积（如图5-14所示）等于如果的原函数为，若记则三种无限区间的广义积分可形式上写成用上述记号，省去了极限符号，书写更简便些但应注意，要始终理解为求极限值如，上述广义积分可简写为例3 求解 例4 求解 因为且不存在即广义积分发散，所以广义积分发散提问：若例4按下面的方法求解，得出广义积分是收敛的，对吗？或因为函数在上是奇函数，所以=0*例5讨论广义积分的收敛性解当时，当时，因此，当时，收敛，其值为；当时，发散课堂练习：（1）求；（答案：）（2）求；（答案：）（3）求；（答案：发散）（4）求；（答案：发散）（5）求；（答案：发散）（6）求；（答案：发散）*二、被积函数为无界函数的积分提问：由曲线与轴、轴及直线所“围成”的开口图形(如图515所示)的面积如何求？ 基本思想：在上任取一点，先求由与轴及、所围成的曲边梯形的面积，即闭区间上的定积分，然后再让，所得的极限即为所求的面积把称为函数在区间上的广义积分一般的定义为：定义53设函数在区间上连续，且，取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的广义积分，记作，即 这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散这里的点称为函数的瑕点，广义积分也称为瑕积分类似地，可以定义为函数的瑕点及点为的瑕点时的广义积分 设函数在区间上连续，且，取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的广义积分，记作，即 这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散设函数在区间上除点c外连续，且，则=定义为无界函数在上的广义积分如果广义积分和都收敛，称广义积分收敛；如果和至少有一个发散，则称广义积分发散例6计算解因为，所以是函数的瑕点 于是，有=例7计算解因为，所以是函数的瑕点 于是，有提问：本例中广义积分的几何意义是什么？几何意义：由曲线和直线围成的“开口”曲边梯形（图5-16）的面积为 例8计算解因为，所以，是函数的瑕点，它处于区间内，应将分为两个积分和分别计算 由于=因此，广义积分发散，从而广义积分发散提问：对例8，若直接用牛顿莱布尼茨公式按如下求解，对吗？*例9 讨论广义积分（）的收敛性 解 当时，当时，综上所述，当时，广义积分收敛，其值为；当时，广义积分发散课堂练习：（1）求；（答案：发散）（2）求；（答案：）（3）求；（答案：发散）（4）求；（答案：发散）（5）求；（答案：）本堂课小结：主要内容：无穷区间上的积分，被积函数为无界函数的积分重点：广义积分的概念，广义积分的计算难点：广义积分的概念及计算作业：第5章习题课【教学内容】定积分大小的比较，变上限积分函数求导，牛顿莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法，广义积分的计算和判敛，定积分的应用【教学目的】复习基本概念，掌握各知识点并能进行熟练计算 【教学重点】1定积