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第二章 函数概念与基本初等函数I 第3讲 函数的奇偶性与周期性试题 理 北师大版(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017肇庆三模)在函数yxcos x,yexx2,ylg,yxsin x中,偶函数的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0解析yxcos x为奇函数,yexx2为非奇非偶函数,ylg与yxsin x为偶函数.答案B2.(2015湖南卷)设函数f(x)ln(1x)ln(1x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)内是增函数B.奇函数,且在(0,1)内是减函数C.偶函数,且在(0,1)内是增函数D.偶函数,且在(0,1)内是减函数解析易知f(x)的定义域为(1,1),且f(x)ln(1x)ln(1x)f(x),则yf(x)为奇函数,又yln(1x)与yln(1x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)ln(1x)ln(1x)在(0,1)上是增函数.答案A3.(2017赣中南五校联考)已知yf(x)是奇函数,当x0时,f(x)x2ax,且f(3)6,则a的值为()A.5 B.1 C.1 D.3解析yf(x)是奇函数,且f(3)6.f(3)6,则93a6,解得a5.答案A4.已知函数f(x)x,若f(x1)x2 B.x1x20C.x1x2 D.x0时,f(x)0,f(x)在0,)上为增函数,由f(x1)f(x2),得f(|x1|)f(|x2|),|x1|x2|,x0的x的集合为_.解析由奇函数yf(x)在(0,)上递增,且f0,得函数yf(x)在(,0)上递增,且f0,f(x)0时,x或x0.答案三、解答题9.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1x)f(1x),当1x0时,f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性;(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式.解(1)f(1x)f(1x),f(x)f(2x).又f(x2)f(x),f(x)f(x).又f(x)的定义域为R,f(x)是偶函数.(2)当x0,1时,x1,0,则f(x)f(x)x;进而当1x2时,1x20,f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10.已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间1,a2上单调递增,求实数a的取值范围.解(1)设x0,所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数,所以f(x)f(x).于是x0时,f(x)x22xx2mx,所以m2.(2)要使f(x)在1,a2上单调递增,结合f(x)的图像知所以1a3,故实数a的取值范围是(1,3.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2017南昌一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)1,f(5),则实数a的取值范围为()A.(1,4) B.(2,0)C.(1,0) D.(1,2)解析f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,f(5)f(56)f(1)f(1),f(1)1,f(5),1,即0,解得1a4.答案A12.对任意的实数x都有f(x2)f(x)2f(1),若yf(x1)的图像关于x1对称,且f(0)2,则f(2 015)f(2 016)()A.0 B.2 C.3 D.4解析yf(x1)的图像关于x1对称,则函数yf(x)的图像关于x0对称,即函数f(x)是偶函数,令x1,则f(12)f(1)2f(1),f(1)f(1)2f(1)0,即f(1)0,则f(x2)f(x)2f(1)0,即f(x2)f(x),则函数的周期是2,又f(0)2,则f(2 015)f(2 016)f(1)f(0)022.答案B13.(2017东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)x3x,则函数yf(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点个数为_.解析因为当0x2时,f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)0,则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0,f(3)f(5)f(1)0,故函数yf(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点有7个.答案714.设f(x)是(,)上的奇函数,f(x2)f(x),当0x1时,f(x)x.(1)求f()的值;(2)当4x4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x2)f(x)得,f(x4)f(x2)2f(x2)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x),得f(x1)2f(x1)f(x1),即f(1x)f(1x).故知
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