小学四年级奥数数列和巧算讲义.doc

专题二 运算奥秘大魔方第四讲 巧算数列【点击目标】1、 复习巧算技巧并熟练掌握。2、 掌握数列基本的求和公式，并会计算常见简单的数列的和。【知识模块】 世界著名的数学家高斯年幼时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：1+2+3+4+.+98+99+100=？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快说出了正确答案。小朋友们，你会立刻说出答案吗？ 若干个数排成一列称为数列，数列中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。由此，可以等差数列的求和公式为：数列和=（首项+末项）项数2【课堂回顾】（你都会做吗，试试看吧，要相信自己哟！）例：（1）（40080）25 （2）125（80020） （3）12953-5329 （4）15729 + 2943 （5）5999 （6）12582（7）767699 （8）319630 + 681063 （9）7779+11137 （10）12438+62 124+76110-7610【技巧详解】（碰到难题了吧，要思考哟，要听老师讲哟，相信你会掌握方法的！）例1（1）1+2+3+4+5+2009+2010+2011+2012 （观察结构特点） （2）100+99-98+97-96+3-2+1点拨分析：在认真观察算式结构、数据特点的基础上，利用加法的结合律和等差数列求和公 式可以使计算简便。跃跃欲试： 小试牛刀：（1）2+4+6+8+10+12+2008+2010+2012 （2）1-2+3-4+5-6+7-+99-100+101 例2（1）在等差数列2，5，8，11，中，第108个数是多少？（2）有一列数列：1，5，9，13，17，2921是它的第几项？（公式，你记住了吗？）点拨分析：本例题是已知等差数列的首项、公差和项数求第几项是多少？经过观察，这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是108，求第108项是多少？可以根据公式计算：末项=首项+（项数-1）公差跃跃欲试： 小试牛刀：一数列2，4，6，8，问：这个数列的第100项是多少？2012是数列的第几项？例3 计算（1）3+7+11+99 （2）2012-3-6-9-51-54 （你会举一反三了吗？）点拨分析：（1）这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时需要先求出项数。根据上个例题中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：项数=（末项-首项）公差+1跃跃欲试：小试牛刀： （1）（2+4+6+1998+2000+2012）-（1+3+5+7+2007+2009+2011） （2）2011-2008+2005-2002+11-8+5-2例4 （1）6+66+666+6666+66666+666666 （2）99992222+33333334方法点拨：在不能直接运用乘法分配律进行简算时，可以适当利用拆分法后再运用乘法运算定律。跃跃欲试： 小试牛刀：（1）3+33+333+3333+ （2）6666644444+3333311112-例5 1999199819981998-1998199919991999 （思考：10119=？）方法点拨：结合题目所给算式的特殊结构，而且199819981998显然有因数1998，199919991999显然有因数1999，从而前后两部分有公因数19991998，进而可发现前后两部分相等。跃跃欲试：小试牛刀：（1）2012201120112011-2011201220122012 （2）1995199419941994-1994199519951995思维训练营【基础助跑】1. 5453+5416+6925+2169 2.369123-1239-36023 3. 2246+4452 4. 303540-5430. 5.10+1011+11110+111110 6. 9999+999+99+9【实战演练】1、11+12+13+.+1999 2、4+7+10+13+301+3043、求首项是13，公差是5的等差数列前50项的和。4、 求所有能被7整除的300以内数的和。5、如果一个等差数列公差是6，末项是106，项数是18。求：这个等差数列的首项是几？这个数列的第15项是多少？第28项呢？6、小蜗牛从早晨开始爬行，每小时比前一小时多爬12厘米，第一小时怕了100厘米，休息前最后一小时爬了220厘米。问：小蜗牛爬了多少小时？7、一个物体从空中落下，第一秒下落5米，以后每秒要多落下9.8米，这样经过16秒，这个物体落在地上。问：这个物体最