2019版高考数学不等式选讲2第2讲不等式的证明教案理.docx

第2讲不等式的证明1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等3数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由nk时不等式成立推证nk1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向 对于任意的x、yR，求证|x1|x|y1|y1|3.证明：根据绝对值的几何意义，可知|x1|x|1，|y1|y1|2，所以|x1|x|y1|y1|123. 若a，b(0，)且ab1，求证：8.证明：因为ab1，所以a22abb21.因为a0，b0，所以1122228. 若x，y，zR，且xyz，求证：.证明：因为xyz，所以xyz0.由分数性质得0，y0，所以. 若ab1，证明：ab.证明：aab.由ab1得ab1，ab0，所以0.即a0，所以ab.比较法证明不等式典例引领 (2016高考全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.【解】(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x2，解得x1；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法 通关练习1若a，bR，证明：(ab)(a5b5)2(a6b6)证明：因为(ab)(a5b5)2(a6b6)a6a5bab5b62a62b6a5bab5a6b6a5(ba)b5(ab)(ab)(b5a5)当ab0时，ab0，b5a50，有(ab)(b5a5)a0时，ab0，有(ab)(b5a5)0时，ab0，有(ab)(b5a5)0.综上可知(ab)(a5b5)2(a6b6)2已知a，b(0，)，求证：abba(ab).证明：abba.当ab时，1；当ab0时，00，a0时，1，0，0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【证明】法一：(综合法)(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.法二：(分析法)(1)因为a0，b0，a3b32.要证(ab)(a5b5)4，只需证(ab)(a5b5)(a3b3)2，再证a6ab5a5bb6a62a3b3b6，再证a4b42a2b2，因为(a2b2)20，即a4b42a2b2成立故原不等式成立(2)要证ab2成立，只需证(ab)38，再证a33a2b3ab2b38，再证ab(ab)2，再证ab(ab)a3b3，再证ab(ab)(ab)(a2abb2)，即证aba2abb2显然成立故原不等式成立分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程通关练习1设x1，y1，求证：xyxy.证明：由于x1，y1，要证xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2.因为yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立2已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1.(1)证明：(1a)(1b)(1c)8；(2)证明：.证明：(1)1a2，1b2，1c2，相乘得：(1a)(1b)(1c)88.(2)abbcac，abbc22，abac22，bcac22，相加得.反证法证明不等式典例引领 设0a，b，c，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a，又因为0a，b，c1，所以00，abbcca0，abc0，求证：a，b，c0.证明：(1)设a0，所以bc0，则bca0，所以abbccaa(bc)bc0矛盾，所以必有a0.同理可证：b0，c0.综上可证a，b，c0.放缩法证明不等式典例引领 若a，bR，求证：.【证明】当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.综上，原不等式成立“放”和“缩”的常用技巧在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；(2)利用函数的单调性；(3)真分数性质“若0a0，则”提醒在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度 设n是正整数，求证：n(k1，2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，所以1，x0，nN，n1，则(1x)n1nx.【证明】(1)当n2时，因为x0.所以(1x)212xx212x，不等式成立(2)假设当nk(k2)时不等式成立，即有(1x)k1kx，则当nk1时，由于x1，x0.所以(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当nk1时不等式成立由(1)(2)可知，贝努利不等式成立用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：(1)证明当nn0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确(2)在假设nk(kn0)时命题正确的基础上，推证当nk1时，命题也正确这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可其中第一步是基础，第二步是递推的依据 证明：对于nN*，不等式|sin n|n|sin |恒成立证明：(1)当n1时，上式左边|sin |右边，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时不等式成立，即有|sin k|k|sin |.当nk1时，|sin(k1)|sin kcos cos ksin |sin kcos |cos ksin |sin k|cos |cos k|sin |sin k|sin |k|sin |sin |(k1)|sin |.所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立 证明不等式的常用方法与技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据 在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立1(2018安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求证：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由题意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.当x1时，原不等式等价于2x32，即x1；当1x2时，原不等式等价于12，即12时，原不等式等价于2x32，即2x.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立2求证：2.证明：因为，所以1122.3已知函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，当x1，1时，|f(x)|1.(1)求证：|b|1；(2)若f(0)1，f(1)1，求实数a的值解：(1)证明：由题意知f(1)abc，f(1)abc，所以bf(1)f(1)因为当x1，1时，|f(x)|1，所以|f(1)|1，|f(1)|1，所以|b|f(1)f(1)|f(1)|f(1)|1.(2)由f(0)1，f(1)1可得c1，b2a，所以f(x)ax2(2a)x1.当a0时，不满足题意，当a0时，函数f(x)图象的对称轴为x，即x.因为x1，1时，|f(x)|1，即|f(1)|1，所以|2a3|1，解得1a2.所以0，故|f|a(2a)1|1.整理得|1|1，所以111，所以20，又a0，所以0，所以0，所以a2.4设a，b，c(0，)，且abc1.(1)求证：2abbcca；(2)求证：2.证明：(1)要证2abbcca，只需证14ab2bc2cac2，即证1(4ab2bc2cac2)0，而1(4ab2bc2cac2)(abc)2(4ab2bc2cac2)a2b22ab(ab)20成立，所以2abbcca.(2)因为，所以abc2a2b2c2(当且仅当abc时，等号成立)5已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|a|f.解：(1)f(x)f(x4)|x1|x3|当x1时，由2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x5或x3(2)证明：f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立1(2018武汉市武昌区调研考试)设函数f(x)|x2|2x3，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)当xM时，证明：xf(x)2x2f(x)0.解：(1)由已知，得f(x)当x2时，由f(x)x11，解得x0，此时x0；当x2时，由f(x)3x51，解得x，显然不成立故f(x)1的解集为Mx|x0(2)证明：当xM时，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x.令g(x)，则函数g(x)在(，0上是增函数，所以g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.2(2018沈阳模拟)设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc.(2)()证明：(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3.而abbcca1，故只需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2).在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明，即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c，所以abcabbcca(当且仅当abc时等号成立)所以原不等式成立3已知a，b，c均为正实数求证：(1)(