2019版高考数学第8章立体几何5第5讲直线、平面垂直的判定与性质教案理.docx

第5讲直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角线面角的范围：(2)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如图，过二面角l的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl，则AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范围设二面角的平面角为，则0，当时，二面角叫做直二面角 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线a，b，c，若ab，bc，则ac.()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(3)设m，n是两条不同的直线，是一个平面，若mn，m，则n.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为()A30B45C60D120解析：选C.如图，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角 已知平面，直线l，若，l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直解析：选D.垂直于平面的平面与平面重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面内，则一定垂直于平面，否则不一定，故B不正确；垂直于平面的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直，故D正确 设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.答案：充分不必要 (教材习题改编)P为ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC，其中正确的个数是_解析：如图所示因为PAPC，PAPB，PCPBP，所以PA平面PBC.又因为BC平面PBC，所以PABC.同理，PBAC，PCAB.但AB不垂直于BC.答案：3线面垂直的判定与性质 典例引领 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【证明】(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.因为ACCD，PAACA，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.因为PA底面ABCD，所以PAAB.又因为ABAD且PAADA，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD.又因为ABAEA，所以PD平面ABE.(1)判定线面垂直的四种方法(2)判定线线垂直的四种方法 通关练习1(2017高考全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC解析：选C.由正方体的性质，得A1B1BC1，B1CBC1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1，故选C.2S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，所以DEBC，所以DEAB，因为SASB，所以SAB为等腰三角形，所以SEAB.又SEDEE，所以AB平面SDE.又SD平面SDE，所以ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，所以SDAC.又ACABA，所以SD平面ABC.(2)由于ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD平面ABC，又BD平面ABC，所以SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.面面垂直的判定与性质典例引领 (2017高考山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1; (2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.【证明】(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.证明面面垂直的两种常用方法(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题如通关练习1. 通关练习1如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC.证明：平面ABEF平面BCDE.证明：在正六边形ABCDEF中，连接AC，BE，交点为G，易知ACBE，且AGCG，所以AGC为二面角ABEC的平面角，由AC，知AG2CG2AC2，故AGGC，所以AGC90，所以平面ABEF平面BCDE.2(2017高考北京卷)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积解：(1)证明：因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.空间位置关系的求解与证明 (高频考点)空间位置关系的求解与证明是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题高考对空间位置关系的求解与证明的考查常有以下四个命题角度：(1)空间平行与垂直关系的证明；(2)空间中的证明与计算；(3)折叠问题中的平行、垂直关系；(4)探索性问题中的平行、垂直关系(参阅上节考点三) 典例引领角度一空间平行与垂直关系的证明 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AB2AA12AC2，ABC30.(1)求证：平面A1BC平面AA1C1C；(2)若点D是棱AC的中点，点F在线段AC1上，且AC13FC1，求证：平面B1CF平面A1BD.【证明】(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC.在ABC中，因为AB2AC2，且ABC30，根据正弦定理，得，所以sinACB1，因为0ACB180，所以ACB90，即ACBC.又ACAA1A，所以BC平面AA1C1C，因为BC平面A1BC，所以平面A1BC平面AA1C1C.(2)设A1D与AC1交于点E，连接AB1交A1B于点G，连接EG，如图所示，因为ADA1C1，所以ADEC1A1E，DAEA1C1E，所以ADEC1A1E，又点D是棱AC的中点，所以.因为AC13FC1，所以AEEFFC1，所以CFDE.因为CF平面A1BD，DE平面A1BD，所以CF平面A1BD.因为点G为AB1的中点，所以B1FGE.又B1F平面A1BD，GE平面A1BD，所以B1F平面A1BD.因为B1FCFF，所以平面B1CF平面A1BD.角度二空间中的证明与计算 (2016高考全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积【解】(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE，由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.角度三折叠问题中的平行、垂直关系 (2018福州市综合质量检测)如图1，在等腰梯形PDCB中，PBDC，PB3，DC1，DPB45，DAPB于点A，将PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥PABCD，点M在棱PB上，且PMMB.(1)求证：PD平面MAC；(2)若平面PAD平面ABCD，求点A到平面PBC的距离【解】(1)证明：在四棱锥PABCD中，连接BD交AC于点N，连接MN，依题意知ABCD，所以ABNCDN，所以2，因为PMMB，所以2，所以在BPD中，MNPD，又PD平面MAC，MN平面MAC.所以PD平面MAC.(2)法一：因为平面PAD平面ABCD，且两平面相交于AD，PAAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD，所以VPABCSABCPA1.因为AB2，AC，所以PB，PC，BC，所以PB2PC2BC2，故PCB90，记点A到平面PBC的距离为h，所以VAPBCSPBChhh.因为VPABCVAPBC，所以h，解得h.故点A到平面PBC的距离为.法二：因为平面PAD平面ABCD，且两平面相交于AD，PAAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以PABC，因为AB2，AC，BC，所以ACB90，即BCAC，又PAACA，PA，AC平面PAC，所以BC平面PAC，过点A作AEPC于点E，则BCAE，因为PCBCC，PC，BC平面PBC，所以AE平面PBC，所以点A到平面PBC的距离为AE.(1)空间平行与垂直综合问题的求解策略线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：(2)求解空间翻折问题的关键其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征另外，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线 通关练习1(2018安徽省两校阶段性测试)如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE3，圆O的直径CE为9.(1)求证：平面ABE平面ADE；(2)求五面体ABCDE的体积解：(1)证明：因为AE圆O所在平面，CD圆O所在平面，所以AECD，又CDDE，且AEDEE，AE平面ADE，DE平面ADE，所以CD平面ADE.在正方形ABCD中，CDAB，所以AB平面ADE.又AB平面ABE，所以平面ABE平面ADE.(2)连接AC，设正方形ABCD的边长为a，则ACa，又AC2CE2AE290，所以a3，DE6，由(1)得AB平面ADE，又ABCD，CD平面CDE，所以点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离，即AE，所以VBCDEAESCDE3(36)9，又由(1)知AB平面ADE，所以VBADEABSADE39，故VABCDEVBCDEVBADE18.2.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点(1)求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论解：(1)证明：在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD.(2)证明：如图，连接PG.因为PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD.由(1)知，BGAD，又PG BGG，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE.而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，PB平面PGB，GB平面PGB，PBGBB，所以平面DEF平面PGB.因为BG平面PAD，PG平面PAD，所以BGPG.又因为PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD.又PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD. 有关垂直的四个结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直 易错防范(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”(3)注意对平面与平面垂直性质的理解 1“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件2PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()APABCBBC平面PACCACPBDPCBC解析：选C.由PA平面ACBPABC，A正确；由BCPA，BCAC，PAACA，可得BC平面PAC，BCPC，即B，D正确3已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n解析：选B.如图：正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1，AB1都与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；根据线面垂直的定义，一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；对于C项，可能有n；对于D项，n与还可能平行或相交4(2018九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C.因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.5(2018河北名师俱乐部模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAAD，ADBC，ABBC2，PA3，PA底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设m，则“0m2”是“三棱锥CABE的体积不小于1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.过E点作EHAD，H为垂足，则EH平面ABCD.因为VCABEVEABC，所以三棱锥CABE的体积为EH.若三棱锥CABE的体积不小于1，则EH，又PA3，所以m1，故选B.6.如图，在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_解析：作CHAB于H，连接PH.因为PC平面ABC，所以PHAB，PH为PM的最小值，等于2.答案：27(2018云南省11校跨区调研)已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确命题的序号是_解析：对于，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此不正确对于，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知正确对于，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此不正确对于，由n得，在平面内必存在直线n1平行于直线n；由m，得m，mn1；又n1n，因此有mn，正确综上所述，所有正确命题的序号是.答案：8，是两个平面，AB，CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的序号是_解析：由题意得，ABCD，所以A，B，C，D四点共面，：因为AC，EF，所以ACEF，又因为AB，EF，所以ABEF，因为ABACA，所以EF平面ABDC，又因为BD平面ABDC，所以BDEF，故正确；：由可知，若BDEF成立，则有EF平面ABDC，则有EFAC成立，而AC与，所成角相等是无法得到EFAC的，故错误，：由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知EFAC，由可知正确；：依照的分析过程可知错误答案：9.(2018沈阳市教学质量检测(一)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且点O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积解：(1)证明：因为AA1A1C，且O为AC中点，所以A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，所以A1O平面ABC.(2)因为A1C1AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC，所以A1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离由(1)知A1O平面ABC且A1O，所以VC1ABCVA1ABCSABCA1O21.10.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD. 证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.1如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：DFBC；BDFC；平面BDF平面BCF；平面DCF平面BCF，则上述结论可能正确的是()ABCD解析：选B.对于，因为BCAD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；对于，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234可使条件满足，所以正确；对于，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；对于，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以不成立2(2018武汉市武昌区调研考试)在矩形ABCD中，ABBC，现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；存在某个位置，使