数学归纳法和数列的相关知识.doc

等差和等比数列名称等差数列等比数列定义an - an-1 = d (n2) (n2)通项公式an = a1 + (n-1)d = am + (n-m)d nN*an = a1q n-1 = amq n- m nN*递推公式an - an-1 = d , an = an-1 + dan = an-1q , 前n项和已知Sn求an中项a, A,b成等差数列，a,A,b成等比数列，性质1若项数m + n = p + q ,则am +an = ap + aq若项数m + n = p + q ,则am an = ap aq性质2an为等差数列，公差d= K2dSk = a1 + a2 + a3 + +akS2k- Sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 + +a2kS3k-S2k = a2k+1 + a2k+2 +a2k+3+a3kan为等比数列，公比q= qkSk = a1 + a2 + a3 + +akS2k- Sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 + +a2kS3k-S2k = a2k+1 + a2k+2 +a2k+3+a3k性质3anbn为等差数列，Sn,Tn为前n项和：性质4|q|0, an+10,求出n,再求Sn ;配方Sn = an2 + bn = a(n+求通项的方法（1） 转化法（转化成等差和等比）1、 已知数列an的各项为正数，满足2sn=3an-3 ,求（1） 数列an的的通项公式；2、 已知数列an的各项和为sn，满足2sn-1sn+an=0 , 求（1）求证：；（2） 数列an的的通项公式；3、 在an中，a1=2,an+1=3an+24、 在an中，a1=1,an+1=3an+24n5、 在an中，a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0（2） 叠加和叠乘1、在数列里，第n 项及前n项和满足，求数列的通项公式 2、在数列里，求数列的通项公式（3） 构造法1、在数列中， （I）设，求数列的通项公式； （II）求数列的前项和2、在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；3、设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。（4）已知求求an1、设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：2、数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；3、数列an中，a15, anan1an2a2a1, (1) 求通项公式an； (2) 求.4、已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，求和的方法（1） 列项相消1、设数列满足且（）求的通项公式；（）设2、等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前n项和解：（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故 （II）因为所以 所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，3、（天津2011）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）设证明： （I）解：由 可得又（II）证明：对任意 ，得将代入，可得即又因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意（2）错位相减1、已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a1820 (2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n1 2n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn 2所以Sn2综上所述，Sn等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；（2）当b=2时，记 求数列的前项和3、数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 数学归纳法1、在数列中，=1，其中实数。求的通项公式；2、等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 . 证明：对任意的 ，不等式成立3、设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立.4、数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解: ()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项