数学文卷·2015届广东省湛江市第一中学高三8月月考(2014.08).doc

广东省湛江市第一中学2015届高三8月月考数学（文）试题【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1. 若集合A0，1，2，4，B1，2，3，则AB()A0，1，2，3，4 B0，4 C1，2 D3【知识点】集合运算.A1【答案解析】C 解析：由两集合交集的定义得：AB1，2，故选C.【思路点拨】利用交集定义得结论.【题文】2已知复数z，则z的实部为()A1 B2 C2 D1【知识点】复数运算.L4【答案解析】D 解析： 故选D.【思路点拨】把已知复数化成形式，从而得结论.【题文】3已知角的终边经过点(4，3)，则()A. B. C D【知识点】三角函数的定义.C1【答案解析】D 解析：由余弦函数定义得：，故选 D.【思路点拨】根据余弦函数定义求解.【题文】4下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x) Bf(x)x21 Cf(x)x3 Df(x)2x【知识点】函数奇偶性；单调性的判断.B3 B4【答案解析】A 解析：易知选项A,B中函数是偶函数，而B中函数是区间(，0)上单调递减函数，故选A. 【思路点拨】利用排除法的正确选项.【题文】5. 等于（ ）A.B.C. D. 【知识点】诱导公式的应用.C2【答案解析】A 解析：，故选A. 【思路点拨】利用诱导公式将所求化为锐角的三角函数求解.【题文】6以下有关命题的说法错误的是（ ）A.命题“若”的逆否命题为“若 B.“”是“”的充分不必要条件C.若为假命题，则p、q均为假命题D.对于命题p： 【知识点】四种命题的意义；充分、必要条件的意义；判断复合命题真假的真值表；含量词的命题的否定方法.A2 A3【答案解析】C 解析： 对于选项C：可以一真一假，故C说法错误；其它选项显然正确.【思路点拨】利用四种命题的意义，充分、必要条件的意义，判断复合命题真假的真值表，含量词的命题的否定方法，判断各命题的真假.【题文】7函数f（x）12xx3在区间3，3上的最小值是（ ）A.9B.16C.12D.11【知识点】导数的应用.B12【答案解析】B 解析：由得：，最小值是-16，故选B.【思路点拨】根据利用导数求闭区间上连续函数的最值的方法求解.【题文】8. 函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【知识点】导数法求函数的单调区间.B12【答案解析】A 解析：函数的定义域为，由得：，所以函数的单调递减区间是，故选A.【思路点拨】先求定义域，然后求导函数小于零的解集.【题文】9. 函数的部分图象是（ ）【知识点】函数的奇偶性；函数的图像.B4 B8【答案解析】D 解析： 显然函数是奇函数，所以排除选项A,C,又时，故选D.【思路点拨】利用排除法及特殊值法确定选项.【题文】10. 定义在上的函数满足：恒成立，若，则与的大小关系为（ ）A B. C. D. 的大小关系不确定【知识点】导数的应用.B12【答案解析】A 解析：设则，时R上的增函数，即，故选A.【思路点拨】构造函数则，时R上的增函数，即.第二部分非选择题 (共 100 分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分本大题分为必做题和选做题.（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答【题文】11.曲线在点(1,3)处的切线的方程是 .【知识点】导数的几何意义；直线方程的点斜式.B11 H1【答案解析】 解析：因为，所以，所以切线方程为：，即【思路点拨】曲线在点(1,3)处的切线的斜率，是在时的导数，由此求得斜率后，再用点斜式写出直线方程.【题文】12.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_【知识点】导数的应用；恒成立问题.B12【答案解析】 解析：因为函数在区间上是减函数，所以在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.【思路点拨】由函数在区间上是减函数，可知在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.【题文】13.如图1所示是函数y2sin(x) 的一段图象，则= = . 图1【知识点】的图像.C4【答案解析】 解析：，由此得：，所以.【思路点拨】利用函数的图像得到函数的周期，从而求得，再由图像过点得：，所以. （二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能做1题，2题全答的，只计算前1题的得分【题文】14（几何证明选讲选做题）如图2，为的直径，弦交于点若，则的长为 【知识点】相交弦定理的应用.N1【答案解析】1 解析： 由已知得:, 根据相交弦定理得：,【思路点拨】先有已知条件求得线段的长，再根据相交弦定理得：,.【题文】15（坐标系与参数方程选讲选做题）若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 【知识点】参数方程与普通方程的互化；判别式法.N3【答案解析】 解析：曲线（为参数，）化为普通方程是圆：，设t=，则，代入圆方程得：由得，所以的取值范围是.【思路点拨】先将参数方程化为普通方程得圆：，设t=，则，代入圆方程得：由得，所以的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16（12分）已知（1） 求的值； （2） 求的值.【知识点】已知三角函数值，求三角函数式的值.C2 C5 C7【答案解析】（1） ; (2) 解析：（1） -3分 -7分（2） 由（1）知 -9分 -10分 -12分【思路点拨】利用同角三角函数关系及两角和与差的三角函数求解.【题文】17.（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成 绩的中位数是83. （1）求和的值；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.【知识点】茎叶图的意义；概率.I2 K2【答案解析】(1) ;(2) 解析：（1）因为甲班学生的平均分是85， 所以 ，所以 -2分因为乙班学生成绩的中位数是83，所以 -3分（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B -4分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E -5分从这五名学生中任意抽取两名共有10种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) (C,D) (C,E) (D,E) -8分其中甲班至少一名学生共有7种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) -10分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则 -11分答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生的概率为-12分【思路点拨】（1）根据茎叶图的意义、平均数、中位数的意义求出的值.（2）由茎叶图可知：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B. 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E. 从这五名学生中任意抽取两名共有10种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) (C,D) (C,E) (D,E) . 其中甲班至少一名学生共有7种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则 .【题文】18.（14分）设函数，且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的值域.【知识点】函数定义域、值域求法.B1【答案解析】(1) 的定义域为;(2) . 解析：（1）由得， -2分 -3分要使得有意义则有 -6分所以的定义域为. -7分(2)由（1）知， -8分 令，则 -11分在上单调递减 -12分的值域为. 14分【思路点拨】（1）由得；要使得有意义则有所以的定义域为.（2）由（1）得令，则在上单调递减，的值域为【题文】19.（14分） 将函数的图像向左平移个得到偶函数的图像。（1）求解析式（2）求的最大值及单调增区间。【知识点】平移变换；函数的奇偶性、单调性、最值.B1 B3 B4【答案解析】(1) ;(2) 最大值是3，增区间为解析：（1）的图像相左平移个单位，得到，即： -2分由于是偶函数，则 -4分即又 -6分 -8分（2），的最大值是3 -10分由得单调增区间为，知即 的增区间为 -14分【思路点拨】（1）由平移变换得：，由于是偶函数，则，即又；（2）利用余弦函数的值域及增区间，求的最大值及单调增区间。【题文】20（14分）已知函数，且在时函数取得极值. （）求的值及的极值； （）若，证明：当时，的图象恒在的上方.【知识点】函数的极值；导数的应用以及恒成立问题. B11 B12【答案解析】（1）极大值，极小值-2；（2）略. 解析： 由题意知函数的定义域为 -1分 -3分处函数取得极值，解得 -5分令得 -6分x变化时变换如下表：1+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增的极大值为，极小值为 -8分（2）令则 -10分时，时， -13分 -14分【思路点拨】(1)由导函数在处的函数值为零得：，从而求得的根，然后列x变化时变化表，得到的极值；（2）即证，在上恒成立，利用导数可确定上在处有极小值，也是最小值,所以，在上恒成立.所以当时，的图象恒在的上方.【题文】21（14分） 已知函数（）（1）求的单调区间;（2）时，判断方程:根的个数并说明理由;（3）有两个极值点且证明:.【知识点】导数的应用；推理与证明. B12 M2【答案解析】 （1）当时，有单调增区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为 （2）有且只有一个根.理由略；（3）略 解析：（1）函数的定义域为， -1分令当，即时，函数在单调递增 -2分当，即时方程由两解 -3分当时，有，此时：；时，时， -4分当时有 -5分综上所述：当时，有单调增区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为 -6分 （2）由已知方程：，得令，则 -7分当x变化时，变化如下表：xa2+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增由a的取值范围是，所以 -8分由上表知在上单调递增，在上单调递减所以时，有所以在上无零点 -9分，又在单调递增，在区间有唯一零点所以原方程有且只有一个根. -10分（3）由题意知有两个不同的根，有两解可知