江苏省苏州市2018年中考数学《第六讲圆的综合题》专题复习.docx

第六讲 圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ； 外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角，推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对弧是半圆，所对弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中，四边形是内接四边形 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：且过半径外端，是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分十一、补充：圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径，（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线， （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线， 十二、补充：两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、补充：圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：典型例题真题再现：1(2008年苏州第18题3分)如图AB为O的直径，AC交O于E点，BC交O于D点，CD=BD，C=70 现给出以下四个结论： A=45； AC=AB：； CEAB=2BD2其中正确结论的序号是（ ）A B C D2(2008年苏州第27题9分)如图，在ABC中，BAC=90，BM平分ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点作MTBC于T(1)求证AK=MT； (2)求证：ADBC；(3)当AK=BD时， 求证：3（2010年苏州第10题3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为(1，0)，半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是（ ） A2 B1 C D（第3题）（第4题）4（2010年苏州 第18题3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为、(0，2)，P是AOB外接圆上的一点，且AOP=45，则点P的坐标为 5（2010年苏州第27题9分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBCO是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E过E作EHAB，垂足为H已知O与AB边相切，切点为F (1)求证：OEAB； (2)求证：EH=AB；(3)若，求的值6（2011年苏州第16题，3分）如图，已知AB是O的一条直径，延长AB至C点，使得AC3BC，CD与O相切，切点为D若CD，则线段BC的长度等于 7（2011年苏州第18题，3分）如图，已知点A的坐标为（，3），ABx轴，垂足为B，连接OA，反比例函数（k0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D若AB3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是 （填“相离”、“相切”或“相交”）8.（2011年苏州市第26题8分）如图，已知AB是O的弦，OB2，B30，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于O于点D，连接AD (1)弦长AB等于 （结果保留根号）； (2)当D20时，求BOD的度数； (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程9（2012年苏州市第27题满分8分）如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半 圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2x4)（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时PDCD的值最大？最大值是多少？10（2013年苏州第27题8分）如图， RtABC中，ACB=90，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求O的半径11（2014苏州第27题8分）如图，已知O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF（1）若O的半径为3，DAB=120，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系12（2015年苏州第26题满分10分）如图，已知AD是ABC的角平分线，O经过A、B、D三点，过点B作BEAD，交O于点E，连接ED（1）求证：EDAC；（2）若BD=2CD，设EBD的面积为，ADC的面积为，且，求ABC的面积13（2016年苏州第26题10分）如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交O于点F，连接AE、DE、DF（1）证明：E=C；（2）若E=55，求BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EGED的值14（2017年苏州市第27题10分）如图，已知ABC内接于O，AB是直径，点D在O上，ODBC，过点D作DEAB，垂足为E，连接CD交OE边于点F（1）求证：DOEABC；（2）求证：ODF=BDE；（3）连接OC，设DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若=，求sinA的值模拟训练：1(2017年常熟市本题满分10分)如图1 , 是的直径，点、是直径上方半圆上的两点，且.连接相交于点.点是直径下方半圆上的任意一点，连接交于点，连接交于点.（1）求的度数;（2）证明: ;（3）若弧为半圆的三分之一，把绕着点旋转，使点、在一直线上时，如图2.证明;若的半径为4，直接写出的长.ABCED（第26题）FG2（2018年蔡老师预测第26题10分）如图，在RtABC中，A90，点D、E分别在AC、BC上，且CDBCACCE，以E为圆心，DE长为半径作圆，E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G（1）求证：AC是E的切线；（2）若AF4，CG5， 求E的半径；若RtABC的内切圆圆心为I，则IE 3( 2017年张家港26题10分)如图，已知是的外接圆，是的直径，且.延长到，使得.(1)如图1，若，.求证:是的切线;求的长;(2)如图2，连结，交于点，若，求的半径.4(2017年工业园区区26题10分) 如图，在ABC中，CDAB，垂足为点D以AB为直径的半O分别与AC、CD相交于点E、F，连接AF、EF（1）求证：AFE=ACD；（2）若CE=4，CB=4，tanCAB=，求FD的长5(2017年吴江区26题10分) 如图，在中，、是边上的两点，以为直径的与相交于点，连接，过作于点，其中.(1)求证: 是的切线;(2)若，的半径为,求的面积(用含的代数式表示).BCDEOA6(2017年高新区26题10分) 如图，在O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC1：2，点D为的中点，BECD垂足为E(1)求BCE的度数；(2)求证：D为CE的中点；(3)连接OE交BC于点F，若AB，求OE的长度7(2017年吴中区26题10分) 如图，是的直径，是弦，过点作于交于，在的延长线上取一点，使，与交于。(1)判断直线与的位置关系，并给出证明；(2)当的半径是，时，求及的长。 8(2017年相城区27题10分) 如图，在中，, ，以为圆心，4为半径作.(1)试判断与的位置关系，并说明理由;(2)点是上一动点，点在上且，试说明;(3)点是边上任意一点，在(2)的情况下，试求出的最小值.9（2017年立达26题10分）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC边于点D，交AC边于点E.过点D作O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE.（1）求证：BD=CD；（2）若，求AED的度数.（3）若BG=6，CF=2，求O的半径.10（2017年太仓市26题10分）如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足OBC=OFC. (1)求证：CF为O的切线；(2)若DE=1，求O的半径；求sinBAD的值(3)若四边形ACFD是平行四边形，求sinBAD的值参考答案：真题再现：1【解答】解：连接AD、BE，AB为O的直径，ADBD，AEBE，CD=BD，AC=AB，所以对C=ABC=70，BAC=180CABC=4045，所以错ABE=90BAC=5040，所以错C=ABC，CEB=ADB=90，CEBBDA，CEAB=CBBD=2BD2，所以对，故选：C【点评】本题考查直径所对的圆周角为直角，及等腰三角形的判定，相似三角形的判定2. 【考点】切割线定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【专题】证明题【分析】（1）用角平分线的性质，圆的半径相等解题；（2）根据图中相等角，找互余关系的角，从而推出垂直关系（3）连接PN，MK，根据已知证明ABDCMT再根据边之间的转化即可得到结论【解答】证明：（1）BM平分ABC，BAC=90，MTBC，AM=MT又AM=AK，AK=MT（2）BM平分ABC，ABM=CBMAM=AN，AMN=ANM又ANM=BND，AMN=BNDBAC=90，ABM+AMB=90CBM+BND=90BDN=90ADBC（3）连接PN、KM。BNM和BPK为A的割线，BNBM=BPBKAK=BD，AK=MT，BD=MTADBC，MTBC，ADB=MTC=90C+CMT=90BAC=90，C+ABC=90ABC=CMT在ABD和CMT中，ABDCMTAB=MCAK=AM，AB+AK=MC+AM即BK=AC【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，全等三角形的判定，综合性强3. 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质【专题】压轴题；动点型【分析】由于OA的长为定值，若ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与O相切；可连接CD，在RtADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到ADC的面积；易证得AEOACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出AOE的面积，进而可得出AOB和AOE的面积差，由此得解【解答】解：若ABE的面积最小，则AD与C相切，连接CD，则CDAD；RtACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；SACD=ADCD=；易证得AOEADC，=（）2=（）2=，即SAOE=SADC=；SABE=SAOBSAOE=22=2；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出BE面积最小时AD与C的位置关系是解答此题的关键4. 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质；圆周角定理【专题】压轴题【分析】由于P点在第一象限，由勾股定理即可求得P点的坐标【解答】解：OB=2，OA=2 ，AB=4，AOP=45，P点横纵坐标相等，可设为a，AOB=90，AB是直径，RtAOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2过点C作CFOA，过点P作PEOA于E交CF于F，CFP=90，PF=a1，CF=a，PC=2，（a）2+（a1）2=22，舍去不合适的根，可得a=1+，P（1+，1+）故答案为：（+1，+1）【点评】此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力5. 【考点】切线的性质；平行线的性质；勾股定理等腰梯形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】综合题【分析】（1）判断出B=OEC，根据同位角相等得出OEAB；（2）连接OF，求出EH=OF=DC=AB（3）求出EHBDEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答【解答】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，B=C，OE=OC，OEC=C，B=OEC，OEAB（2）证明：连接OFO与AB切于点F，OFAB，EHAB，OFEH，又OEAB，四边形OEHF为平行四边形，EH=OF，OF=CD=AB，EH=AB（3）解：连接DECD是直径，DEC=90，则DEC=EHB，又B=C，EHBDEC，=，=，设BH=k，则BE=4k，EH=k，CD=2EH=2k，=【点评】本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题6. 解：CD与O相切，切点为D，CD2=BCAC，即CD2=BC3BC=3，解得：BC=17. 【考点】直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题【分析】根据D点的坐标为（，1），得出反比例函数y=解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案【解答】解：已知点A的坐标为（，3），AB=3BD，AB=3，BD=1，D点的坐标为（，1），反比例函数y=解析式为：y=，AO直线解析式为：y=kx，3=k，k=，y=x，直线y=x与反比例函数y=的交点横坐标为：x=1，C点的横坐标为1，纵坐标为：，过C点做CE垂直于OB于点E，则CO=2，AC=22，CA的倍=，CE=，=0，该圆与x轴的位置关系是相交故答案为：相交【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键8. 【考点】圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【专题】几何综合题；数形结合【分析】（1）过点O作OEAB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得BAO=B，DAO=D，则可求得DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得DOB的度数；（3）由BCO=A+D，可得要使DAC与BOC相似，只能DCA=BCO=90，然后由相似三角形的性质即可求得答案【解答】解：（1）过点O作OEAB于E，则AE=BE=AB，OEB=90，OB=2，B=30，BE=OBcosB=2=，AB=2；故答案为：2；（2）连接OA，OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=BAO+DAO=B+D，又B=30，D=20，DAB=50，BOD=2DAB=100；（3）BCO=A+D，BCOA，BCOD，要使DAC与BOC相似，只能DCA=BCO=90，此时BOC=60，BOD=120，DAC=60，DACBOC，BCO=90，即OCAB，AC=AB=当AC的长度为时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似【点评】此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用9. 【考点】切线的性质；二次函数的最值；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质【专题】计算题【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PCA与PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长；（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PCEC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PCPD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值【解答】解：（1）O与直线l相切于点A，且AB为O的直径，ABl，又PCl，ABPC，CPA=PAB，AB是O的直径，APB=90，又PCl，PCA=APB=90，PCAAPB，=，即PA2=PCAB，PC=，AB=4，PA=，RtAPB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB=；（2）过O作OEPD，垂足为E，PD是O的弦，OEPD，PE=ED，又CEO=ECA=OAC=90，四边形OACE为矩形，CE=OA=2，又PC=x，PE=ED=PCCE=x2，PD=2（x2），CD=PCPD=x2（x2）=x2x+4=4x，PDCD=2（x2）（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，当x=3时，PDCD的值最大，最大值是2【点评】考查切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键10. （1）解：连接OB，OD，DAB=120，所对圆心角的度数为240，BOD=120，O的半径为3，劣弧的长为：3=2；（2）证明：连接AC，AB=BE，点B为AE的中点，F是EC的中点，BF为EAC的中位线，BF=AC，=，+=+，=，BD=AC，BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与O的交点即为所求的点P，BF为EAC的中位线，BFAC，FBE=CAE，=，CAB=DBA，由作法可知BPAE，GBP=FBP，G为BD的中点，BG=BD，BG=BF，在PBG和PBF中，PBGPBF（SAS），PG=PF11. （1）证明：AD是ABC的角平分线，BAD=DAC，E=BAD，E=DAC，BEAD，E=EDA，EDA=DAC，EDAC；（2）解：BEAD，EBD=ADC，E=DAC，EBDADC，且相似比k=，=k2=4，即s1=4s2，16S2+4=0，1616S2+4=0，即=0，S2=，=3，SABC=12. 【解答】（1）证明：连接AD，AB是O的直径，ADB=90，即ADBC，CD=BD，AD垂直平分BC，AB=AC，B=C，又B=E，E=C；（2）解：四边形AEDF是O的内接四边形，AFD=180E，又CFD=180AFD，CFD=E=55，又E=C=55，BDF=C+CFD=110；（3）解：连接OE，CFD=E=C，FD=CD=BD=4，在RtABD中，cosB=，BD=4，AB=6，E是的中点，AB是O的直径，AOE=90，AO=OE=3，AE=3，E是的中点，ADE=EAB，AEGDEA，=，即EGED=AE2=1813【解答】（1）证明：AB是O的直径，ACB=90，DEAB，DEO=90，DEO=ACB，ODBC，DOE=ABC，DOEABC；（2）证明：DOEABC，ODE=A，A和BDC是所对的圆周角，A=BDC，ODE=BDC，ODF=BDE；（3）解：DOEABC，即SABC=4SDOE=4S1，OA=OB，即SBOC=2S1，即，【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键模拟训练：12（1）证明： CDBCACCE， DCEACBCDECAB，EDCA90 ，EDACABCED（第26题）FGH又点D在O上，AC与E相切于点D 4分（2）过点E作EHAB，垂足为H，BHFH在四边形AHED中，AHEAADE90，四边形AHED为矩形，EDHA，EDAB，BDEC设O的半径为r，则EBEDEGr，BHFHr4，ECr5在BHE和EDC中，BDEC，BHEEDC，BHEEDC，即 r20即E的半径为208分（3） 10分3【考点】圆的综合题【分析】（1）连接OB，由条件可求得EBD=ABO，再利用圆周角定理可求得EBD+OBD=90，可证明BE是O的切线；利用圆内接四边形的性质可求得BDE=ACB，可证明ACBBDE，利用相似三角形的性质可求得DE的长；（2）延长DB、AC交于点H，可证得ABDABH，可求得HB，再利用DCHDBF，可求得DF的长，设O的半径为r，则AD=AH=2r，在RtDCH中可求得CH=4，在RtADC中，AD=2r，CD=8，AC=2r4，由勾股定理可得到关于r的方程，可求得圆的半径【解答】解：（1）如图1，连接OB，BD=BC，CAB=BAD，EBD=CAB，BAD=EBD，AD是O的直径，ABD=90，OA=BO，BAD=ABO，EBD=ABO，OBE=EBD+OBD=ABD+OBD=ABD=90，点B在O上，BE是O的切线；四边形ACBD是圆的内接四边形，ACB=BDE，且EBD=CAB，ACBBDE，=，即=，解得DE=； （2）如图2，延长DB、AC交于点H，AD为O的直径，ABD=ABH=90，BD=BC，DAB=HAB，在ABD和ABH中ABDABH（ASA），BD=HB=2，DCH=FBD=90，DCHDBF，=，即=，解得DF=5，设O的半径为r，则AD=AH=2r，在RtDCH中，CH=4，AC=2r4，在RtACD中，由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，（2r）2=（2r4）2+82，解得r=5，即O的半径为5【点评】本题为圆的综合应用，涉及切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆圆角定理、全等三角形的判定和性质、方程思想等知识在（1）中证明ACBBDE是解题的关键，在（2）中构造三角形全等求得DF的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中4【考点】圆周角定理；解直角三角形【分析】（1）连接BE，由AB是O的直径，得到AEB=90，根据余角的性质得到ABE=ACD，等量代换即可得到结论；（2）连接OF，根据勾股定理得到BE=8，根据三角函数的定义得到sinCAB=，根据勾股定理即得结论【解】（1）证明：连接BE，AB是O的直径，AEB=90，CAD+ABE=90，CDAB，CDA=90，CAD+ACD=90，ABE=ACD，ABE=AFE，AFE=ACD；（2）连接OF，BEC=90，BE=8，tanCAB=，sinCAB=，AC=AE+CE=10，CD=8，AD=6，OD=ADOA=1，OF=5，DF=2【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键5【考点】切线的判定【分析】（1）首先连接OE，由在ABC中，C=90，FGBC，可得FGAC，又由OFE=A，易得EF平分BFG，继而证得OEFG，证得OEBC，则可得BC是O的切线；（2）由在OBE中，sinB=，O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后由在BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得EGHFGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案【解答】（1）证明：连接OE，在ABC中，C=90，FGBC，BGF=C=90，FGAC，OFG=A，OFE=OFG，OFE=EFG，OE=OF，OFE=OEF，OEF=EFG，OEFG，OEBC，BC是O的切线；（2）解：在RtOBE中，sinB=，O的半径为r，OB=r，BE=r，BF=OB+OF=r，FG=BFsinB=r，BG=r，EG=BGBE=r，SFGE=EGFG=r2，EG：FG=1：2，BC是切线，GEH=EFG，EGH=FGE，EGHFGE，=（）2=，SEHG=SFGE=r2【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识注意准确作出辅助线是解此题的关键6(本题10分)(1)解：连接AD，D为弧AB的中点，ADBD，-1分AB为直径，ADB90，DABDBA45-2分DCBDAB45；-3分(2)证明：BECD，又ECB45，CBE45，CEBE，四边形ACDB是圆O的内接四边形，A+BDC180，又BDE+BDC180，ABDE，又ACBBED90，ABCDBE，-5分DE：ACBE：BC，DE：BEAC：BC1：2， 又CEBE，DE：CE1：2，D为CE的中点；-6分(3)解：连接CO，COBO，CEBE，OE垂直平分BC， 设OE交BC于F,则F为BC中点，又O为AB中点，OF为ABC的中位线，OFAC，-7分BEC90，EF为中线，EFBC，-8分在RtACB中，AC2+BC2AB2，AC：BC1：2，AB，AC，BC2，OEOF+EF-10分7【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得到AEC=ABC，再由已知ODB=AEC，等量代换得到ABC=ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，等量代换得到OBD为直角，即可得到BD是圆O的切线；（2）证明CEFABF，得出对应边成比例求出CE，由勾股定理求出BE和AE，得出AF，求出CF，得出BC的长，由垂径定理得出BH的长【解答】解：（1）BD是O的切线；理由如下：AEC与ABC都对，AEC=ABC，ODB=AEC，ABC=ODB，在R