闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布.docx

闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布孟雨孟雨 物理工程学院 11级物理学类三班Email: 1240123245摘要：文章主要采用毕奥萨伐尔定律，通过对闭合载流圆线圈周围磁感应强度分布的求解，得到了求解该同类问题的方法。并采用类似方法，求解了任意闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布，运用此结果又计算了有限长螺线管周围任一点的磁感应强度。一、 闭合圆线圈周围磁感应强度右图为空间中一闭合圆线圈，半径为R。不妨假设载流线圈中的电流I沿顺时针方向，易知曲线方程：x2+y2=R2y=0现计算该载流回路在空间任一点P(x0,y0,z0)处产生的磁感应强度。在载流回路上任一微元，其与x轴正方向夹角为，如上图所示。其位置坐标（Rcos,0,Rsin）。则P点到该微元的距离 r=Rcos-x2+y2+Rsin-z2. 源点到场点的单位方向矢量 er=1r*(x-Rcos,0,z-Rsin)由 B=o4*IdLerr2 得 B=Io4*elerr2*dL其中 eler=1r*ijk-sin0cosx-Rcosyz-Rsin=1r*(-y*cos,x*cos+z*sin-R,-y*sin)由 R=L得：dL=Rd 故(1#)BX=0402IR-ycosr3*dBY=0402IRR-xcos-zsinr3BZ=0402IR-ysinr3*d*d现对上结果进行分析: 垂直环面且过其中心的直线上的磁感应强度令x=0,y=ro,z=0,则 r=R2+r02BX=0IR402-r0 cosr3d=0BY=0IR402Rdr3=-IR202r3BZ=0IR402-sindr3=0 无穷远处的磁感应强度分布对于无穷远处某点P(x0,y0,zo),则有 R0=x02+y02+z02R故 1r3=1(Rcos-x2+y2+(Rsin-z)2)3/2=(R02+R2-2R(xcos+zsin)-3/2=R0-3（1+R2R02-2RR02(xcos+zsin)）-3/2R0-3(1+3RR02(xcos+zsin)则式（1#）即BX=-IR0y4R0302cos+3RR0-2xcos2+3RR0-2zsincosd=-3I0R2xy4R05BY=IR04R0302xcos+zsin-R*1+3RR02xcos+zsind=I0R24R05(3x2+3z2-2R02)BZ=-IR0y4R0302sin+3RR0-2sin2+3RR0-2sincos=-3I0R2yz4R05同样，若令x=0,z=0,y=r0,，则Bx=0; By=-I0R22r03; Bz=0对于中结果By=-I0R22*1(R2+r02)3/2 ,若有r0R，则By-I0R22r03二、 空间任意闭合曲线周围磁感应强度的分布对于空间曲线x=x(t)y=y(t)z=z(t) ,其中0t现计算对空间任一点P(x0,y0,z0)的磁感应强度。对于空间曲线上一电流元（x(t),y(t),z(t)）,其方向矢量L=xt,yt,zt，该微元到P点的距离r=(x-xt)2+(y-y(t)2+(z-z(t)2。由该电流元到P点的单位方向矢量er=1r(x0-xt,y0-yt,z0-z(t)现定义 =x(t)2+y(t)2+z(t)2，则沿电流元方向的单位矢量eL=1(xt,yt,z(t),又 dL=x(t)2+y(t)2+z(t)2dt=dt，故B=04IdLerr2=I04(eLer)r2dL其中eLer=1r*ijkx(t)y(t)z(t)x-x(t)y-y(t)z-z(t) 则（2#）Bx=I0402ytz0-zt-xt(y0-y(t)r3dtBy=I0402ztx0-xt-xt(z0-z(t)r3BY=I0402xy-yt-y(x-x(t)r3dt对于无穷远处P（x0,y0,z0）,则 R0=x02+y02+z02x2t+y2t+z2(t) 故 1r3=R02+x2t+y2t+z2t-2*x*xt+y*yt+z*zt-32R0-3*(1+3RO2*(x*xt+y*yt+z*z(t)将上式代入（2#）式中便可计算任意空间闭合曲线无穷远处的磁感应强度。三、 现由（二）中结果直接计算有限长螺线管在空间任意一点的磁感应强度。 设螺线管长度为L，线圈半径R。导线半径r,如右图所示，易知螺线管方程x=Rcosy=rz=Rsin 其中，-L2r2r则 x=-Rsin；y=r;z=Rcos将上述结果代入（2#）式中，得(3#)Bx=Io4*-L2rL2rrzo-Rsin-Rcosyo-rxo-Rcos2+yo-r2+z0-Rsin232*dBy=Io4*-L2rL2rRxocos+zosin-R2xo-Rcos2+yo-r2+z0-Rsin232*dBy=Io4*-L2rL2r-Rsinyo-r-r(xo-Rcos)xo-Rcos2+yo-r2+z0-Rsin232*d 螺线管内部中心直线上磁感应强度令x=0,y=yo，z=0 ,则(3#)BX=Io4*-L2rL2r-R*rsin-Rcos(yo-r)(R2+(yo-r)2)32*dBy=Io4*-L2rL2r-R2(R2+(yo-r)2)32*dBz=Io4*-L2rL2r-R*sinyo-r+R*rcos(R2+(yo-r)2)32*d下面我们将详细计算ByBy=-IoR24*-L2rL2rd(R2+(yo-r)2)32=-IoR24*3r3*-L2rL2rdR22r2+-yor232令m2=R22r2,n=yor,则By=-IoR24*-L2rL2rd(m2+(-n)2)32，令m2+(-n)2=m2sin2-n=mcotd=msin2d则By=-IoR24*3r3*12sinm2d=-IoR24*3r3*1m2*(cos1-cos2)=Io4r*(yo+L2yo+L22+R2+L2-yo(yo-L2)2+R2)当L时，ByI02r;若设单位长度内螺线管匝数为n,则n=12r，故 By=I0n ! 注意到，当r0时，（3#）式转化为（1#）式，这与经验是一致的。 同样道理，我们可以求出