《直线与圆锥曲线》doc版.doc

直线与圆锥曲线【例题精选】：例 1 已知直线 （1） 问a,b满足什么条件，直线与圆有两个公共点？ （2） 设这两个公共点为M、N，且OM、ON（O为原点）与x轴正方向所成角为+分析：第（1）问是求直线与圆什么时候有两个公共点，因直线与圆有两个公共点的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，或者直线方程与圆的方程联立的方程组有两个实数解，这里我们用后面的条件求解。第（2）问（如图）中角可以看成是OM、ON的倾斜角，直接找较麻烦，但是由圆的性质，取MN中点P，连结OP，可以知道只需求出OP的斜率，也就可以得到的值，再根据三角公式，就可以计算出与a的关系了。 解 : (1) 由方程组 (2)、如图，取MN中点P， 连结OP，则例 2已知椭圆中心为原点O, 焦在坐标轴上,y=x+1，求椭圆方程。分析: 这个问题中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上没有给定,因此在设此椭圆方程时,可以设为, 又这个问题中涉及弦PQ的长,因为P、Q在直线 上，因此坐标满足方程， 所以若P、Q坐标分别为（x, y), (x2, y2) 的话，可推得（我们称它为弦长公式，一般地为由已知OPOQ 我们一方面可以知道OP与OQ的斜率乘积为-1(斜率存在的情况下),一方面也可以知道PQ中点到原点O的距离等于因此本题可以得到以下两种一般解法.解法一: 设椭圆方程为设P由解法二: 同解法一, 得以下同解法一.例 3 求过点A(3,-1)被A平分的双曲线的弦所在直线的方程.解法一: 设过A点的直线方程为代入消去y, 得解法二 : 设直线与双曲线的两交点坐标分别为 则两式相减, 得 说明: 本题解法二过程简单, 在解题中是一种常用的方法,但是此法实际上是在承认了直线与双曲线存在两个交点的情况下去求解的,题中点A坐标若改成用此法可以得出相应的斜率例 4 过点P(-2,1)的直线l交抛物线B、C，交圆分析: 由已知条件可以看出抛物线和圆都在Y轴左侧,且两线是相交的, 点P(-2, 0)在两线的内部,且在它们的对称轴上,因此直线是满足条件的一条直线, 它是一条斜率不存在的直线,当直线l的斜率存在时,可设出l的方程分别与抛物线方程,圆方程联立去求交点坐标, 但是若直接计算的等式,会比较麻烦, 由于题中给出四个交点的顺序,所以可以将的条件转化为BC与AD的中点是重合的去解,就会方便很多,但如果未给出交点顺序, 应考虑四交点是否会出现如B、A、C、D的顺序，若能有此种顺序就不可以用中点重合的方法了。解 ： 过P（-2，0）点的直线x+2=0交抛物线于B（-2， 交圆于A（设直线l：例 5 已知直线(1) 实数m,a满足什么条件时,两线只有一个公共点?(2) 对任何实数 m,两线总存在公共点, 求实数a应满足什么条件?分析: 第(1)小题中,应注意两线只有一个公共点包括两种情况,一种是直线与双曲线渐近线平行时的情况, 一种是直线与双曲线相切的情况解: (1) 由欲使此不等式对任何实数m都成立,只需例 6 是否存在圆锥曲线C同时满足下列两个条件:(1)原点0和直线x-1为它的焦点和相应的准线; (2) 曲线C 上两点P1,P2关于直线x+y=0对称, 且, 若存在求出该曲线的方程,若不存在说明理由. 分析 : 由条件(1)可知, 如果能求出曲线C 的离心率e, 那么曲线C 的方程就存在, 而由条件(2)可知, P1P2斜率应该为1, 所以P1P2的方程可以设为, 这时此问题中出现两个待定的常数e与b,而根据对称点的性质及, 可以列出两个方程,如果能得出解即可解 : 设圆锥曲线C的离心率为e, 则由圆锥曲线定义可得【综合练习】:1、已知椭圆过P作一条直线交椭圆于A、B，使线段AB中点是点P，求出直线方程。2、m为何值时,直线与双曲线相交于两点?一点?相切?相离?3 、直线与曲线 恰有一个公共点，求实数a的值。4、在椭圆上总有关于直线对称的相异两点，求 m的取值范围。5、已知定点A（-1，0），B（0，2），过点A且斜率为K的直线交曲线C，于P、Q两点，线段PQ中点为M，直线MB交x轴于N点。（1）当点N分别位于A点的左侧、右侧时，求对应的K值。（2）设曲线C的中心为D，当为等边三角形时，求对应的K的值。6、直线kx-y-10=0与双曲线的两个交点都在双曲线的右支上, 求k的取值范围。【答案】：1、提示：与例3类似可以用两种不同方法求解，对于椭圆， 点P在其内，用解法二不会有问题，直线方程为所求。2、由消去y得 (这里不包括相切的情况); 3、若a=0 时，曲线变为y=0与直线y=x-1恰有一个公共点； 若a= -1时，直线变为y=-1与曲线 消去y，得（4、设相异的两对称点坐标为两式相减, 得又设AB中点坐标为5、 由消去x , 得点 又当6、提示：注意题中要求直线与双曲线的两个交点都在双曲线的右支上，因此， 在由 消去y 得关于x的二次方程。 上有两个解， 可求得K的取值范围是参数方程与极坐标【例题精选】：例 1 将下列参数方程化为普通方程（1）(2) 解 : (1)将方程变形 (2)说明: 参数方程化为普通方程时,就是要消去参数,而消参数的方法很多,但是消去参数后,应注意变量x, y 的取值范围,比如上面第(1)小题中第(2)小题中例 2 将下列极坐标方程化为直角坐标方程.(1)(2)解 : (1)方程变形为将(2)方程变形为说明： 极坐标方程与直角坐标方程的互化，是在两坐标系符合以下条件时，即极点与原点重合，数轴与x轴正半轴重合，长度单位一致，另外，以上两题中的取值没有限制例 (1) 求直线 (2) 过点p(1,-2)的直线交椭圆求直线的倾斜角.分析 : 直线参数方程 (t为参数)时,则直线倾斜角的正切值为 此例第(1)小题最好用前者求直线倾斜角, 在前一种形式参数方程中,参数t的几何意义是P0P的数量（其中P0(x0,y0), P(x, y )分别是直线上的定点和动点），此例第（2）小题应设直线的参数方程，利用t的几何意义去解。解: (1) 方程变形;(2) 设直线方程为代入设两根为t2,t2则解得 直线的倾斜解为45或135.例 4 已知曲线C:任意两点, 求AB的垂直平分线l在x轴上截距的范围.解 : 设点则AB的斜率为即直线l在x轴上截距的范围是例 5 (1) 求圆 的斗径及圆心的坐标。(2) 直线相切的充要条件是什么？解： （1）方程变形为圆的半径为5 ，圆心坐标为另法：方程变为圆的半径为 ，圆心坐标为（注前者是在直角坐标系下的图心坐标）（）将方程化为直角坐标系中的普通方程直线 圆 ，即【综合练习】:1、化下列参数方程为普通方程（1）（2）（3）2、已知方程 求曲线系中各曲线中心的轨迹方程，并画出草图。3、已知圆过原点作圆的两条切线，切点为T1，T2， 过原点引一条直线交圆于P1，P2，且与直线T1T2交于点P， 求证4、（1）求直角坐标系中点（-3，4）在相应极坐标系中的坐标； （2）极坐标方程表示的曲线是什么？5、求曲线所围成的图形面积。【答案