无理数的历史脉络.doc

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Lambert（17281777年），在1761年向柏林科學院提交論文，也是用連分數的方法證明下面的重要結果：若 x 是不為 0 的有理數，則ex、 都是無理數。根據這個結果，既然不是無理數，那麼 ，因此 ，不能是有理數。 1882年林德曼(Carl Louis Ferdinand lindemann，1852-1939) 證明的超越性，亦即不是有理數，不是帶根號的無理數，而且也不是任何整係數多項式方程式的根。代數數（如整數、有理數、可做數都是）和超越數的區分，是十八世紀研究無理數在觀念上的小突破，可是終此世紀，數學家沒法找出一個超越數來。戴德(Richard Dedekind, 1831-1916)與康托(Georg Cantor, 1845-1918)也幾乎在同時關注到實基礎的問題：如何由有出發，定義出無，並發展實的性質。最後，皮亞(Giuseppe Peano, 1858-1932)成功地在1889從自然公設推導出有，使得整個實系的輯結構得以建。加上十九世紀的後半，非歐幾何的一致性問題也得到解決。 貳、無理數的發現無理數的發現是古希臘人對數學的巨大貢獻。其發現歷程有二種傳說：其一，在公元前500年左右，古希臘人如畢達哥拉斯學派的成員認為宇宙的一切現象，都能歸結為整數或整數之比。可是，在公元前6世紀，該學派的成員希帕蘇斯（Hippasus）發現正方形的對角線與其一邊之比不能用兩個整數之比來表達。 克萊因，1981；Katz, Victor J.,1993也就說：每邊長為1 (單位) 的正方形, 其對角線長度是無法正確地測量出來, 意思是不管用任何尺度來測量(甚至是很細很細之刻度)其長度始終無法正確衡量, 也無法寫成分數。在希臘文的意思是不能表達的比 或沒有比。 其二，畢氏學派用五角星作為他們秘密組織的徽章或聯絡標誌。在五角星的線段比值，如下面左圖中任兩條交叉的對角線，都被對方切成兩段不等長的線段，而整段對角線（綠色）與長段（藍色）的比值，恰好就是長段（藍色）與短段（紅色）的比值，這個比值正是黃金比值 ，據說，希帕蘇斯（Hippasus）就是利用了輾轉丈量發現正五邊形的對角線與它的一邊是不可公度的。而畢氏學派無法証明該比值為兩整數之比。項武義，1999，精簡平面幾何學，第 41 頁。香港科技大學教育資訊站數學網（http:/www.edp.ust.hk/math/）。這個發現打破了該學派的信念，他把這種不能用兩個整數的比來表達的比稱為無公度比，使學派的成員驚慌不安。據傳，希帕蘇斯因此而被拋入大海，史稱第一次數學危機。無理數的處理無理數的發現導致了歐多克索斯(Eudoxus，408 - 355 BC) 的比例論, 一門關於比例的幾何理論, 用幾何方法處理同類兩個幾何量之比。在他之前, 只有關於比例的算術理論, 按照這理論ad = bc a : b = c : d (ab=cd)這種界說, 在還沒有關於無理數的幾何理論時就只能應用於有理數。但歐多克索斯提出的的比例論並不受此限制, 其構造的方式暗示了近代的數學分析方法, 其運用的方法本質上類似於Weierstrass(1815 - 1897) 所介紹給19世紀的數學分析方法, 於是比例論就避免了有關無理數的種種困難。歐多克索斯的比例論後來由歐幾里德(Euclid 300 ? B.C.) 所發揚光大,由於比例論的成就, 使得幾何學成為古希臘數學的主流, 代數問題幾乎全用幾何的方法來處理。歐幾里德的“幾何原本”毫無疑問是古往今來最偉大的著作之一, 是古希臘數學的結晶, 人類理智最完美的紀念碑之一。雖然比例論解決了一些無理比(即無理數) 的問題, 但它卻不把量比當作數, 使得算術與代數的發展受到限制, 這是古希臘數學的最大缺陷。九章算術註1 第四卷少廣在第十二到第十六題之後，有一段開方術的敘述： 置積為實。借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除，折法而下。復置借算，步之如初，以復議一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副從定法。復除，折下如前。若開之不盡者，為不可開，當以面命之。若實有分者，通分內子為定實，乃開之。訖，開其母，報除。若母不可開者，又以母乘定實，乃開之。訖，令如母而一。註2 其中若開之不盡者，為不可開，當以面命之。近年來常被中算史家當做引入無理數的證據，也就是開方的不盡根，用面來稱呼，便相當於一個無理數。劉徽註3 在這段話中的注文： 不以面命之，加定法如前，求其微數。微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也。 又常被認為是用十進小數來無限逼近無理方根。譬如李繼閔註4 總結說： 總之，劉徽的論述表明，中算家通過千百次的開方運算懂得，存在開方不盡之數，其結果是不能用分數的有限形式來表示的。對於這種情形，或者引進新數稱之為面，或者用求微數法以十進分數來無限逼近。並且中算家不僅會用十進分數作近似計算以滿足實用的需要，而且會用面（即無理根數）來進行無理數的精確的理論計算。這種方法與現代數學中處理無理數的表示與計算問題的辦法，可以說是沒有什麼不同的，只是古代中算家對此的記述文字十分簡約罷了。中國古代的工程師研討幾何是為了致用，是唯用是尚的；他們在基本測量公式的推導上善用面積，的確有其獨到的長處，但是在對于空間本質理解的深度上，比之于古希臘幾何學是的確膛乎其後的了。 参、無理數的証法根據前者的說法 為無理數, 這是古希臘畢氏學派的偉大發現, 是歸謬證法的典範一、反證法 只有兩種情形: 有理數(rationalnumber) 或者不是有理數。不是有理數就叫做無理數(irrational number)。因此, 我們立下正、反兩個假說:H1 : 為有理數;H2 : 為無理數。到底是哪一個成立呢? 如何證明?欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所以改由H1 切入。換言之, 我們假設 為有理數, 利用反證法：若P，則Q其等價命題為若非Q，則非P，其證法為：假設 為有理數, 故可以寫成 =(1)其中 p 與 q 為兩個自然數並且互質。將上式平方得p2 = 2q2 (2)所以 p2 為偶數, 從而p 亦為偶數。令p = 2m其中m 為某一自然數, 於是2q2 = p2 = (2m)2 = 4m2或者q2 = 2m2因此,q2 為偶數, 故q 亦為偶數。這就跟p與q 互質的假設互相矛盾, 所以 為有理數不成立， 從而得證 為無理數。蔡聰明，2 為無理數的證明，數學傳播23卷1期民88年3月。這是一般教科書上最常見的證法, 我們稱之為反證法或歸謬法(reductio ad absur-dum) 此種証法很接近亞里士多德所提示的方法。二、輾轉互相度量喬治克里斯托（George Chrystal）編寫的代數教科書中的一個方法，充分反映了本命題及其證明中極為濃厚的程序性色彩，令人印象深刻。根據史家湯馬斯希斯（ThomasL. Heath），歐幾里得幾何原本十三冊（Euclid:Thirteen Books of the Elements）克里斯托模仿歐幾里得的幾何原本第十卷第二命題的證明：先利用邊BC為尺去度量對角線AC，結果剩下量不盡的CF。其次，再以這一個CF 為尺去度量BC，結果去掉BE之後，還剩下CE量不盡。現在，再將這種輾轉互相度量的作法，應用在較小正方形CFEG的邊CF與對角線CE上。依此類推，則一開始若BC，AC可以公度量，則將導致矛盾，則是因為如圖中的正方形可以愈作愈小，但是，這種情況對於前所設定的公度量單位u 之整數倍，卻不會發生。肆、人是萬物的尺度？公元前第五世紀，希臘辯者普魯塔格羅斯曾經宣稱：人是萬物的尺度。這種觀點，大概也呼應了畢氏學派所主張的萬事萬物，都可以表徵成為數目的比（ratio）。正因為如此，所以，ratio對應的希臘字logos，就成了可以表達的意思了，從而可公度量顯然就成為古希臘人的日常用語了。不過，萬一我的尺度與某一個線段是不可公度量，它們以一種非比（ir-ratio）關係存在，那麼，運用我的尺度，就無法表達這一個線段的長度了。古希臘人稱這種情況為alogos，也就是缺乏文字可以表達的意思。在不可公度量的比尚未出現之前，畢氏學派可以說是自信滿滿，總認為利用比的概念，就可以理解整個宇宙了。其實，這種手法也反映在他們對美學的研究上。譬如美對於他們來說，就是有很好的比例關係。無怪乎，他們會對黃金分割的比（約等於1.618）會那麼執迷了。希臘人（尤其是畢氏學派）這種以人類為中心的偏執（我執？），在不可公度量出現之後，就很難再堅持下去了。於是，繼之而起的柏拉圖學派，就勇敢而率真地提出並面對愈來愈多的不可公度量的事件。門徒中的希兒特斯與尤德克瑟斯也因而成功地發展出一套比例理論，最後，再由歐幾里得總結了古希臘人在這一方面的研究工作。然而，從不可公度量到無理數，其實是漫漫長途，前後延續了約兩千年之久！這一則數學故事完結篇，恰好也見證了像這樣的無理數，結論：實數除了常見的整數、分數，還有無理數。誠如有理數具有稠密性但不具連續性，若加上無理數之可填滿整條數線，使得實數系更加完備。其實，數學家也要到十九世紀後半，才在無理數理論探討方面有所突破，那麼，在此之前，人類怎樣摸索無理數的意義呢？ 參考書目：Katz, Victor J.,. A History of Mathematics P.46 - P.47. 1993. New York: Harper Collins College Publishers.克萊因，北京大學數學系數學史翻譯組譯，古今數學思想第 1 冊，第 37 頁，1981年。上海科學技術出版社。林琦焜數, 十進位與Cantor 集，數學傳播24卷4期，民89年12月。洪萬生，以我的身高為準，科學發展,358期,2002年10月。香港課程發展議會，中學課程綱要：數學科（中一至中五），第 24 頁，1999年。香港：香港印務局。梁子傑，我看第一次數學危機的教學，進志數學通訊 ，2004 年 3 月。項武義，精簡平面幾何學，第 41 頁，1999年。香港科技大學教育資訊站數學網（http:/www.edp.ust.