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把握临界条件巧用动量守恒定律例析 湖南临澧一中 李久湘 415200动量守恒定律是自然界应用最广泛的定律，大到天体之间的相互作用，小到微观粒子，均可应用应用它来解决一些相关问题。在运用动量守恒定律解题时，常会遇到相互作用的几个物体间的临界问题，求解这类问题的关键是要注意思路点拨和把握相关的临界条件，而这又往往是初学者最难把握的。现把与应用动量守恒定律解题相关的临界问题作初步的思路点拨和讨论。1、涉及滑块与小车（木板）临界问题：滑块与小车（木板）是一种常见的习题模型。滑块刚好不滑出小车（木块）的临界条件是滑块到达小车（木板）时的速度与小车（木板）的速度相同。【例1】 如图1所示，质量为M=2kg的小车静止在光滑的水平面上，小车上表面粗糙，质量为m= 0.5kg的滑块以v0=2m/s从和小车等高的平台冲上小车，小车和滑块之间的动摩擦因素=0.2，要求滑块不从小车上滑下来，小车的长度L至少多长？【思路点拨】：取滑块和小车为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。由动量守恒定律得： 要使滑块刚好不从小车上滑出，则必须满足如下的临界条件：根据功能关系得：解以上三式代入数据得：L=0.8m说明：将题中的小车换成木板；子弹打击木块刚好打穿的情形也一样。【变式练习】：如图2所示，长为L，质量为2m的木板A在光滑的水平面上以v0的速度向右运动，将质量为m的铁块B轻放在木板的右端，铁块刚好不从木板上掉下，木板和铁块之间的动摩擦因素，求木板运动的初速度v0. （答案：）如图3所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为。颗质量为的子弹从木块的左端以v0打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为Ff的阻力，子弹刚好从木块的右端打出，木块的长度多大？答案：L=2、涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。【例2】如图4所示，在光滑水平面上放着两个质量分别为m和m的滑块A和B，它们用一根长而轻的弹簧连接在一起，一质量为、速度为v的子弹C击中A后留在其中，设打击时间极短。求子弹射入A后，在A与B相互作用的过程中，求：弹簧的弹性势能最大值是多少？【思路点拨】：子弹打击A由于碰撞时间很短，可认为相互作用仅发生在子弹C与A之间，碰后A与C具有共同速度，由动量守恒定律有：， 得：A和C碰后合并为一个物体，与B相互作用的过程中由于度A和C的速度大于物体B的速度，弹簧将被压缩。接着，物体A、C做减速运动，B做加速运动。当三个物体速度相同时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能达到最大。由动量守恒定律有：得：弹簧具有的最大弹性势能为：=【变式练习】（2002年全国）在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为，则碰前A球的速度等于（ ）A. B. C. D. 答案：C3、涉及弧形槽的临界问题在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同速度，物体在竖直方向的分速度等于零。【例题3】在光滑水平地面上放有一质量为M的、带圆弧的光滑槽的小车。一个质量为m的小球以速度v沿水平槽口滑去，如图5所示。试求：小球滑到最高点时的速度大小和此时滑块速度大小。【思路点拨】：由临界条件知，小球到达最高点时，小球和小车在水平方向应具有相同的速度。小球在竖直方向的分速度等于零。由动量守恒定律得：即拓展：本题还可以求以下的问题：（1）小球能滑至弧形槽内的最大高度H ；（2）小车的最大速度；（3）小球从左端脱离小车时的速度。【提示】铁块达最大高度时，和弧形槽具有相同的速度，设为V ，则动量关系为：mv = (m + M)V ，能量关系为：mv2 =(m + M)V2 + mgH 。解此两式即可。结合动力学思路点拨不难得出，只有小球回到初始高度时，弧形槽才具有最大速度。由于系统在小球上升到下降的全程机械能能是守恒的，故可以应用动量和能量的关系求（2）（3）的结果。答案：（1）H =；（2）v ；（3）v 。4、涉及摆的临界问题装在车内的摆（由一段绳子和小球组成）随车运动时，小球上升到最高点的临界条件是小球和小车的速度相等。【例题4】 如图6所示，在光滑的水平横杆上，穿着质量为m3=2kg金属环，金属环可以在杆上无摩擦的自由滑动，环的下面用轻绳系着质量为m2=0.98kg的木球。一颗质量为m1=0.02kg子弹以v0=100m/s的水平速度向木球正射过来，并留在其中。设打击时间极短。试求：木球上摆的最大高度是多少？【思路点拨】：子弹打击木球，由于打击时间很短，取子弹和木球为研究对象，运用动量守恒定律得：m1v0=(m1+m2)v1 接着，子弹和木球合为一体并通过绳子与金属环发生作用，木球将向右做减速运动并上摆，金属环将向右做加速运动。当木球和金属环速度相同时，木球到达最高点。对金属环和木球应用动量守恒定律得：(m1+m2)v1=(m1+m2+m3)v2 解以上两式得：木球和金属环的运动过程机械能守恒，对木球和金属环的运动过程应用机械能守恒得：解得：【变式练习】：甲、乙两完全一样的小车，质量均为M，乙车内用细绳吊一质量为的小球，当乙车静止时，甲车以速度与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时，甲车和小球的速度各为多大？（答案：）5、涉及追碰的临界问题两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度必须大于乙物体的速度，即。而甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是=。【例题4】如图8所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车质量之和为M = 30kg ，乙和他的冰车质量之和也是M = 30kg 。游戏时，甲推着一个质量m = 15kg的箱子以大小为v0 = 2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住。若不计冰面摩擦，求甲至少要以多大速度（相对于地）将箱子推出，才能避免与乙相撞？【思路点拨】：当甲把箱子推出后，甲的运动存在三种可能： 继续向前，方向不变； 停止运动； 反向运动。以上三种推出箱子的方法，由动量守恒定律可知，第一种推法箱子获得的速度最小，若这种推法能实现目标，则箱子获得的速度最小，设箱子的速度为，取甲运动方向为正方向，则对甲和箱子在推出过程运用动量守恒定律：箱子推出后，被乙抓住，为避免甲、乙相撞，则乙必须后退，对乙和箱子运用动量守恒定律得：要使甲、乙不相撞，并使推出箱子的速度最小的临界条件为：v甲=v乙解以上三式得：【变式练习】：一个大雾天的早晨，总质量为M=450kg的甲船以速度v1=2m/