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文档简介
4.1.2圆的一般方程教学目标:知识与技能: (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件 (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法:通过对方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教学过程:一、复习准备:问题1:圆的标准方程是什么? 二、情境设置:问题2:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢?三探索研究:圆的标准方程:(xa)2(yb)2=r2,圆心(a,b),半径r把圆的标准方程展开,并整理:x2y22ax2bya2b2r2=0取得 这个方程是圆的方程问题3:反过来给出一个形如x2y2DxEyF=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?把x2y2DxEyF=0配方得 (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1)当D2E24F0时,方程表示(1)当时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;(2)当时,方程只有实数解,即只表示一个点(-,-);(3)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形综上所述,方程表示的曲线不一定是圆 只有当时,它表示的曲线才是圆。我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程问题4:方程在什么条件下表示圆的方程?四、讲授新课:1圆的一般方程的形式(1)分析方程表示的轨迹1)当时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程表示以为圆心,为半径的圆。2)当时,方程只有实数解。它表示一个点3)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形(2)给出圆的一般方程的定义当时,方程叫做圆的一般方程。问题5:圆的一般方程有何特点:(启发学生归纳) (1)x2和y2的系数相同,不等于0没有xy这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。问题6:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小,几何特点明显;圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程,代数特点明显 练习:教材P123面1题、2题。2圆的一般方程的运用例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。学生自己分析探求解决途径:、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是,要注意对于来说,这里的.例2、求过三点O(0,0),的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。小结:用待定系数法求圆的方程的步骤:1.根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式;2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程;3.解方程组,求出a、b、r或D、E、F的值,代入所设方程,就得要求的方程例3. 圆心在直线xy40上,并且经过圆x2y26x40与圆x2y26x280的交点的圆的方程例4、见教材P122面的例5。例5、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。分析:如图点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,求出点M的轨迹方程。 解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是 上运动,所以点A的坐标满足方程,即 把代入,得3. 课堂小结:圆的一般方程的形式;化为圆的标准方程的方法
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