函数的性质及综合应用.doc

莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅葿螈膈蒃蒈袀羁荿薇羂膆芅薆蚂罿膁薅螄膅肇薄羆羇蒆薄蚆芃莂薃螈肆芈薂袁芁膄薁羃肄蒃蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈蚇肁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃螃螆羀蒂螂袈膅莈螂羀羈芄螁螀膄芀莇袂肇膆莆羅节蒄莅蚄肅莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅葿螈膈蒃蒈袀羁荿薇羂膆芅薆蚂罿膁薅螄膅肇薄羆羇蒆薄蚆芃莂薃螈肆芈薂袁芁膄薁羃肄蒃蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈蚇肁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃螃螆羀蒂螂袈膅莈螂羀羈芄螁螀膄芀莇袂肇膆莆羅节蒄莅蚄肅莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅葿螈膈蒃蒈袀羁荿薇羂膆芅薆蚂罿膁薅螄膅肇薄羆羇蒆薄蚆芃莂薃螈肆芈薂袁芁膄薁羃肄蒃蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈蚇肁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃螃螆羀蒂螂袈膅莈螂羀羈芄螁螀膄芀莇袂肇膆莆羅节蒄莅蚄肅莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅葿螈膈蒃蒈袀 函数的性质及综合应用湖南祁东育贤中学 周友良 421600湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉 一、 基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。（3） 若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。（4） 互对称知识：函数的图像关于直线对称。2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数的图像和单调区间。3函数的周期性 对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1） 若是的周期，那么也是它的周期。（2） 若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。（3） 若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。（4） 若函数满足，则是周期为的函数。4高斯函数对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质：（1） 对任意 （2） 对任意，函数的值域为（3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意（4） 若，后一个式子表明是周期为1的函数。（5） 若 （6） 若二、综合应用例1已知函数f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的个数是（ ）A0 B1 C0或1 D1或2分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，xF的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C函数、方程、不等式是相互联系的对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)g(x)或f(x)g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具例2方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，+)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较与2的大小当x=2时，lgx=lg2，3-x=1由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断例3(1)一次函数f(x)=kx+h(k0)，若mn有f(m)0，f(n)0，则对于任意x(m，n)都有f(x)0，试证明之；(2)试用上面结论证明下面的命题：若a，b，cR且|a|1，|b|1，|c|1，则ab+bc+ca-1分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k0)， x(m， n)若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x(m，n)都有f(x)0之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的因此本问题的证明要从函数单调性入手(1)证明：当k0时，函数f(x)=kx+h在xR上是增函数，mxn，f(x)f(m)0；当k0时，函数f(x)=kx+h在xR上是减函数，mxn，f(x)f(n)0所以对于任意x(m，n)都有f(x)0成立(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1则f(a)=(b+c)a+bc+1当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1因为|c|1，所以f(a)=-c2+10当b+c0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数因为|b|1，|c|1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)0由问题(1)对于|a|1的一切值f(a)0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+10说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”把证明ab+bc+ca-1转化为证明ab+bc+ca+10， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|1，|b|1，|c|1的条件下证明f(a)0(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)0)。例4定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖例5. （湖北卷）在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ B ）A0B1C2D3【答案】B。要使恒成立，即需要函数在内为凸函数。而在内为凹函数，在内先凸后凹函数。只有在内为凸函数。所以答案为B。例6（辽宁卷12）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是11yxO11yxO11yxO11yxO（）（）（）（）【答案】A【解答】由，得，即，而是图中正方形的对角线，由知曲线应在正方形的对角线的上方。从图象知故选A 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.例7已知f(x)ax2bxc(a0，a、b、c均为实常数)，若f(x1)f(x2)且x1x2，求f(x1x2) （要求：时间不限，但必须尽可能多地给出各种解答，不管繁简，方法越多越好）20分钟后两人相继交卷普通生X给出三种解法是：解法一：f(x1)ax12bx1c f(x2)ax22bx2c又f(x1) f(x2)0则a(x12x22)b(x1x2)0 （1）(x1x2)a(x1x2)b0x1x2 有 a(x1x2)b0x1x2f(x1x2)f()a()2b()cc解法二：要求f(x1x2)，则先要求出x1x2的值f(x1)f(x2)ax12bx1c ax22bx2c （以下解法与解法一（1）式起后续各步同）解法三：f(x1x2)f(0)c高才生L给出了五种不同解法：解法一：直接法（同普通生解法一）解法二：特殊值法（一） 令f(x1)f(x2)0 ，则x1，x2为方程ax2bxc0的两根故x1x2f(x1x2)f()c解法三：特殊值法（二）令f(x1)f(x2)0，则x1，x2为方程ax2bxc0两根，故x1x2则f(x1x2) a(x1x2)2b(x1x2)c f(x1)f(x2)2ax1x2c 2ax1x2c2acc解法四：图像法（一）对f(x)ax2bxc ， 不妨设a0，其图如下：由f(x1)f(x2)可知x1，x2关于对称轴x对称 即 x1x2，再代入可得题目：已知f(x)ax2bxc(a0，a、b、c均为实常数)，若f(x1)f(x2)且x1x2，求f(x1x2) （要求：时间不限，但必须尽可能多地给出各种解答，不管繁简，方法越多越好）20分钟后两人相继交卷普通生X给出三种解法是：解法一：f(x1)ax12bx1c f(x2)ax22bx2c又f(x1) f(x2)0则a(x12x22)b(x1x2)0 （1）(x1x2)a(x1x2)b0x1x2 有 a(x1x2)b0x1x2f(x1x2)f()a()2b()cc解法二：要求f(x1x2)，则先要求出x1x2的值f(x1)f(x2)ax12bx1c ax22bx2c （以下解法与解法一（1）式起后续各步同）解法三：f(x1x2)f(0)c高才生L给出了五种不同解法：解法一：直接法（同普通生解法一）解法二：特殊值法（一） 令f(x1)f(x2)0 ，则x1，x2为方程ax2bxc0的两根故x1x2f(x1x2)f()c解法三：特殊值法（二）令f(x1)f(x2)0，则x1，x2为方程ax2bxc0两根，故x1x2则f(x1x2) a(x1x2)2b(x1x2)c f(x1)f(x2)2ax1x2c 2ax1x2c2acc解法四：图像法（一）对f(x)ax2bxc ， 不妨设a0，其图如下：由f(x1)f(x2)可知x1，x2关于对称轴x对称 即 y x1x2，再代入可得f(x1x2)c 0 x1 x2 x解法五：图像法(二)由解法四可知x1与x2关于x对称，特殊地x1x2与0关于对称轴x对称f(x1x2)f(0)c在以上解答的过程中，普通生X给出了两种相似的解法和一种猜测：方法一是直接法，X仅仅把题目中的已知条件f(x1)f(x2)直接转译出来，得到x1x2，再将之代入f(x)中就使问题得到解决访谈时X说对这种做法能否成功事先并未曾深入思考，任其自然，说明此时其思维尚处于一种表层的自然状态方法二虽然只是在方法一的基础上作了一些调整，主要是各步骤的顺序有点变化，但实际上其思维已得到提升，进入了由果索因的、有目标的思维状态X说想了好久才想到这种方法但这种由果索因也还是层次不深，X并未能使自己的思维展开联想与发散方法三，访谈时X强调自己只是猜想，因为从前面的方法中得到f(x1x2)c，同时又有f(0)c，于是猜想f(x1x2)f(0)虽然这只是一个猜想而未能证明，但说明她的思维已进入了发散阶段如果说方法一、方法二是普通生X在“欣赏桃花林”，“下到桃花溪里打鱼”，方法三则是她仅“到了桃林尽处，溪流源头，便以为山穷水尽了”；以至没有“发现山洞”而折回去了高才生L给出的五种不同解法，充分展示出其思维层层深入的轨迹：方法一（直接法）通过直接运用已知条件使问题得到解决，思维处于表层方法二与方法三（特殊值法）显示出L的思维从一般转化为特殊：由x1x2联想到初中所学过的韦达定理，x1x2，x1x2于是令f(x1)f(x2)0，从两个方面使自己的思维发散开来，得到两种不同的解法，此时思维处于活跃状态，通过联想臻于发散方法四与方法五是图像法，L由f(x)ax2bxc联想到抛物线，此时思维状态从数进入了形，通过数形结合，把f(x1)f(x2)这一条件直观地反映在抛物线图形上并予运用：由该条件，知x1与x2关于对称轴对称，又由对称关系的中点公式可得：即x1x2，从而使问题得以解决更难能可贵的是L