布朗运动界面成长与扩散现象.doc

袇肇蚆薀膅肇莆螆肁肆蒈蕿羇肅薀螄袃膄芀薇蝿膃莂螃肈膂薄薅肄膂蚇袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁膈芁袇羇芇莃蚀袃芆蒅袆蝿芆蚈虿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节节螅螁芁莄薈肀莀蒆螃羆莀薈薆袂荿芈螂袈莈蒀蚄膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈莅莅袈袄羂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿羅聿蒁袅羁肈薄螈袇肇蚆薀膅肇莆螆肁肆蒈蕿羇肅薀螄袃膄芀薇蝿膃莂螃肈膂薄薅肄膂蚇袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁膈芁袇羇芇莃蚀袃芆蒅袆蝿芆蚈虿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节节螅螁芁莄薈肀莀蒆螃羆莀薈薆袂荿芈螂袈莈蒀蚄膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈莅莅袈袄羂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿羅聿蒁袅羁肈薄螈袇肇蚆薀膅肇莆螆肁肆蒈蕿羇肅薀螄袃膄芀薇蝿膃莂螃肈膂薄薅肄膂蚇袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁膈芁袇羇芇莃蚀袃芆蒅袆蝿芆蚈虿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节节螅螁芁莄薈肀莀蒆螃羆莀薈薆袂荿芈螂袈莈蒀蚄膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈莅莅袈袄羂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿羅聿蒁袅羁肈薄螈袇肇蚆薀膅肇莆螆肁肆蒈蕿羇肅薀螄袃膄芀薇蝿膃莂螃肈膂薄薅肄膂蚇袁羀膁莆 布朗運動界面成長與擴散現象文/龐寧寧前言自從西元1828年，植物學家布朗首先觀察到花粉粒子在流體中的布朗運動，1905年愛因斯坦及1908朗級文分別提出對此種運動型態物理的解釋及分析，近百年來，這種運動方式概念的應用，已經遍及於科學之各領域，包含：物理、化學、生物、經濟、大氣、材料等學門，其影響的確是十分深遠而廣博。物理雙月刊（廿七卷三期）2005年6月467漫談布朗運動西元1828年，植物學家布朗觀察花粉粒子在水中的運動，定性的描述其不規則的運動方式。西元1905偉大的愛因斯坦對於運動形式提出了物理的解釋：布朗粒子的不規則運動是由於環境水分子不間斷地隨機的碰撞所造成。要解釋布朗粒子運動的方式，愛因斯坦提出了random walk的模型去描述此種形式的運動：在每個時間的小間隔 t， 物體可移動一步 tl，而其方向則是隨機選取。經由簡單的計算，我們可得到長時間的位置分布：，擴散係數。而由此分佈，愛因斯坦也寫下了對應的擴散方程式：，其中代表時間 tt於位置的布朗粒子數目密度。在1908年，物理學家朗級文對布朗運動的力學形式，寫下了下述的方程式，其中m代表布朗粒子的質量，代表其速度，描述布朗粒子所受流體的阻滯力，而代表random force。具有以下的性質：。符號代表統計平均。經過簡單的計算，我們可得到布朗粒子的運動速度： 。其中代表relaxation time，大小等於 mB。右式第一項告訴我們布朗粒子的起始速度隨時間指數型衰減，而右式第二項則表達random force的影響。我們可以看出在長時間之後趨近於。而我們又從氣體分子動力論知道布朗粒子與環境達到熱平衡時所對應的，其中為波玆曼常數，而T代表溫度。因此，我們得到。因為A代表了random force平均的平方強度大小，而B與流體的粘滯性成反比，故與耗散有關。所以此關係式被稱為the Fluctuation-Dissipation Theorem（漲落與耗散定理）。此外，經過計算，也可得到。前面曾經先提到愛因斯坦的random walk模型，經由其機率分佈亦可得。因此我們得到下述關係。此關係式被稱為Einstein relation。以上，我們簡單的描述了在20世紀初對於布朗運動的主要理解與分析方式。20世紀中後期random walk的概念應用在許多科學的領域，不論是物理、化學、生物、經濟、大氣、材料等學門，都可見到random walk模型的蹤影。以下我們將介紹random walk概念在界面成長及擴散現象的應用。界面成長及擴散現象以下我們將分別介紹幾個著名的例子：(1)限制擴散成長（diffusion-limited aggregation）。此物理模型廣泛地應用於解釋樹枝狀之界面成長。基本的粒子沉積方式如下：粒子從遠處以random walk的方式擴散接近正在成長中的粒子沉積群聚。一旦擴散粒子碰觸到沉積群聚即不再運動，而成為群聚的一份子。在二維空間，此群聚具有碎形維度1.71，而在三維空間，此群聚具有碎形維度2.50。有許多界面成長實驗之結果與此理論估計密切吻合。其中最著名的就是樹枝狀電化學沉積的鋅或銅金屬葉。此化學實驗也常被用在課堂上作為隨機碎形的最佳示範。(2)碎形擴散前緣此模型描述線狀的粒子源往二維方向擴散做random walk其所構成的擴散前緣碎形。其碎形維度為1.75。一具體實驗為金原子在二維絕緣基底上的擴散現象。此類問題的分析方式可藉用percolation（穿透）概念的衍伸來得到相關長度（correlation length）的scaling exponent 與碎形維度Df的關係。(3)徑向擴散與指數成長在生物群聚的徑向擴散現象中，由於生物的繁殖，故需額外考慮數目密度在固定的位置上隨時間增加的效應。因此其微分方程式應修正如下。統計計算可得其數目密度。此種模型已經成功的解釋如中歐洲在20世紀初期鼠疫的傳佈及在北美新英格蘭區20世紀初期的一種飛蛾猖獗的蔓延。(4)線狀擴散與邊界條件振盪的影響在土壤中熱的傳遞，由於日照的關係，會隨著時間而振盪。故溫度在土壤中的分布，除滿足擴散方程式外，也須滿足隨時間振盪的邊界條件。故其通解應修正為，其中，而E代表在土壤中的熱擴散係數。總而言之，偉大的愛因斯坦提出了random walk model成功的解釋了布朗運動之後，至今剛好一百年。將random walk的概念應用在各類問題的分析，並配合實際情況加以適度的修正調整的例子真是不勝枚舉。這也是愛因斯坦被時代雜誌評選為man of the 20th century的原因之一。參考資料(1)Fractals, J. Feder 1988 (Plenum Press, New York)(2)Physics of Crystal Growth, A. Pimpinelli and J. Villain 1988 (Cambridge)(3)Growth and Diffusion Phenomena, R. B. Banks 1994 (Springer-Verlag)(4)Fractal Concepts in Surface Growth, A.L. Barabsi and H. Z. Stanley 1995 (Cambridge)(5)Statistical Mechanics, R. K. Pathria 1972 (Pergamon Press)(6)T. Halpin-Healy and Y. C. Zhang, Physics Reports vol. 254, p. 215-415 (1995)作者簡介龐寧寧 台灣大學物理系副教授e-mail: .tw 蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁膈芁袇羇芇莃蚀袃芆蒅袆蝿芆蚈虿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节节螅螁芁莄薈肀莀蒆螃羆莀薈薆袂荿芈螂袈莈蒀蚄膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈莅莅袈袄羂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿羅聿蒁袅羁肈薄螈袇肇蚆薀膅肇莆螆肁肆蒈蕿羇肅薀螄袃膄芀薇蝿膃莂螃肈膂薄薅肄膂蚇袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁膈芁袇羇芇莃蚀袃芆蒅袆蝿芆蚈虿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅节节螅螁芁莄薈肀莀蒆螃羆莀薈薆袂荿芈螂袈莈蒀蚄膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈莅莅袈袄羂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿羅聿蒁袅羁肈薄螈袇肇蚆薀膅肇莆螆肁肆蒈蕿羇肅薀螄袃膄芀薇蝿膃莂螃肈膂薄薅肄膂蚇袁羀膁莆蚄袆膀