数值计算课堂提问含参考答案.doc

课堂提问及参考答案第1章 误差与误差分析1、在数值计算方法中，误差是如何分类的？答:误差按照来源可以分为4类:模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。其中，在本门课程中，前两种误差可称为固有误差，无法避免和改变；后两种误差可称为计算误差，是本门课程分析和研究的重点。 另外，按照误差产生的过程，也分为过失误差和传播误差。2、求解方程x2-56x+1=0的根。（已知根号783约为27.982。）答：根据二项式的求根公式可得即为避免相近数相减，从而丧失大量的有效数字，另一个根的计算可写成如下形式：第2章 非线性方程的数值解法1、证明1-x-sin(x)=0在区间0,1内有一个根，若使用二分法求误差不大于0.5*10（-4）的根要二分多少次?若取，能否用不动点迭代法求根？答：令f(x)= 1-x-sin(x)，显见f(x)为连续函数。f(x)=-1-cos(x),当x在区间0,1时，0cos(1)=cos(x)=1，则f(x)0,f(1)=-sin(1)0，即f(0)*f(1)D=diag(diag(A); G=-inv(tril(A)*(triu(A)-D); pG=max(abs(eig(G)可得该方程的Jacobi迭代形式为：使用matalb语句D=diag(diag(A); B=eye(length(A)-inv(D)*A; pB=max(abs(eig(B)可得，所以Guass-Seidel 迭代收敛速度更快。A=9 -1 -1;-1 8 0;-1 0 9; b=7 7 8; x,k=Gaussseidel3(A,b)x = 1.0000 1.0000 1.0000k = 5所以解向量x=(1,1 ,1)T.若用Jacobi迭代，迭代次数为8，符合分析。第4章 矩阵特征值与特征向量的数值解法1、已知方阵A的按模最大的特征值为10，则A的逆矩阵按模最小特征值是 0.1。分析：反幂法的推导使用的矩阵和逆矩阵特征值关系的特点，教材p124。2、下面不属于Jacobi旋转法的特点的是( A )A.可求矩阵的所有特征值和特征向量；B.通过Givens变换对所求矩阵实施正交相似变换；C.变换矩阵相乘得到矩阵的各列为对应的特征向量；D.对于实对称矩阵，Jacobi旋转法必然收敛于对角矩阵分析：Jacobi旋转法针对的是实对称矩阵，构造一系列正交矩阵对矩阵A实施正交相似变换，必然可求得所有的特征值和特征向量，即除对角线元素外，其他元素收敛于零。3、下面不属于QR分解法求特征值的特点的是（ B ）A.对任何方阵均可以进行QR分解；B.可以求出任何方阵的特征值；C.无法求出对应的特征向量；D.Q是正交矩阵，R是上三角矩阵分析：QR分解法要求方阵A的特征值满足非零、实数、无重根的条件，则QR分解法收敛于上三角矩阵，其中对角线元素为该方阵的所有特征值。第5章 插值方法1、利用100、121和144的平方根，使用抛物线插值求根号115。答：x100121144y101112令x=115，代入上式，约为10.72。分析：拉格朗日插值基函数的写法是重点。2、判断：牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 对3、已知f(-1)2，f(0)4，f(1)=10，f(2)26则二次Newton插值多项式中x2的系数为?三次Newton插值多项式为？答：差商计算表如下xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商-12042110622261651所以二次Newton插值多项式中x2的系数为2；三次Newton插值多项式即是在二次Newton插值多项式基础上增加一项：分析：本题如果仅仅是求二次Newton插值多项式中x2的系数，可以通过列线性方程组的形式来求系数更加简便。4、给定3个插值节点的Hermite插值多项式不超过（ B ）次A. 2 B. 5 C. 7 D. 95、判断：插值方法中，给定插值节点，则无论用何种方法得到的插值多项式均是相同的。 对6、判断：插值方法中，给定插值节点数目越多，则插值多项式方程越逼近原方程。 错第5章 曲线拟合的最小二乘法1、如何找到合适的数据拟合公式？答:两种方法:由专门知识和经验公式确定;根据数据点画图分析其形状和特点来确定数据拟合公式。2、以下不属于可线性化函数的是（D）A. 指数函数 B.幂函数 C.y=1/(a+b*exp(x) D.抛物线函数分析：指数函数,可改写为，令，可线性化；幂函数，可改写为，令；可线性化3、对一物体称重，有测量值x1,x2,x3,.,xn，可以用平均值公式x=(x1+x2+.+xn)/n作为该物体的重量。用最小二乘法说明该公式成立的理由。答：该物体的重量，依经验应是不变的，即拟合公式为y=a。数据点如下表所示：x123.nyx1x2x3.xn则根据最小二乘法原理推导出的正则方程组为,其中m=n; ,代入，则得，即第7章 数值积分1、牛顿-柯特斯求积公式的系数的规律有哪些？答：有3点,a)柯特斯系数之和为1,即;b) 柯特斯系数具有对称性,即;