工程数学课数学实验.doc

羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈蚂蚈螅芀蒅薄螄莃蚀袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂芇蒁薀袁葿芄罿袀腿蕿袅衿芁莂螁袈莄薈蚇袈肃莀薃羇膆薆袁羆芈荿螇羅莀薄螃羄膀莇虿羃节蚃薅羂莄蒅袄羂肄蚁螀羁膆蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃蒀螃肆莅莃虿肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈蚂蚈螅芀蒅薄螄莃蚀袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂芇蒁薀袁葿芄罿袀腿蕿袅衿芁莂螁袈莄薈蚇袈肃莀薃羇膆薆袁羆芈荿螇羅莀薄螃羄膀莇虿羃节蚃薅羂莄蒅袄羂肄蚁螀羁膆蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃蒀螃肆莅莃虿肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈蚂蚈螅芀蒅薄螄莃蚀袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂芇蒁薀袁葿芄罿袀腿蕿袅衿芁莂螁袈莄薈蚇袈肃莀薃羇膆薆袁羆芈荿螇羅莀薄螃羄膀莇虿羃节蚃薅羂莄蒅袄羂肄蚁螀羁膆蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃蒀螃肆莅莃虿肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈蚂蚈螅芀蒅薄螄莃蚀袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂芇蒁薀袁葿 工程数学课数学实验一、 课程性质和任务数学实验是数学理论和方法与现代计算机技术结合的课程。本课程综合运用工程数学知识，结合计算机操作，使学生更深入理解数学的基本概念和基本方法；培养学生使用数学软件，建立数学模型解决实际问题的意识与能力，并且进一步激发大学生学习数学和运用数学的兴趣。二、 教学内容和要求通过本课程的学习和实践，熟练掌握数学软件的常用命令和函数的使用，会进行简单的程序设计以解决数学问题或实际问题。写出规范的数学实验报告。上机实验前要进行预习，了解实验课题内容与要求，实验结束后上交实验报告。软件操作实验熟悉数学软件Mathematica环境，使用数学软件解决常规数学问题微积分数学实验。（1） 符号矩阵的相关计算；（2） 求解线性方程；（3） 熟练统计工具箱中的各个分布以及函数命令；（4） 假设检验；（5） 参数估计；三、 教材和参考资料1、 教材：（1）数学实验，萧树铁主编，北京：高教出版社，2002年（2）数学软件MATLAB & Mathematic 使用入门（讲义），电子科技大学应用数学学院编写。2、参考书：1Mathematica 符号计算系统实用教程，张韵华编著，合肥：中国科学技术大学出版社，1998。2掌握和精通Matlab5.3，张志勇等编，北京：北京航空航天大学出版社，2000年。3MATLAB6.x符号运算及其应用，刘宏友、彭锋等编著，北京：机械工业出版社，2003年。MATLAB工具简介：MATLAB原意为矩阵实验室（MATrix LABoratory），1967年由Clere Maler用FORTRAN语言编写而成，后来MATLAB改用C语言编写。自1984年由MathWorks公司正式把MATLAB推向市场以来，MATLAB就因其强大的数值运算和图形处理功能引起了科学计算和工程领域的广泛关注。现在，MATLAB已经成为高等院校、科研院所以及广大工程技术人员首选的编程语言。MATLAB作为一个多学科、多操作平台的优秀科技软件，它自身也在不断地发展和进步，我院实验室现使用的MATLAB 6.x版本较以前的MATLAB版本其处理运算的功能更加强大，各工具箱也日趋完善，欢迎各系同学前来学习。MATLAB中最常见的运算符：运算符功能+加法-减法*矩阵乘法.*数组乘法矩阵乘方.数组乘方/左除右除.数组左除./数组右除kronKronecker张量积:冒号运算符共轭转置符.一般转置符=赋值号()小括号，用于决定计算顺序，或数组访问中括号，用于生成数组和矩阵大括号，用于生成单元数组.小数点或访问结构的域创建函数句柄符号矩阵的有关操作命令：1、 diag命令（求矩阵的对角线）功能：求矩阵的对角线。调用格式：l diag(v,k)：当v是由n个元素组成的矢量时，该命令的返回值是阶数为n+abs(k)的方阵，其中第k条对角线由矢量v的元素组成，其余元素由0组成。当k=0时，v为主对角线；当k0时，v位于主对角线之上；当k0时，v位于主对角线之下。l diag(v)：与diag(v,0)完全相同，把矢量v置于主对角线上。l diag（A，k）：其中A为矩阵。该命令返回值是由矩阵A的第k条对角线的元素所组成的列矢量。l diag（A）：相当于diag（A，0），得到由矩阵的主对角线元素所组成的列矢量。应用举例：（1） 已知矢量v=a b c,矩阵，执行以下命令：syms a b c %变量说明v=a b c; %v是由a b c组成的行矢量（长度为3）a1=diag(v,1) %得到一个3+1=4阶的矩阵a1，其中主对角线之上的第1%对角线由v的元素组成a2=diag(v,0) %得到一个3+0=3阶的矩阵a2，其主对角线由矢量v组成a3=diag(v) %与diag(v,0)的功能完全相同x=1 a 2b 3 45 c 6; %x为一符号矩阵b1=diag(x,1) %b1是一个列矢量，其元素由矩阵x的第一对角线组成b2=diag(x,0) %b2是一个列矢量，其元素由矩阵x的主角线组成b3=diag(x,-1) %b3是一个列矢量，其元素由位于矩阵x的主角线下的第%一组成以上命令的执行结果为：a1=a2=a3=b1=b2=b3=由显示的结果可知，a1a3均是符号阵，b1b3均是符号矢量。（2） 利用diag命令可以构造大矩阵，例如执行命令：m=5；diag(-m:m)+diag(ones(2*m,1),1)+diag(ones(2*m,1),-1)显示结果为：ans=-5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 -3 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 2 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 3 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1 4 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 52、 inv命令（矩阵求逆）功能：矩阵求逆调用格式：l inv(A)：返回矩阵A的逆。应用举例：已知矩阵A=，执行以下程序：syms a b c dA=a 1 2b a 34 d c;a1=inv(A) %求矩阵A的逆pretty(a1) %将矩阵a1由机器格式转化为手写格式则显示结果为：a1=(a*c-3*d)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a), (-c+2*d)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a), -(-3+2*a)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a)-(b*c-12)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a), (a*c-8)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a), -(3*a-2*b)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a)-(-b*d+4*a)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a), -(a*d-4)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a), (a*2-b)/(a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a)ac-3d -c+2d -3+2a- - - - - - - - - %1 %1 %1 bc-12 ac-8 3a-2b- - - - - - - - - %1 %1 %1 -bd+4a ad-4 a-b - - - - - - - - - %1 %1 %1 %1:=a2c-3ad-bc+2bd+12-8a显然手写格式看起来要舒服些。3、 det命令（求矩阵的行列式）功能：求矩阵的行列式。调用格式：l det(A)：返回矩阵A的行列式。应用举例：已知矩阵A=，执行以下程序：syms a b c dA=a 1 2b a 34 d c;a1=det(A) %求矩阵A的行列式pretty(a1) %将表达式a1由机器格式转化为手写格式则显示结果为：a1=a2*c-3*a*d-b*c+2*b*d+12-8*a a2c-3ad-bc+2bd+12-8a可见手写式较为直观。4、 rank命令（求矩阵的秩）功能：求矩阵的秩。调用格式：l rank(A,tol)：返回矩阵A的奇异值中大于误差tol的奇异值个数。l rank(A)：同上，默认精度tol=max(size(A)*norm(A)*eps。应用举例：已知矩阵A=，执行以下程序：syms a b c dA=a 1 2 bb a 3 c4 d c d;a=rank(A) %求矩阵A的秩则显示结果为：a=35、 eig命令（求矩阵的特征值和特征矢量）功能：求矩阵的特征值和特征矢量。调用格式：l E=eig(X)：返回由方阵X的特征值组成的矢量。l ：返回方阵X的特征值矩阵D和特征矢量矩阵V，其中X、V、D之间满足XV=VD；特征值矩阵D是以X的特征值为对角线的元素生成的对角阵；矩阵X的第k个特征值对应的特征矢量是矩阵D的第k列列矢量，只有这样才有XV=VD。应用举例：已知矩阵X=，试求X的特征矢量、特征值矩阵以及特征矢量阵。可以执行以下命令：syms a b c dX=a b; c d;E1=eig(X) %E1是由矩阵X的特征值所组成的矢量 %V1是矩阵X的特征值矩阵，D1是矩阵X的特征矢量矩阵则得到的执行结果为：E1=1/2*a+1/2*d+1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)1/2*a-1/2*d+1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)V1=-(-1/2*a+1/2*d-1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)/c, -(-1/2*a+1/2*d+1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)/c - 1, 1D1=1/2*a+1/2*d+1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2), 0 0, 1/2*a+1/2*d-1/2*(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)6、 poly命令（求矩阵的特征多项式）功能：返回矩阵的特征多项式。调用格式：l P=poly(X)：若X为nn的矩阵，则该命令返回X的特征多项式P。P为包含n+1个元素的矢量，是特征多项式的系数。应用举例：已知矩阵X=，试求X的特征多项式。可以执行以下命令：syms a b c dX=a b; c d;P=poly(X) %返回矩阵X的特征多项式以上命令的执行结果为：P=x2-x*d-a*x+a*d-b*c7、 线性代数方程（组）的求解在MATLAB中solve命令可解所有的代数方程组。作为特例，当所给的方程组为线性方程组时，利用MATLAB提供的linsolve命令求解要方便得多。也就是说，linsolve命令可以求解形如AX=B的线性方程组。但该命令对矩阵A有严格的限制：A必须是满秩的。Linsolve命令的调用格式：l X=linsolve(A,B)：求AX=B的解，返回X。应用举例：求解线性系统。可以执行以下命令：syms a b c d e f g h k m n pA=a b c;d e f;g h k;B=m;n;p;X=linsolve(A,B) %得到AX=B的解XPretty(X) %将X化为手写格式则得到的执行结果为：X=-（c*h*n-m*n*f+k*e*m-k*b*n+p*b*f-p*e*c）/(-g*b*f+g*e*c+a*h*f-e*a*k+b*d*k-d*h*c)-（a*k*n-a*p*f+g*c*n-k*d*m+g*m*f-p*d*c）/(-g*b*f+g*e*c+a*h*f-e*a*k+b*d*k-d*h*c)-（e*a*p-g*e*m+g*b*n-b*d*p+a*h*n-d*h*m）/(-g*b*f+g*e*c+a*h*f-e*a*k+b*d*k-d*h*c) -bnk+bfp+chn-cep+mek-mnf - - - - - - - - - - - - - %1 -ank+afp-dcp-fgm+ngc+dmk - - - - - - - - - - - - - %1 hdm-ahn+aep-egm-dbp+gbn - - - - - - - - - - - - - %1 %1:=-aek+ahf+dbk-hdc+egc-gbf显然手写格式的解要直观一些。数理统计常用命令：1、 dlmread命令（数据输入）功能：数据输入调用格式：l M=dlmread(s1, t):这里t代表分隔符Tab键，M是返回的矩阵。2、 hist命令（作频数表及直方图）功能：作频数表及直方图调用格式：l N，X=hist(data,k):数组（行、列均可）data的频数表。它将区间min(data),max(data)等分为k份（缺省时k设定为10），N返回k个小区间的频数，X返回k个小区间的中点。l hist(data,k)数组（行、列均可）data的直方图。K的意义同上。3、 返回统计量的命令（其中为容量为n的样本）l mean(x)：返回x的均值l median(x)：返回中位数l std(x)：返回x的标准差l var(x)：返回方差l range(x)：返回极差l skewness(x)：返回x的偏度l kurtosis(x)：返回峰度4、 MATLAB统计工具箱（Toolboxstats）中的概率分布分布命令的字符：norm 正态分布； chi2 分布； t t分布； f F分布函数命令：pdf 概率密度； cdf 概率分布； stat 均值与方差调用格式：当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量和参数就行了，如：l P=normpdf(x,mu,sigma)：均值mu、标准差sigma的正态分布在x的密度函数p=p(x)(mu=0,sigma=1时可缺省)l P=tcdf(x,n)：t分布（自由度n）在x的分布函数p=F(x)l m，v=fstat(n1,n2)：F分布（自由度n1,n2）的均值m和方差v。应用举例：用MATLAB绘制正态分布的密度函数。x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z),gtext(N(0,1),gtext(N(0,22)5、 参数估计的MATLAB实现MATLAB统计工具箱中，有专门计算总体均值、标准差的点估计和区间估计的函数。下面介绍我们最常用的正态总体的参数估计命令normfit.功能：参数估计调用格式：l mu sigma muci sigmaci=normfit(x,alpha): 其中x为样本，alpha为显著性水平(缺省时设定为0.05)，返回总体均值和标准差的点估计mu和sigma，及总体均值和标准差的区间估计muci和sigmaci。当x为矩阵时返回行向量。6、 均值假设检验的MATLAB实现总体方差已知时用z检验，命令为ztest功能：假设检验调用格式：l h,p,ci=ztest(x,mu,aigma,alpha,tail): 其中输入参数x是样本，mu是H0中的，sigma是总体标准差，alpha是显著性水平，tail是对备选假设H1的选择： H1为时用tail=0(可缺省)；H1为时用tail=1；H1为时用tail=-1.输出参数h=0表示接受H0，输出参数h=1表示拒绝H0，p表示在假设H0下样本均值出现的概率，p越小H0越值得怀疑，ci是的置信区间。总体方差未知时用t检验，命令为ttest功能：假设检验调用格式：l h,p,ci=ttest(x,mu, alpha,tail): 与上面的ztest相比，除了不需输入总体标准差外，其余全都一样。实验1 线性代数基本运算一. 实验目的1） 练MATLAB中矩阵的相关计算2） MATLAB软件掌握线性方程组的解法。3）通过实例练习用线性方程组求解实际问题。二预备知识1、矩阵求逆的命令：inv 2、求矩阵的行列式的命令：det3、求矩阵的秩的命令：ank2、 求线性方程组的解的命令：linsolve三实验内容和要求1、计算下列各行列式的值：（要求写出所用的Mathematic 命令，并检验与自己手算的结果对照）（1）； （2）；2、用MATHMATICA命令求下列矩阵的逆矩阵（要求写出所用的Mathmatica语句和计算所得结果） 3、 店销售A、B、C三种特殊灯泡，三个月来销售资料如下表：月份单位（个）总营业额（元）ABC一1030401900二2070503100三30100804700（要求建立简单的线性方程组模型并求解写出所用Mathematic命令）实验2 数理统计一. 实验目的1）掌握数据的统计描述和参数估计、假设检验的基本概念与原理，及用MATLAB实现的方法。2）练习用这些方法解决实际问题二预备知识1、MATLAB中的统计工具箱中常涉及的分布与函数命令2、参数估计3、假设检验三实验内容和要求1、某厂从一台机床生产的滚珠中随机抽取9个，测得直径（mm）如下：14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8设滚珠直径服从正态分布，试自行给出不同的显著性水平，对直径的均值和标准差作区间估计。（要求写出所用的Mathematic 命令）2、据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年1月和2月的数据如下：1月：119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 1