毕业论文--关于函数一致性的讨论.doc

本科毕业论文本科毕业论文 题目： 关于函数一致性的讨论 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学 2007 级 5 班 姓名： 董斐斐 指导教师： 李秀兰 职 称： 教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日 关于函数一致性的讨论 摘 要: : 一致连续与一致收敛是数学分析中的重要概念,它们各自都有一些重要的定 理及结论,本文首先通过对函数的一致连续及其相关定理的研究,还对函数列的一致 收敛及二元函数一致收敛的概念的研究,导出了函数列与二元函数之间的统一关系, 最后通过前文所述的一致连续与一致收敛的概念及其相关性质,得出函数列的一致连 续与一致收敛的关系,函数列的一致性与连续性,以及函数列的连续性与一致收敛性 的相关定理. 关键字: : 一致连续；一致收敛；一元函数；二元函数；函数列 目 录 1 一致连续及其相关问题1 1 1.1 函数的连续与一致连续的概念 1 1.2 一元函数一致连续的性质 1 1.3 一元函数一致连续的推广（二元函数的一致连续） 2 1.4 函数列一致连续性的概念 6 2 一致收敛及相关问题 6 6 2.1 函数列一致收敛的概念 6 2.2 二元函数一致收敛的概念 6 2.3 一致收敛的函数列的性质 7 2.4 一致收敛的二元函数的性质 8 2.5 一致收敛性的统一 9 3 一致连续与一致收敛的相关性9 9 3.1 一致连续和一致收敛的关系 9 3.2 函数列的一致性和连续性定理 .10 3.3 函数列的连续与一致收敛 .11 参考文献1212 1 一致性是一个很重要的概念,在数学分析以及其他学科中常常用到,而且函数的 一致连续性和一致收敛性又有着密切的关系. 1 一致连续及其相关问题 1.1 函数的连续与一致连续的概念 定义 1 函数在区间上有定义,称函数在区间上连续是指,对)(xfI)(xfI ,使得当且时,有, 0 Ix , 00Ix 0 xx.)()( 0 xfxf 定义 2 设函数在区间上定义,称函数在区间 上一致连续是指,对)(xfI)(xfI 使得对区间上的任意两点,且时有 , 0, 0I 21,x x 21 xx . )()( 21 xfxf 注 1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的不仅与有 关而且与有关,即对于不同的,一般说来是不同的,这表明只要函数在区间上 0 x 0 x 的每一点都连续,函数就在这一区间上连续。而一致连续的仅与有关,与无关, 0 x 即对于不同的,是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性性,不仅要求函数在 0 x 这一区间上的每一个点处连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的. 注 2 由连续与一致连续的概念,我们可知,在区间上一致连续性函数一定是连I 续的,反之则不成立. 注 3 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之 差可以任意小. 若把区间换成数集,也可定义函数一致连续性,如下,IE 定义 设函数在数集上有定义,称函数在数集上一致连续是指, 2 )(xfE)(xfE 对使得当且时,有., 0, 0Exx 21, 21 xx)()( 21 xfxf 1.2 一元函数一致连续的性质 定理 1(康托定理) 若函数在区间上连续,则它在这个区间上也一致连)(xf,ba 续. 注 4 上述定理对开区间不成立,例如在(0,1)的每一点都连续,但在该区间)(xf 2 不一致连续. 定理 2 函数在区间上一致连续的充要条件是在区间上满足)(xfII 的任意数列必有0)(lim nn n yx, nn yx .0)()(lim nn n yfxf 例如 函数在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致连续.事)(xf 实上,当0 时,由基本初等函数在其定义的区间上连续知,是连续的.同时,由x)(xf 于,因而它也是有界的,现考虑(0,1)上的两个数列则当1)(xf, 1 2 , 2 n y n x nn 时,不论取得多么小,只要充分大,总可以使10 0 0n , ) 1( 2 nn yx nn 但所以在(0,1)上并非一致连续.,1)()( 0 nn yfxf)(xf 定理 3 设函数在区间上连续,且存在,则函数在)(xf,a)(limxf x )(xf 上一致连续.,a 定理 4 设在有限区间上连续,则在上一致连续的充要条件是)(xf),(ba 存在且有限.)0(),0(bfaf 定理 5 函数在区间上有有界的导函数,则函数在区间上一致连续.)(xfI)(xfI 定理 6 函数在区间上一致连续的充要条件是,对及总存在)(xfI0,Iyx 正整数,使得当恒有.k,)()(yxkyfxf)()(yfxf 1.3 一元函数一致连续的推广（二元函数的一致连续） 定理 函数在有界闭区域连续,则在上一致连续. 1 )(PfDD 证明 用反证法.设在上连续而不一致连续,对任意小的)(PfD0 0 ), 2 , 1(0 1 n n n 总有相应的, 1 ),(:, n QPDQP nnnn 使得 ； 0 )()( nn QfPf 3 又为有界闭区域,由致密性定理,存在收敛子列D 设, nn PP k DPP k n k 0 lim 再在中取出与下标相同的子列,因 n Q k n P k n Q )( , 0 1 ),(0k n QP k nn kk 故 又在连续,有,limlim 0 PPQ kk n k n k )(Pf 0 P , 0)()()()(lim 00 PfPfQfPf kk nn k 这与矛盾,故在上一致连续.0)()( 0 nn QfPf)(PfD 定理 函数在区域上一致连续的充要条件是对 2 )(PfD 恒有, 0),(lim:, nn n nn QPDQP . 0 )()(lim nn n QfPf 证明 充分性 用反证法.若不然,在上不一致连续,则对任意小)(PfD, 0 0 的 都相应的,),3 , 2 , 1(0 1 n n n n QPDQP nnnn 1 ),(:, 使得 , 0 )()( nn QfPf 而这与题设矛盾.0)()(lim nn n QfPf 必要性 在上一致连续,即对当且)(PfD, 0, 0DPP 21, 时,恒有),( 21 PP.)()( 21 PfPf 任取则对上述当时, 0),(lim:, nN n nn QPDQP, 0NNn 恒有从而有.即,),( nn QP)()( nn QfPf . 0 )()(lim nn n QfPf 4 定理 函数在上连续且存在,则在 3 ),(yxf 2 R),(limyxf r , 22 yxr),(yxf 上一致连续. 2 R 证明 存在,由柯西准则对满足的点),(limyxf r , 0, 0GGyxr iii 22 ),2 , 1)(,(iyxP iii 总有又在有界闭区域上连续,)()( 21 PfPf),(yxf1| ),(GryxD 从而一致连续,故对上述当时恒有: , 0, 0 1 12121 ),(:,PPDPP )()( 21 PfPf 取当时,1 ,min 2 211 RPP),( 21 PP 或同属于或同满足 21,P PD),2 , 1( iGri 从而总有.故在上一致连续.)()( 21 PfPf),(yxf 2 R 注 5 该定理的逆命题未必成立.即在上一致连续,也未必存),(yxf 2 R),(limyxf r 在. 例如, 在上一致连续,但不存在.yxyxf),( 2 R),(limyxf r 定理 函数在有界开区域上一致连续的充要条件是在上连续且 4 )(PfD)(PfD 存在.（这里,记为的边界,为的闭包.）)(lim, 0 0 PfDP PP DDDD 证明 充分性 作辅助函数： , )(lim )( )( DPQf DPPf Pg PQ 则在有界闭域连续,从而在一致连续.而在内=,故在)(PgDDD)(Pg)(Pf)(Pf 上一致连续.D 必要性 在有界开区域上一致连续,即)(PfD, 0, 0 对,恒有),(:, 2121 PPDPP .)()( 21 PfPf 5 于是对当时, 0 DP 2 ),(, 2 ),( 0201 PPPP 有从而有,由柯西准则存在.,),( 21 PP)()( 21 PfPf)(lim 0 Pf PP 定理 函数在凸区域内有有界偏导函数,则在一致连续. 5 ),(yxfD),(yxfD 证明 设取,),(Myxfx 0),0(),( MMyxfy, 2M 对P 2121 ,: )2 , 1(),(yyxxiDyx ii (1)若、之一属于,比如则),( 21 yx),( 12 yxDDyx),( 21 MxxyyM yxfyxfyxfyxf yxfyxf 2)( ),(),(),(),( ),(),( 1212 22212111 2211 (2) 若、都不属于就将与的连线等分,记分点依次为),( 21 yx),( 12 yxD 1 P 2 Pk (其中)并记因为为凸区 k QQQQ, 210 , 10 PQ 2 PQk), 2 , 1)(,( 1 kiyxQ ii D 域,故这些分点都属于,且当足够大时能使点也属于.于是Dk), 2 , 1)(,( 1 kiyx ii D M yyxx k M yyxxM yxfyxfyxfyxf yxfyxf yxfyxf k i k i iiii k i iiii i iii k i iiii 2 )( )( ),(),(),(),( ),(),( ),(),( 1212 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2211 综上所述,取,0 2121 ,: )2 , 1(),(, 2 yyxxiDyxP M iii 对 总有 由一致连续定义,在上一致连续),(),( 2211 yxfyxf),(yxfD 定理 函数在区域满足：都有 6 ),(yxfD)2 , 1(),(iDyx ii ,),(),(),( 212122112211 为正常数kkyykxxkyxfyxf 6 则在上一致连续.),(yxfD 证明 ,: )2 , 1(),(, 0, 0 2121 21 yyxxiDyx kk ii 对取 有 ),(),( 2211 yxfyxf 212211 yykxxk )( 21 kk 由一致连续定义知在上一致连续.),(yxfD 1.4 函数列一致连续性的概念 对于函数列的一致连续性要比函数的一致性复杂,其定义如下：)(xfn)(xf 定义 3 设函数列在数集上有定义,若对任意给定的总使)(xfnE, 0, 0 得当,且时,对一切的,都有,则称函数Exx 2, 1 21 xxNn)()( 21 xfxf nn 列在数集上一致连续.)(xfnE 对于函数列的非一致连续可叙述为：设函数列在数集上有定义,若存)(xfnE 在某正数对于任意的,总存在,且时,存在正整数, 0 0 0 21,x xE 21 xx ,使得,则称函数列在数集上非一致连续.Nn)()( 21 xfxf nn )(xfnE 2 一致收敛及相关问题 2.1 函数列一致收敛的概念 定义 4 设函数列与函数均在数集上有定义,若对任意总存)(xfn)(xfE0 在某正整数,使得当时,对一切都有则称函数列NNn ,Ex,)()(xfxfn 在上一致收敛于.)(xfnE)(xf 2.2 二元函数一致收敛的概念 定义 5 设二元函数定义在上,若存在函数使得),(yxf), aX,),(Xxx 当时,对于任意都有 0, 0MMy ,Xx,)(),(xyxf 则称二元函数当时,在上一致收敛于,记作),(yxfyXx)(x .),(),( yxyxf Xx 7 定义 设函数在区域上有定义,点集在 5 ),(yxfG),(),(lim, 0 0 yxyxfGD yy 上一致,当且仅当,对,对只要则D0, 0,),(,),( * 0 DyxGyx, 0 yy 有 特殊地,若为曲线 1：则在曲线 1 上一致收敛,即是D,),(bxaXyy 在上一致.)(),(lim )( xyxf xyy ,ba 更特殊地,若为线段 1:,则在上一致,即D, , 0 bxayy)(),(lim 0 xyxf yy ,ba 通常所谓对参量在上一致收敛.x,ba 定义 在上一致,当且仅当,对对, 5 ),(lim 00 , 00 yx yxyx G, 0, 0),(yx 只要则有Gyx),( 00 , 00 yyxx.),(),( 00 yxyxf 2.3 一致收敛的函数列的性质 定理 7(连续性) 若函数列在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其极)(xfnI 限函数在上也连续.)(xfI 证明 设为上任一点.由于,于是由所学定理知亦存在,且 0 xI)(lim 0 xf xx ,)()(lim)(lim 00 0 xfxfxf n nxx 因此在上连续,由于的任意性可知在上连续.)(xf 0 x 0 x)(xfI 定理 8(可积性) 若函数列在上一致连续,且每一项都连续,则)(xfn,ba .dxxfdxxf b a n n n b a n )(lim)(lim 证明 设为函数列在上的极限函数.由定理 7,在上连)(xf)(xfn,ba)(xf,ba 续,从而与在上都可积.), 2 , 1)(nxfn)(xf,ba 因为在上一致收敛于,故对任给正数,存在,当时,对,ba)(xfn)(xfNNn 一切,都有.再根据定积分的性质,当时有,bax)()(xfxfnNn .),(),( 0 yxyxf 8 b a n b a b a n dxxfxfxfxf)()()()( b a n dxxfxf)()( )(ab 这就证明了等式.dxxfdxxf b a n n n b a n )(lim)(lim 这个定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算的顺序可以交换. 定理 9(可微性) 设为定义在上的函数列,若为的收)(xfn,ba, 0 bax )(xfn 敛点,函数列的每一项在上有连续的导数,且在上一致收敛,则)(xfn,ba)( xfn .)(lim)(lim(xf dx d xf dx d n n n n 2.4 一致收敛的二元函数的性质 定理 10（连续性）设函数关于在上连续,且时, ),(yxfxX),ayy 在 X 上一致收敛于则在上连续.),(yxf),(x)(xX 定理 11（可积性）设函数关于在上连续, 且时, ),(yxfxX),ayy 在上一致收敛于则在任一含于的闭区间上可积,且),(yxfX),(x)(xX 有,Xdc .),(lim)(dxyxfdxx d c y d c 该定理指出：在一致收敛的条件下,中两个独立变量与在分别求积分),(yxfxy 和极限时,其运算顺序可以交换. 定理 12（可微性）设函数定义在上,若当时为),(yxf), aXyXx 0 的收敛点,关于 x 在 X 上有连续的偏导数,当时在 X 上),(yxf),(yxfy),(yxfx 一致收敛,则当时的极限函数有连续的导函数,且),(yxfy ).,(lim),(lim(yxf x yxf dx d yy 该定理指出：在一致收敛的条件下,中两个独立变量与在分别求导数和极限时, 9 其运算顺序可以交换. 2.5 一致收敛性的统一 准则 设二元函数定义在上,使成立的充要),(yxf), aX)(),(xyxf 条件是对任何序列 ,每一个函数序列在上一致收敛 nn yy ,),()( nn yxfxfX 到).(x 对于函数列,利用上述准则即可将连续型的问题与离散型的问题相互转)(xfn 化,从而将定义 5 用到离散型的二元函数上就是函数列的一致收敛性)(),(xfnxf n 的定义. 设二元函数定义在,若存在函数,), 2 , 1(),(),(nxfnxf n ), aX)(x ，使得当时,对于任意都有Ex, 0, 0NNn ,Xx,)()(xxfn 则称当时在上一致收敛到.), 2 , 1)(nxfnnXx)(x 3 一致连续与一致收敛的相关性 3.1 一致连续和一致收敛的关系 前文已经有了函数与函数列的一致连续以及一致收敛的定义,我们可以得出 命题 1 若函数列在数集上一致收敛于,且在上)(xfnE)(xf)( ,xfNn n E 一致连续,则极限函数在上一致连续.)(xfE 这个命题给出了函数列与极限函数的一致连续、一致收敛之间的关系.证明如下 证明 因为函数列在上一致收敛于,所以对,存在正整数,)(xfnE)(xf0N 使得当,对一切,有,对有Nn Ex 3 )()( xfxfnExx 21, 和. 3 )()( 11 xfxfn 3 )()( 22 xfxfn 取定,我们考察在上也是一致连续的,对上述,Nn )(xfnE0, 0 使得当,且时,对一切有.Exx 21, 21 xxNn 3 )()( 21 xfxf nn 于是只要时,当,有Exx 21, 21 xx 10 )( 21 xfxf )()()()()()( 222111 xfxfxfxfxfxf nnnn 333 成立,故在上一致连续.)(xfE 例如 函数列在上一致收敛于,对任意自然数与均)1 (xxn 1 , 00)1 (, 2 xxn0 在上连续. 1 , 0 命题 2 若函数列在数集上一致连续,则极限函数在)(xfnE),(limxffn n )(xf 上一致连续. 这个命题给出了函数列一致连续的一个判别方法.若函数列在数)(xfn)(xfn 集上逐点收敛于,而函数在上不一致连续,则函数列在数集E)(xf)(xfE)(xfn 上是非一致连续的.例如函数列在就是如此.E n x 1 , 0 3.2 函数列的一致性和连续性定理 命题 3 若函数列在区间上一致收敛于,且每一项都在上连续,则)(xfnI)(xfI 极限函数在区间上连续.)(xfI 注 6 若各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数不连续.则此函数列)(xf 在区间上不一致收敛.例如：的各项在都连续,但极限函数 n x 1 , 1 , 11 110 )( x x xf 在时不连续,从而推得在不一致连续.1x n x 1 , 1 注 7 若函数列在区间上收敛于,且连续,则存在正整数,当)(xfnI)(xf)(xfN 时,函数列皆连续?这是不成立的.因为处处不连续,但Nn )(xfn)( 1 )(xD n xfn 处处连续,且有知函数列为一致收敛.)(0)(limxfxfn n n xfn 1 |0)(| 上述命题 3 将条件适当的改变可以得到新的命题,在区间上成立的同时在数集上 11 也成立.因此有如下命题 命题 4 若函数列在数集上一致收敛于,且每一项都在数集上连)(xfnE)(xfE 续,则极限函数在数集上连续.)(xfE 当然,我们也可以把函数列在上一致收敛于的条件适当的减弱,又)(xfnE)(xf 得到下面的命题 命题 5 若函数列在数集上内闭一致收敛于,且每一项都在数集)(xfnE)(xf 上连续,则极限函数在数集上连续.E)(xfE 3.3 函数列的连续与一致收敛 Dini 定理 设函数列在区间上收敛于连续函数,对都)(xfn,ba)(xf,bax 有或成立,且每个在上连续,则函数列)()( 1 xfxf nn )()( 1 xfxf nn )(xfn,ba 在区间上一致收敛.)(xfn,ba 如果将上述定理定义在数集上又可以得到下面的命题 命题 6 设函数列在数集上收敛于连续函数,存在自然数,当)(xfnE)(xfN 都有或成立,且每个在数集上续,ExNn,)()( 1 xfxf nn )()( 1 xfxf nn )(xfnE 则函数列在数集上内闭一致收敛于.)(xfnE)(xf 12 参考文献参考文献： 1 沈 昌，邵品琮 .数学分析纵横谈M.北京：北京大学出版社，1991:157-189. 2 陈继修，於崇华，金路.数学分析M.北京：高等教育出版社，1999:359-371. 3 杨翠.二元极限函数的一致收敛性J.曲阜师范学报，2006:1004-4329. 4 翟明清.二元函数的一致连续性J.滁州学院学报，2004：98-99. 5 彭厚福.一致连续与一致收敛J.荆州师专学报，1993:15-22. 6 郑德印.一致连续与一致收敛的概念的统一J.南都学坛，1993：98-99. 7 余桂东.一致连续性的条件J.安庆师范学院学报，2002：第 10 卷第 4 期. 8 马雪亚.关于函数列的一致连续性的研究J.昌吉学院学报，2006：93-95. 9 李锋杰，刘丙辰，李发宝，高存臣.关于函数的一致连续问题J.烟台师范学院学报， 2001：305-309. 10 Anthony R.Lovaglia & Gerald C.Preston,Foundations of Algebra and Analysis,10,New Youk,(1966). 11 Herbert B.Enderton,Elements of Set Theory,3,New York,(1977). 13 The Discus