浙教版数学八年级下1.3二次根式的运算教案.doc

1. 3二次根式的运算（第一课时）教学目标：1、了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.2、会进行简单的二次根式的乘除运算.重点难点：重点：二次根式的乘除运算法则。难点：例1（3），例2计算过程中涉及多种运算和运算法则，是本节的难点。教学设想：首先复习二次根式的性质，并利用性质的复习引入应用，在应用中让学生自己发现其中的问题，然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法，提升学生的学习能力，确保课堂的效率。教学过程：一、引入新课1、复习回顾：二次根式有哪些性质？；。；=(a0，b0)先结合书本的要求，开门见山地提出公式，帮助学生尽快建立本课的学习思路应用公式进行二次根式的计算，将学生的思路从课外拉到课堂上。2、你能计算：（1）；（2）吗？。对于本类问题，学生可能会先分别化简或用计算器进行解答，再进行积和商是运算。因此教学时先让学生独立计算，教师进行观察约1.5分钟，主要目的是看学生起先的解题直觉：先化简还是先应用公式，检查学生的预习效率。若学生有先化简的情况，结合此类学生的比例，适当地进行选择他们的方法并板书。然后提问：有否更为简便的方法？再应用解答简便的学生的方法进行类比学习，让学生在自己的比较中学习到两种不同的解题方法，并初步有灵活应用的意识。视学生对引题的处理，作出强调或完整处理以便对下面的题目起到示范作用。3、结合法则用于二次根式的乘除运算。你会计算吗？试一试? 第一组：；第二组： 处理：让学生独立完成，然后师生共同评价并更正错误，要求尽量能选择应用合理的方法进行解答。二、例题分析：例1、计算：（1） ；（2）；（3）做一做：（1）；（2）；（3）因为有上面的铺垫，对于这样的问题，需要学生的解答能尽量选正确的方法，快速准确。乘除法运算的一般步骤是怎样的？（1）运用法则，化归为根号内的运算；（2）完成根号内的相乘、除（约分）运算；（3）化简二次根式。说明：（3）还有没有其它的计算方法呢？由此可见，有时数学解题方法多样.做一做：（1）；（2）例1是为了及时巩固二次根式的运算法则，虽然比较简单，但对于以后的一些问题的解决，还是一个非常重要的基础，而且对于学生来说，注意其中隐含的解题思路与学习方法才是最重要的。所以，在教学中需要注意：（1）总结解决此类问题的一般步骤：应用性质，化归为根号内的实数运算；完成根号内的乘除运算（一般要化得简单）；化简二次根式。（2）及时总结出如“”的两种计算思路，及和等的解题思路。例2：一个正三角形路标如图。若它的边长为个单位，求这个路标的面积。提示：1、根据题意要计算这个正三角形的面积，还要什么数据？这样，帮助学生形成整体的解题思路，确定解决本题的关键是先求出正三角形的高。2、作辅助线高线AD，由图形你说说如何求高AD的长？（说出其中的根据是勾股定理以及为什么能用勾股定理？）3、有无更好的方法？如应用正三角形的面积计算公式。边长为的正三角形的面积为：。对于面积的公式，在以前的教学中曾提出过，但由于当时没有良好的记忆，一般学生早已忘记，因此在此处重申，一方面可以帮助学生提高对数学知识学习的意识，另一方面也可以促进学生掌握面积公式，为以后的学习打基础。4、解题作提示外，在计算高AD时提醒学生注意运算顺序是怎样的？其中在学生的解答过程中注意强调的计算过程与方法。而依据是“积的乘方”，学生会遗忘。5、在求出正ABC的面积后，也需要强调计算结果能化简的，应予以化简。而本题中没有精确度的要求，结果可以用二次根式表示。做一做。巩固知识三、课堂小结谈谈你今天的收获，教师帮助学生归纳总结。四、布置作业注意：对于分母有理化的问题，如“、和”等，教材中有要求，需要学生掌握，而对于“”等问题，由于要运用平方差公式，对学生来说，有一定的难度，但新课标中并没有这样的要求，可以不补充，在遇到的时候，可以要求学生按预定的精确度求出其近似值即可。1. 3二次根式的运算（第二课时）教学目标：1、会进行二次根式的四则混合运算2、会应用整式的运算法则进行二次根式的运算3、体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法重点难点：教学重点：二次根式的四则混合运算是重点；教学难点：例5计算思路的形成比较困难，是教学的难点。教学设想：本课在设计上体现了以下的特点：二次根式的加减和乘除混合运算，出现了类似单项式乘以多项式、多项式乘以多项式（包括乘法公式、乘方）、多项式除以单项式的运算。课本中没有出现“同类二次根式”的概念，只是提到“类似于合并同类项”“相同二次根式的项”，这种类比的方法，学生是能够理解的，也能够与整式一样进行运算。首先复习二次根式的性质，并利用性质的复习引入应用，在应用中让学生自己发现其中的问题，然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法，提升学生的学习能力，确保课堂的效率。教学程序设计：一、复习旧知，引出课题：1、二次根式有哪些性质2、已学过的整式的乘法公式和法则有哪些设计上述教学过程的目的是：复习公式，进一步梳理和巩固已生成的知识；通过纵览公式之间的区别与联系，一方面加强对公式的理解，另一方面使学生对本课所学知识的基础有一个感性的了解。3、怎样化简下列二次根式：化简：，。本题是让学生体验性质与公式的准确运用，为以下的问题解决打基础。4、计算：（1）3x+2x；（2）3x-2x。（3）；（4）。与合并同类项类似，我们可以把相同二次根式的项合并。说明：（3）是二次根式的加法运算；（4）二次根式的减法运算可见二次根式的加减类似于合并同类项，以前我们学过的整式运算的其它法则和方法也适用于二次根式的运算。二、探究新知，体验成功：铺垫（结合学生前一天的作业情况而设计）：小东在学习了和之后认为他们是一样的。因此他认为一个化简过程是正确的。你认为他的化简正确吗？说说你的理由。设计这一问题的目的是为二次根式有意义的隐含条件而设定。例3、先化简，再求近似值（精确到0.01）：审题：(1)题目要求先化简，再求出近似值（精确到0.01）（2）能化简吗？（3）能做吗？学生说教师板书（板书时让学生注意（）-（），化简，如何乘。）（4）若不要求先化简，只是计算求近似值，那么这个问题可以采取其它手段吗？（若用计算器，误差可能会偏大）领悟先化简再象合并同类项那样进行运算来计算这一题，在教学中要注意帮助学生尽力规范书写的意识，知道运算程序引导、帮助学生审题。教师对于学生的思考或在题后小结提问：本题共有哪几项组成？各包含了什么运算？各项都是二次根式吗？各项能否化简？在各二次根式化简之后，各项又有什么特点？如果把前面的乘数看作是它的系数，整个算式又能否继续化简？这可以与我们以前学过的什么计算类似？并帮助学生建立：对于二次根式的加减计算，可以在把每一个项都进行化简（化到最简）后，将被开方数相同的二次根式象合并同类项那样的合并起来。解：练习：课本14页课内练习第1题，在学生完成解题后出示答案。这样马上接着进行训练，要让学生快速领悟方法，会正迁移。例4、计算：本题的设计主要是让学生确定运算顺序及运算律的运用。因此对于学生中可能出现的问题，教师应预先作出判断，也可以利用问题给学生以提示：对于（1）先算什么后算什么，第（2）（3）又该怎样呢对于第一题先乘除后加减，在后合并第2题先去括号，再计算较方便第3题先把除法转化为乘法，后去括较方便，这样可以使学生对于具体的计算题会先设计计算程序，然后在思考计算，会正迁移，领悟方法与步骤。其中：二次根式的加减计算，其运算顺序通常与以前所学的实数及整式的运算顺序类似，需要在进行合理的变形后确定整体的计算思路，这样往往可以使计算变得简便。课堂练习：课本14页，课内练习2（学生完成后出示答案并纠正错误）例5：计算；教师问：对于（1）相当于哪一个乘法公式的形式；对于（2）相当于整式乘法中哪一种运算形式。师生共同得出解决本类问题的基本方法或思路：用平方差公式；多项式与多项式相乘。还有别的解法吗？让学生会用乘法公式和法则进行二次根式的计算，体验运算法则的互通，通过观察思考，形成悱、愤的学习状态。练习：分组交流，合作完成课本14页，课内练习3，4三、归纳小结，充实结构谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？由学生总结，教师适当提问补充：二次根式的四则混合运算中：能化简的先化简；当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便。这样，让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念。以下作为课内的补充练习，视时间情况选择性地教，若整体的教学时间比较紧张，则把以下的问题作为学生的课外练习。1、下列计算哪些正确，哪些不正确？并适当地说明理由：；。2、探究：比较的大小。本题设计的目的是为了让学生了解对实数的大小比较的方法，并利用题目中数据的特点进行学习思路的培养。通过学生的配合，教给学生利用平方法比较两个实数大小的方法与思路，在教学中主要作如下处理：（1）先让学生说说怎么比较。作差或作商都不行时怎么办？（2）这两个都是正数，能否发现上述两个问题中的特点。两个被开方数的和相等：6+14=7+13。（3）二次根式大小比较常采用的方法“平方法”进行介绍。教师板书；利用完全平方后对计算结果进行大小比较，并与学生一起得出“实数越大，其算术平方根也就越大”的解题依据。（4）拓展：若两个都是负数呢？其中的计算是减法？3、探究：。本题主要是先化简后求值的方式进行。其中（1）先化简再代入；（2）的值或的值或的值特殊，所以对代数式怎么处理可以用上这些中一个或几个特殊值，目的是使解题更方便。对于（2），由于和的值的特殊性，其实求出、的值，将代数式进行化简后代入比直接代入就往往会更为简单。因此通过本题可以培养学生合理思考该类化简问题的方法与意识。1. 3二次根式的运算（第三课时）1教学目标1、会运用二次根式解决简单的实际问题.2、进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.重点难点重点：二次根式及其运算的实际应用.难点：例6涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂，是本节教学的难点.教学设想：本课时是二次根式运算的应用。其主要知识体系为：例6的数字看上去比较复杂，其目的是为了二次根式的运算的应用，是对二次根式知识的综合运用。提出应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表现在两个方面：1、通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；2、通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。教学程序设计：一、引入新课：与学生一起复习在二次根式运算应注意的问题：教师把握：二次根式的四则混合运算中，要注意的是：第一方面与实数或代数式的运算的顺序进行类比：1、在实数范围内，乘法分配律，乘法法则及乘法公式仍然成立，在二次根式的混合运算中均可运用。2、在进行二次根式的加减乘除混合运算时，先运用乘法分配律(如果是除法，先转化为乘法)进行二次根式的乘法运算，再进行二次根式的加减运算。在进行二次根式的和与差的乘法运算时，可以直接运用完全平方公式进行计算，根据所给题目的特点，可灵活运用公式进行计算.3、在进行二次根式的混合运算时，先进行乘法运算，把所得的积化为最得二次根式后，再进行加减运算。第二方面具体对二次根式化简中的特点：能化简的先化简；当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便；结果能简化的要化简。（注意化简的要求）。二、知识应用：1、练习：一道斜坡的坡比为1：10，已知AC24m。求斜坡的长。设计在此处安排一个练习，一方面，解释概念（坡比可以参考教材中的注释，也可以直接给出坡比（坡度）=铅直高度：水平宽度），并出示答案（标准的解题过程与格式），让学生从简单的入手进行深入的学习；再者，先巩固已有知识，便于向新知识过度。2、解释应用情境：扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1：0.8，已知AE=2米，一男孩从扶梯底部A走到顶部B，他升高了多少米？（他经过了多少路程？）(斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比。)给出知识的应用情境，先让学生有充分的时间阅读并理解题意（主要是与坡比相关的竖直高度、水平宽度在图形中的表示）。他升高了多少米可以用什么来反映？（线段BE）再让学生看一遍题然后让学生独立去解题，并展示学生解题过程，并评价。在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算问题时，经常用到二次根式及其运算。例6、如图，扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1：0.8，滑梯CD的坡比为1：1.6，AE=2米，BC=CD。一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程?(结果精确到0.01米)本题与前面引例一起，构建了解决数学实际问题的一种思路：先有情境，然后将实际的图形抽象出几何图形，并应用几何图形进行解决问题。而对于那些不能很快建立思路的学生，教师在个别辅导时注意把握：（1）所求的路程是那些线段的和？（2）计算AB和引题一样求BC得先求出CD；CD能求吗?根据滑梯CD的坡比为1：1.6米，说明哪两条线段的比是已知的？（CF：FD=1：1.6）因为CF=2.5（米），就可以求出哪一条线段的长度？（FD）那么我们可以求CD了吗？而在讲解时则要注意：（1）让学生有充分的时间阅读问题，理解问题，分清已知哪些量，所求量是什么。（2）帮助学生根据图形，寻找所求的量和已知量之间的关系。或启发学生：（1）所求的路程是哪些线段的和？（2）AB，BC，CD这三条线段中，哪些线段的长度是已知的，哪些线段的长度是未知的？（3）题设中已知线段AB的破比为1：08，说明哪两条先点的比是已知的？根据AE=3/2米，你可以先求出哪一条线段的长度？（4）AB与AE，BE有怎样的关系？据此你能求出AB吗？是否可以类似地求出CD的长？（5）观察AB+BC+CD的算式中含有哪些运算，能化简吗？由学生来完成，教师评价。做一做：P17课内练习1三、课堂小结回顾二次根式的性质，二次根式的运算法则（由学生总结，教师适当提问补充。）1、二次根式的运算结果能简化的要简化2、体验体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值3、实际问题要注意分析引导学生从下面的思路总结（应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表现）：1、通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；2、通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。四、布置作业：作业本1. 3二次根式的运算（第三课时）2教学目标1、会运用二次根式解决简单的实际问题.2、进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.重点难点重点：二次根式及其运算的实际应用.难点：例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂，是本节教学的难点.教学设想：本课时是二次根式运算的应用（原教材中1.3第三课时的下半部分）。因为例7有一定的难度，因此为了帮助学生的学习，这里将例7单独列为1课时进行教学。例7综合运用了直角三角形的有关知识、图形的分割、面积的计算等，其解答过程较长，也是对二次根式知识的综合运用。在这里，对李7进行教学后进行适当的拓展，提高学生的综合解题能力。教学程序设计：一、引入新课例7、如图是一张等腰三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度。（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm。在讲解本题之前，结合学生的理解水平和一般的思考问题的思路，我先和部分学生（兴趣小组）一起准备了图形等腰直角三角形和；并将等腰直角三角形再变成画线图和裁减图若干份，并将部分图贴在纸板上，每个学习小组都有至少2份，让学生在观察与操作中理解题意，并帮助学生建立解题思路。在对学生进行解释时，教师注意把握：、3张长方形的长度也就是哪三条线段的长度？、已知的是什么？ABC是什么三角形？AC=BC=40cm，CD是斜边上的高且CD被分成四条相等的线段（四等分）。、CD是斜边上的高，又可以看作是什么？（斜边上的中线）、你能求出EF、GH、MN的长吗？（学生讨论，教师帮助引导）对于求出长方形纸条的长，可以有2种思路，其一是结合教材中的方法，利用CD，通过长方形纸条的上边EF、GH、MN来求；当然还可以利用长方形纸条的下边。即利用AB、MN、GH分别减去2个小等腰直角三角形的边（纸条的宽度）来计算。在教学时教师注意结合学生的思考作适当的点拨。、每条纸条的长度与所有纸条的总长度有什么关系？。纸条的宽度是多少？解法启发：针对第一小题：（1）这张纸条的长可以看做哪一个三角形的一条边长？这个三角形有什么特征？（2）三角形的斜边与等腰直角三角形ABC的斜边AB有什么关系？所以和ABC的AB边上的高CD有什么关系？CD也平分这个直角三角形的斜边？为什么？由此你求出这个直角三角形的斜边的长吗？（3）最上面的长方形纸条的以后，用类似的方法求出其他长方形纸条的长。针对第二小题分析如下：启发学生找出课本图1-6中每