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复变函数与积分变换期末练习一.解析函数例1 指出下列函数的解析区域，并求导数：（1） （2）例2 设在区域D内解析，且满足下列条件之一，试证在区域D内为常数. (1) 在区域D内解析; (2) 在区域D内为常数.例3 设的解析函数，且有：，求函数.例4 已知均为区域D内的调和函数，a,b为任意常数，试证：亦为区域D内的调和函数.例5 计算下列各值： (1) ; (2) ; (3) .例6 解下列方程： (1) 1+=0 (2) =0二. 复变函数的积分例7设在单连通域内解析，且满足（），试证：（1）在内处处有.（2）对内任一周线，有.例8 计算积分其中C为不经过0及1点的简单闭曲线.例9设在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线，它的内部全部含于D，试证：对于在D内但不在C上的任意一点，有： 例10设函数在 内解析，且 试计算积分 ， 并由此得出积分 的值.三. 解析函数的级数表示 例11 单项选择题：(1) 下列级数中，条件收敛的是（ ）.(A) (B) (C) (D) (2) 下列级数中，绝对收敛的是（ ）.(A) (B) (C) (D) (3) 若幂级数在z=1+2i处收敛，那末该级数在z=2处的敛散性为（ ）.(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛(C) 发散 (D) 不确定(4) 设在圆环域内的洛朗展式为，为内绕 的任意一条简单闭曲线，那么（ ）.（A） （B） （C） （D）例12 设级数收敛，而级数发散，证明幂级数的收敛半径为1.例13 设函数在圆域内解析，试证(1) (2) 例14 求幂级数的和函数，并计算的值.例15 将在点z=0,z=1展成洛朗级数.四. 留数及其应用例16 判断下列函数的孤立奇点的类型：(1) (2) (3) 例17（1）设z=a是函数的m阶零点，求：； （2）设z=a是函数的n阶极点，求：.例18 若m,n为自然数，且试求函数的留数.例19 求在有限奇点处的留数. 例20 设a为的孤立奇点，试证：若是奇
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