课题利用“折化直”求线段和差的最值.doc

金汇高中优秀课例集数学学科课题：利用“折化直”求线段和差的最值执教人：方利辉 教材分析：和老教材相比，二期课改新教材在选择例题、练习等方面是动了很多心思的，这就需要我们能认真揣摩把握编者的意图。在以往，例题、练习等主要强调的是巩固新知作用；现在除继续保有这一要求外，还更加突出了它承载数学知识方法的功能。因此，为了进一步挖掘新教材例、练习中的学习素材，有效整合这些看起来比较松散的内容材料，需要我们能在清晰的目标思路引导下，进行教学内容的优化组合设计，把松散的内容通过有机的铺陈、梳理后串成一条有序的知识链。学情分析：学生已有利用函数解析式特征，或通过把握函数性质在代数领域中求最值的经验基础；通过解析几何的学习，学生不仅掌握了直线、圆锥曲线的相关知识，而且对运用解析法、渗透数形结合思想求出曲线的方程或通过方程去研究曲线的性质等也有了一定的积累。教法学法：作为函数三要素值域中的最值问题是函数应用教学中的一个重要话题，一般解决思路是把要求最值的变量看成函数，列出函数解析式，利用相关函数的性质进行问题解决。为了破除思维认识的定势、拓展学生的学习视野、形成较完整的认知结构，新教材的例、练习中安排有一定的只能通过画图方式求最值问题，其主要构想是渗透数形结合思想，利用对称的知识转移线段的位置，在折线变为直线的时候再通过代数计算，达到求一些线段和差最值的目的，我们简称这种思路方法为“折化直”。教学过程中打算通过由浅入深的设计、并借助几何画板强大的动态演示功能，运用实验的手段让学生探究发现是如何通过对称转移线段的位置？理解为什么在折变直时就产生了最小值？在探索发现过程中培养学生的观察能力、想象能力和思辩能力，合理有效地依托多媒体信息技术平台再一次让学生体验数形结合思想在形成思路，建立联系等方面的指导作用。教学目标(1)知识与技能：理解通过对称转移直线位置，根据折化直获得线段和差的最值；(2)过程与方法：以直线、圆锥曲线为载体，启发学生探究规律，由浅入深地完成一系列折化直求最值问题，渗透对学生数形结合思想的培养(3)情感态度与价值观：破除传统认识、思维定势的束缚，体验信息技术对突破想象障碍的帮助支持。教学重点与难点 教学重点：掌握折化直求最值的方法；教学难点：如何利用对称转化线段位置，达到折化直的目的。教学用具 :几何画板教学过程教学内容教师活动学生活动设计意图问题1：求函数的最小值及达到最小时候的x值。引导学生分析思维计算碰壁的原因学生运用函数方法求最值不悱不发，代数中常见的求最值方法均无法联系应用。运用数形结合，通过构造，可以把函数看作是动点P（x 、0）分别到两定点A（2 、-3）、B（-3 、4）的距离的和。于是问题1转化为：在x轴上求一点P，使最小。实验观察1：打开几何画板文件（2）：当A、B两点分别在x轴的两侧时，拖动点P，观察点P位于x轴上的什么位置？达到最小。为什么？操作转化的两个关键是什么？发现点P位于线段AB与x轴的交点时满足题设要求。数形结合，使学生加深理解，初步形成折化直求最值问题2：已知点A（2 、3）、B（-3 、4），在x轴上求一点P，使最小，最小值是多少？ 步骤1：拖动点P进行观察；步骤2：点击对称按钮；步骤3：点击显示转化线段按钮。问题转化为“观察实验1”类似的2情形，当点P位于线段A1B与x轴的交点时满足题设要求。把其中的一个点关于x轴对称，不妨设A关于x轴的对称点为A1问题3、已知点A（2 、1），若点P、Q分别在x轴、直线y=x上，求PAQ的周长的最小值及此时点P、Q的坐标。步骤1：点击按钮运动点；步骤2：点击按钮对称；步骤3：点击按钮显示线段1；步骤4：点击按钮显示线段1；1、学生发现：把点A分别关于x轴、直线y=x对称得到点A1、A2，则PAQ的周长可转化为折线A1A2的长度，然后利用“折化直”可以求得三角形周长的最小值。通过观察发现PAQ的周长是否可以转化为两定点间的折线距离？观察点P、Q分别在x轴、直线y=x上的什么位置时折线距离可转化为两定点间的直线距离（即“折化直”求最值）？梳理解法思路：主要是通过相关点的对称，利用中垂线的性质，把折线段的和（或差）转化为在一条直线上的线段和（或差），进而达到解决问题的目的，我们把这一过程间称为“折化直”。对称；转化线段位置；折变直巩固新知，加深印象，为后续的拓展应用奠定基础二、变式思考学习问题4：点A（4 、2）是抛物线y2=8x内一点，求抛物线上点M到A点的距离与它到焦点的距离和的最小值及达到最小时点M的坐标。步骤1：拖动点M进行观察；步骤2：点击按钮显示线段准线；步骤3：点击按钮显示对象；步骤4：再次拖动点M进行观察学生发现：由于MF=MR，问题转化为求折线RMF长的最小值，通过拖动点M进行观察可发现：点M在适当位置时可利用“折化直”求最小值。通过一个以抛物线为载体的运用实践，在进一步体验折化直方法的同时拓展理解的空间。三、自主动手实践问题5：已知点A（-4 、5）、B（2 、1），在y轴上求一点M，使最大。打开几何画板文件（6）：当A、B两点分别在y轴的同一侧时，观察点M位于y轴上的什么位置？达到最大。学生发现：点M位于线段AB的延长线与y轴的交点时满足题设要求。让学生自己操作几何画板四、巩固拓展练习：2、已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，定点M（2 、1），求的最大值。1、M是抛物线y2=2x上的一点，P点的坐标为（3、），记d为点M到抛物线准线的距离，求d+达到最小时点M的坐标突出学生的主体地位，在自主体验中，巩固对折化直方法的掌握。课后反思：回顾我们求最值的经历，我们几乎都是把所遇问题放在代数背景下，建立相关要数间的关系式，然后尝试用函数的观点解决问题。今天所碰到的几个问题不仅几何特征，而且目前的代数方法根本不能解决，因此应摆脱函数方法的束缚，通过画出相关的直观图形，渗透数形结合的思想，在折变直的过程中求最值。在日常的探究学习中，所遇问题若有几个思路，建议一定要花时间都搞搞清楚，并能比较得出各思路的优劣，在全面认识的基础上，掌握最有效的解决办法。否则在考试中，一旦遇到类似的问题，就可能在几个思路面前踌躇不前，举棋不定，在犹豫不决中消耗掉宝贵的时间。如何顺利实现“折化直”求最值？在渗透“异不变、同化异”思考的同时，我们还主要采取了两个操作方法：一个是把相关点关于直线对称；另一个就是运用圆锥曲线的定义进行转化。课题：数列的极限 执教人：蒋云鹏教材分析：数列极限的概念是联系初等数学和高等数学的标志性桥梁，“无穷”“极限”等概念的初步建立是传统难点，在高中阶段，没有函数连续性、极小邻域、区间套等概念工具的支持，要准确而本质地揭示极限的概念，是非常困难的，因此这里采用描述性定义的方式介绍数列极限，但力求尽可能触及本质，不要求抽象为符号化程度。学情分析：学生历来对形象的东西感兴趣，对于我校学生理解力普遍水平的现状来说，本课教学是一个极大的挑战，这也是选择该课题磨课的主要目的所在。理解力弱，较多依赖感官是基本学情反映，为此要在“积极顺应”的同时，注重感官刺激所产生体验的本质成分，自然地进行理性引导。教学目标：1. 理解直观描述的数列极限的意义2. 能够根据数列的通项公式考察判断数列的极限3. 感受变化过程无限与变化结果有限的辨证关系,初步形成极限思想教学方法:1. 根据学生的经验背景和实际认知能力,从感受性强的实例观察分析,使学生感受到数列的变化过程无限,永远达不到一个恒定的值,而变化趋势有确切的限制,因此,尽可能选择适合学生的感性材料,即浅化教材.2. 根据学生的认知习惯特征,利用多种信息通道媒介,调动学生的各种感官,尤其是视觉,从而全面进入观察思考问题的情境3. 尽可能及时捕获学生认识上的错误、偏差，当堂予以合理解释，防止为了解题需要，而直接要求学生记住两个结论，然后模仿性训练的做法。只有强化学生主体感受，体验什么叫“无限地趋近”，才能深入地认识理解数列极限的含义，进而形成解决极限问题的技能教学重点：“无限”过程的表现演示和“收敛”的准确理解 教学难点：“接近、无限趋近”的区别及符号化表示教学用具：电脑、几何画板课件、数码投影仪。教学过程：教学内容教师活动学生活动设计意图一、 实例：1.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”2.当无限增大时，圆的内接正边形周长无限趋近于圆周长3.对于函数中，当时，的值无限趋近于0演示并不断提出问题1.你看到了什么2.描述现象3.概括一下这种现象注意：用课件演示实例的现象，让视觉配合学生思维并与教师提问同步，力求视觉听觉取得最好的配合看、听、想、并回答问题让学生初步从感官上感知事物按规律变化会出现某种趋势，但却不可能达到确切的“终点”二、 提出课题：数列的极限（观察体验初步形成概念）1 数列：1，“项”随的增大而减少 但都大于0当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数02 数列：“项”随的增大而增大但都小于1当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数13 数列： “项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0引导观察并小结，最后抽象出定义： 一般地，当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个数（即无限地接近于0），那么就说是数列的极限，或者说数列收敛于，记作。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）数列1的极限为0，；数列2的极限为1，；数列3的极限为0，；每个问题的呈现后，引导学生从三个层次看问题：1. “项”随的增大而增大还是减小2.总大于或小于某个常数3.是否可以无限趋近于该常数板书：当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个数（即无限地接近于0），那么就说是数列的极限，或者说数列收敛于划线部分边讲解边补充从简单判断，到观察规律，逐渐形成对“无限趋近”的感知体验1.引导学生从特例中概括一般规律，并用数学符号语言表达2.针对学生知识基础薄弱的现实，适时地与函数知识相联系，巩固原有知识3.针对学生理性思维欠缺的现实，用函数观点考察数列，揭示现象规律的本质，感悟现象的多样性与内在规律的统一性边讲解边补充的目的在于先形成最初的简单认识，逐渐精确化来凸显概念的核心，化解难点三、 深化概念理解 得出两个概括性结论由函数，当时，的值无限趋近于0，得到由函数，当时，的值无限趋近于0，得到问题：数列，的极限存在吗？是多少？你能概括出一般规律吗？再次用函数模型来刻画“越来越接近-1”与“无限趋近于0”的区别，深化理解1.课件演示2.讲解3.提问加深理解后回答问题四、 练习 （巩固概念，发展思维，提高能力）1. 教材P38，1（口答）2. 数列有没有极限？3. 下列数列是否有极限？如有，求之（1）；（2）口答1、2后，板演3思考练习仿照书写五、 作业： 练习册 P17 习题7.7 A组 17 （必做）练习册 P20 习题7.7 B组 1、2 （自选）补充（自选）：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999, 2 3 4 5 适当提示教后反思：通过课件的模拟实验，屏幕上生动地显示出一尺之棰按日取其半的规律随时间变化的情况。之后又演示了正多边形边数不断增加，其图形趋近于圆的动态变化趋势，这比课堂上原来只是口头讲授更能激发学生的思考。随后在屏幕上给出了数列前几项的数值、在数轴上以及在直角坐标系中表示数列前几项的点动态地趋向极限的图示。学生从以上创设的情景中完全能够理解此无穷数列变化的趋势是无限制地接近一个常数。这时在屏幕上以表格、数轴、直角坐标系为背景，给出了关于数列极限概念的说明：“粗略地说：如果一个无穷数列随n的增大无限制地接近某一个常数A，就说这个数列的极限是常数A”。演示课件不单给出数列的前几项的数值，用数轴和直角坐标系给出表示数列前几项的点，而且为学生提供了提炼抽象的基础。因为键入任意大的n的数值，计算机则马上显示数列相应项的数值。过去教师的讲解现在变成学生的实验活动或观察，实践表明每个学生通过实验都能猜出该数列的极限，这为数列极限的形式化定义打下了坚实的基础。以上的教学设计基于这样一个指导思想：让学生通过参与实验与运算而不是听教师讲授自己领悟数列极限的概念，从感知到理解，再过渡到形式化的定义。尽管教材并没有采用语言对极限作出形式化定义，但从该设计的逐次精确化的过程，学生获得了精确地描述定义的方法，为再抽象为符号语言扫清了主要障碍。在“如果一个无穷数列，随n的无限增大，的值无限制地接近某一个常数A，就说这个数列的极限是常数A”这句话的下面动画式地依次显示：1) 接近某一个常数A；2) 无限制地接近某一个常数A；3) 当n无限增大时，无限制地接近某一个常数A。接着又在这三句话的后面依次显示：1) 是一个很小的正数；2) 能够要多小有多小，即；3)当时。为了说明什么是“无限趋近”，用“的值离0越来越近，离-1也是越来越近，那么究竟是无限趋近于0还是-1呢？”这样一个问题结合右图演示，帮助学生进行了明确的辨析，即与-1之间有一个单位的距离是永远无法逾越的，因此只能有限地接近-1。在这些实验探究条件的帮助下，原本十分难理解的极限概念变得容易理解了。课题：二次函数最值问题研究 执教人：卢文卿教材分析：本堂课位于高一数学第一学期第三章3.4.3的第二节课，主要要求学生能够求字母区间上的二次函数最值。教材上，本节课在函数奇偶性、单调性之后，是除零点概念外，函数性质最后的内容。本节课的在知识点方面要求学生能够综合使用单调性与奇偶性，并熟练掌握具体数字区间下二次函数的最值的方法。在此基础上，解决字母区间下二次函数最值问题。本节课的在教材上没有相对应的例题，但在课后练习上，有2道练习题。所以，本节课的内容也是学生需要牢度掌握的。同时在数学思想方法上，本堂课注重数形结合和分类讨论，这也是高中数学的2个重点，起着为以后数学学习铺垫的作用。学情分析：本校的学生基础较为薄弱，具体在基本的计算、图形想象能力上存在不足。鉴于此，教师无法用简单的语言来描述概念，而必须借助具体的图形，让学生能有直观的感受。同时由于计算能力不足，所以教师需要对例题中运算给出完整过程，忌讳跳步。教学目标：1. 逐步理解掌握给定区间二次函数最值的求法。2. 进一步提高数形结合的意识，渗透对学生分类讨论思想的培养。3. 建立动态思维，体会变化的过程。教学方法:采用教师讲授为主，学生自主练习的方法。教学重点和难点：含字母参数的二次函数最值问题教学用具：电脑、几何画板课件、数码投影仪。教学过程：教学内容教师活动学生活动设计意图一、复习引入写出函数在下列区间中的最大、最小值。（见课件中的表格）总结：二次函数本身不具备单调性，因为在顶点处，函数图像会“拐弯”。但是，如果限定区间，使对称轴不在区间中，那么函数就具有单调性。所以，对称轴是否在区间中对函数最值有很大影响，必须要考虑。学生呼应回答从已经学过的知识入手，让学生复习回忆下给定区间下二次函数的最值取得的方法，并且再次明确对称轴的位置对函数单调性的影响。二、对称轴固定下的区间运动例1：研究讨论函数在区间中的最值。解：【情况一】给定区间不包含对称轴 【情况二】给定区间包含对称轴对于最大值再次分类讨论： 总结：由于b的值不定，所以要根据b的情况作出分类讨论。根据多媒体课件，演示变化过程。先自主思考，后与教师一起通过课件演示完成此题。本题通过几何画板的演示，将三种情况直观展示给学生，加深学生对数学图形的感受。希望通过此题，学生初步建立对于类似问题解法的认识。三、课堂练习练习1：求函数在区间中的最值。解：【情况一】给定区间不包含对称轴【情况二】给定区间包含对称轴对于最大值再次分类讨论： 练习2：求函数在区间中的最值。解：【情况一】给定区间不包含对称轴【情况二】给定区间包含对称轴对于最大值再次分类讨论： 学生先练习，后给出课件演示，在大部分学生完成后，给出此题讲解。先给出课件展示，在由学生思考，分组讨论完成。承接例题1，加深学生对此类知识点的掌握。涵盖例1和练习1，由学生自主解答，进一步深刻体会含字母参数的区间下二次函数最值取得的方法。四、课后思考题研究函数在区间中的最值。教师给出提示：区间固定，对称轴移动让学生了解题目的另一种变形，为下节课埋下伏笔。五、总结1、明确本堂课所学习的知识是在求字母区间下二次函数的最值。2、明确本堂课为了解题所借助的工具是二次函数的图形。运用的是数形结合与分类讨论的思想方法。学生呼应再次强调解题的重点在于数形结合与分类讨论。教后反思：本堂课对例题1主讲，通过几何画板课件的演示，学生接受效果较好，能够在对此类题有一个具体认识，也能够初步掌握此类题的做法。但是对于字母向左运动的练习1，还是存在一定问题，因为学生的基础薄弱，所以向右移动能够理解，并不代表他们能够解决向左运动的问题，这里学生缺乏基本想象，对知识难以迁移。而练习2是给定区间都是字母，不变的是区间长度。此题较难，只有部分学生能够掌握，需要给学生更多的时间。建议本堂课能够再多给学生一些的时间，激发学生的思考，达到不愤不启，不绯不发，这样才能真正让我们的学生理解。课题：函数的基本性质（一）奇偶性执教人：陈华教材分析：函数的基本知识作为高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。奇偶性是函数的基本性质的重要内容之一，是研究函数性质和图像特征的基础，对分析研究幂函数、三角函数有重要作用。在教学中要注意从直观到解析、从具体到抽象研究函数的奇偶性，掌握函数奇偶性的代数表达和图像特征。教学设想：1、 充分了解学生的知识基础：在初中阶段，学生已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，并初步了解了这些函数的图像。在前面的教学阶段中，学生已加深理解了函数的概念，并初步体验了分析变量建立函数关系的数学建模方法。因此，在教学中要注意与前面阶段内容的衔接、过渡和提升。2、 充分体会新教材对学生能力的培养要求：不仅重视数学概念的准确理解，也应重视探索思维的启发。因此要重视学生的学习方式，要充分发挥学生的观察能力和思考能力，使学生从传统的接受知识转变为主动的探索知识。教学程序上主要在直观认识的基础上启发观察与思考，再到抽象为数的表达。3、 重视数形结合的思想，合理使用信息技术手段，启发学生借助函数图像揭示函数奇偶性及其图像特征。教学目标：1、 在知识与技能方面，重点理解偶函数与奇函数的概念和图像特征2、 通过具体函数图像的数形结合，启发学生探讨规律，完成从具体到抽象、从直观到解析的学习过程3、 在人文德育方面：（1）通过赵州桥这一生活实例的引入，一方面拉近数学与生活的距离，一方面激发民族自豪感。（2）通过数形结合的方法运用，感悟数学规律，感悟物质世界的对应统一。教学重点：理解函数的奇偶性与其图像特征教学难点：奇偶性概念对定义域的对称要求教具准备：几何画板教学过程：教学内容教师活动学生活动设计意图（一）、引入以赵州桥照片建立函数模型：引出对函数基本性质的探究。观察函数，发现图形的轴对称对称特点。从生活引入，使学生产生学习的兴趣，拉近数学与实际的距离。（二）探究串联探索过程，启发学生发现：对函数，定义域中的任意a，都有f(-a)=f(a)1、计算填表2、比较f(-3)与f(3)，f(-1)与f(1)，f(-0.5)与f(0.5)的大小3、猜想对任意定义域内的实数a，f(-a)和f(a)的关系动手计算、观察思考中，培养探索知识的能力。（三）概念知识1、给出偶函数定义2、判断下面函数是否是偶函数：(1)(2)(3)3、通过解答(2)(3)题，说明函数的定义域D关于原点对称是这个函数为偶函数的必要非充分条件。4、通过几何画板的演示，说明偶函数的图像特征：y=f(x)是偶函数y=f(x)的函数图像关于y轴对称5、启发学生模仿偶函数的结论，得到奇函数的相关概念1、学生尝试性表述偶函数的基本特征2、进行习题判断，发现问题3、尝试性表述偶函数的图像特征4、通过模仿偶函数过程归纳出奇函数的相关概念内容1、通过具体函数图像的数形结合，启发学生寻找规律，完成从具体到抽象、从直观到解析的学习过程，加深对概念的理解。2、由学生自己模仿推出奇函数的概念，使学生从传统的接受知识转变为主动的探索知识。（四）课上练习请学生根据概念，指出下面函数是奇函数还是偶函数：（口答）1、，（偶函数）2、， （非奇非偶函数）3、， （非奇非偶函数）4、（定义域为，为奇函数）5、（既是奇函数又是偶函数）口答问题1、巩固概念的学习2、启发学生发现函数的四种奇偶形式3、检查学生对新知识的掌握程度（五）小结1、比较偶函数和奇函数的定义相同点：定义域关于原点对称异同点：代数表达2、函数的奇偶性有四种情况：奇、偶、既奇既偶、非奇非偶3、判断奇偶性步骤：（1）先观察定义域是否关于原点对称（2）再观察代数条件是否满足梳理知识点，突出重点，便于学生记忆掌握（六）课后习题1、书P66/1、2、6课后完成作业练习巩固教后反思：这次“磨课”活动是以“聚焦课堂教学，夯实教学基本功”为主题，以青年教师为主要实践者，全员参与的校本研训。对于刚刚参加工作才三个多月的我来说，这无疑是一个很好的学习机会。在此活动中，我不仅在我校前辈教师的帮助下，进一步加强了对教材钻研、教学设计、驾驭课堂等方面的能力，提高教学技能；还担任了磨课展示活动，开了一堂公开课，搭建教研平台，在与兄弟学校的教师和教育局领导的交流讨论中也受益匪浅。我们数学组主要经过为期一个月的三轮小组讨论的磨课过程和一次公开展示。前一轮主要是磨教案，第二第三轮进入三个班级试教，最后公开课展示。在每次的小组活动中，我们大家都是踊跃发言，积极出谋划策，对我教学中的精彩之处加以表扬，不足之处给与指导帮助。因此我学习到许多教学方法和技巧，也认识到自身教学上的缺点与不足。现在我就对一个月来本人在活动的收益和不足进行反思小结：一、 情景引入，拉近数学与生活的距离，提高学生的学习兴趣。数学是源于生活，同时又应用于生活的。它是为了解决生活中的问题而产生的，并在生活中不断发展，同时又对生活生产的发展起到促进作用。学习数学的目的不仅仅是要了解它，更主要的是学会运用它。比较二期课改和旧教材，我们会发现新教材更注重情景的引入，注重应用能力的培养。现今大多数学生只知道接受知识而不知道它有什么用，因而常听到学生说我们学习数学没有用。因此在教学时，不能将情景引入马虎带过，而是要让他们发现原来身边的许许多多的事物都与数学有着联系，在遇到某些问题时可以很自然地联想起数学的概念和方法。在这些情景引入中，不仅能潜移默化地培养学生的观察能力和应用能力，同时丰富了他们的生活视角，告诉他们观察生活的另一种方式。情景引入也能改变数学枯燥乏味的形象，使它更鲜活生动更加亲切。在这次磨课中，我运用了赵州桥来引入。在课前当我把照片打开时，就有不少学生被吸引过来，表现出很高的兴趣。正如王老师所说，这张照片把数学的美和生活联系在了一起，给人眼睛一亮的感觉。二、 注意探索过程，培养学生思维能力，优化学习方法。充分体会新教材对学生能力的培养要求：不仅重视数学概念的准确理解，也应重视探索思维的启发。因此要重视学生的学习方式，要充分发挥学生的观察能力和思考能力。我们数学组这次磨课的主题是：以优化学习为目标的教学基本功的锤炼。我对这句话的理解是：使学生从传统被动的接受知识转变为主动探索知识。因此在这节课的设计上加入了探索的过程，教学程序上主要在直观认识的基础上，通过填表、找规律启发学生的观察与思考，再通过猜想和验证达到抽象为数的表达。 在探索过程中，要注意学生的学习基础和能力，小步骤多台阶，引发学生问题生成。体验探究过程，培养探究意识，优化学习方法，学会自己发现问题寻找答案，培养自主学习的意识和能力。三、 合理铺垫，巧设悬念，使学生学会辨析思考。在学习中，要充分发挥学生学习的自主性和探究兴趣。在老教师的提示下，我发现巧设悬念是一种很好的教学技巧。在这节课的辨析概念环节，我就选择了四种不同奇偶性质的函数，让学生在辨析做题时，发现问题，学会运用刚学的知识加以辨析思考得到答案。我发现有大半的学生能辨析正确。像在这样的技巧能加深学生的映像，对于特殊的情形能更好的运用知识。当然在辨析中也出现了许多易错的问题，这也如实反映出学生掌握知识的情况，便于教师及时纠正错误。四、 借助多媒体技术，化难为易，化繁为简。对于这节课，需要展现函数性质与其图像的关系，教会学生数形结合的数学思想和方法。借助几何画板，能很形象地展现出“数”与“形”的密切联系，将课堂上画图的大量时间节省下来。另一方面概念中的“任意”两字，很难用语言简单描述，但它却是函数奇偶性的关键难点。利用几何画板的动画效果，能从直观上很好证明“任意”的性质特征，易于学生理解。可以说，利用几何画板能很好地解决教学中的难题，做到化难为易、化繁为简。当然，这节课也有不足之处：奇偶性的图像特征的证明要求过高用时过多会冲淡重点。语音语调过于平滑，话语太过拘谨没放开，师生互动和课堂气氛的调动还需再加强努力。要在新课中给出正确答题规范。经过教研组老师的讨论和帮助，我今后要从几下几个方面进行改进：教学设计时要抓住主线、突出重点、分散难点、安排有序注重教育价值、学习过程、核心知识和核心概念；努力提高师生互动和调动课堂气氛的能力；注意板书的规范。课题：5.3（2）诱导公式 执教人：陈华教材分析：三角比诱导公式是进行三角比运算和化简的重要工具，公式数量较多，公式间的关系密切，光靠死记硬背必然不能灵活掌握。因而在教学中要充分揭示诱导公式的内在联系和本质，让学生充分体验推导过程，使学生明白来龙去脉，掌握公式的推导方法和公式之间的变化规律。关注学生主体的探索与体验，以推导的方式记忆公式，适当渗透数形结合的思想和划归方法，让他们在获取知识的同时，培养他们观察问题、分析问题与解决问题的能力。教学设想：充分了解学生的知识基础：在前面任意角的三角比学习中，学生已经建立起任意角三角比的概念，但单位圆与角终边的交点的坐标表示还不熟练，故特意安排复习巩固。对于角的终边的对称关系学生还很模糊尤其不会代数上的表达，故借助具体的角加深理解，再利用图像抽象到任意角的情况。充分体会新教材对学生能力的培养要求：不仅重视公式的记忆与应用，也应重视公式之间的联系与推导，重在探索思维的启发和能力的培养。因此要重视学生的过程体验，要充分发挥学生的观察能力和思考能力，使学生从传统的接受知识转变为主动的探索知识。教学程序上主要在直观认识的基础上启发观察与思考，再到抽象为代数的表达。重视数形结合的思想，合理使用信息技术手段，启发学生借助图像，观察出诱导公式的变化规律，研究诱导公式的原理。教学目标：1、通过观察角的终边的对称特征，感知诱导公式的基本结论；借助单位圆作图，理解掌握第二、第三组诱导公式的推导方法；并能简单应用；2、通过模仿推导出四组诱导公式，类比学习，体验角的变换过程，初步感受代换的思想；3、领会学习诱导公式的意义，促进由观察现象到理性推演思想方法的形成；教学重点：内容上：第二组诱导公式的推导；方法上：不同角终边位置关系的理解教学难点：类比学习，模仿推导第三诱导公式教具准备：几何画板教学过程：教学内容教师活动学生活动设计意图（一）、引入：回顾任意角的三角比的定义和第一组诱导公式强调以下两点：1、单位圆与角的终边的交点坐标2、角的终边决定了角的三角比学生呼应回答共同回顾已学的概念，加深理解，为下面的公式推导做铺垫（二）联想与探究：考察角的终边的对称关系1、请学生观察与的终边有什么对称关系。2、串联探索过程，启发引导学生画图寻找角的终边的对称关系：角、的终边分别与角角的终边关于x轴、原点、y轴对称3、将具体问题一般化，并用几何画板给于说明1、分小组探究，画图发现角终边的对称性2、思考一般性结论，转化对任意角，角的终边与角的终边关于x轴对称。1、动手画图、观察思考中，培养探索知识的能力。2、通过具体角到抽象地任意角，利用图像启发学生寻找规律，完成从具体到抽象、从直观到解析的学习过程，加深对问题的理解。（三）推导公式1、由对称性出发推导角与角的三角比关系，得到第二组诱导公式：；2、提问：求的正弦、余弦、正切、余切的值。3、小结推导过程（三步骤）4、引导学生，模仿前面的过程探索角与角的三角比关系，师生合作得到第三组诱导公式：；1、回答提问，辅助推导2、进行习题计算，巩固公式应用3、由关于原点对称，模仿第二组诱导公式的推导过程，类比学习，得出第三组诱导公式1、图像辅助下，利用对称性，体验数形结合的思想和方法2、体验推理过程，加深对公式的理解3、通过练习学会应用4、由学生自己模仿推导，使学生从传统的接受知识转变为主动的探索知识。（四）拓展练习1、请学生研究角与角的三角比关系2、介绍代换思想：将第三组诱导公式中的换成，得到第四组诱导公式：；3、求和的正弦、余弦、正切、余切的值1、自主探究2、口答问题1、巩固过程的学习与体验2、体验公式应用中的代换思想，发现公式的便捷。3、检查学生对新知识的掌握程度（五）小结1、三组诱导公式（角可以是任意象限的）2、诱导公式的作用：利用诱导公式把任意角的三角比转化为锐角的三角比3、数学思想和方法学生归纳总结1、了解学生的体验感受2、梳理知识点，突出重点，便于学生记忆掌握（六）作业课本P49 1、2课后完成作业练习巩固课后反思：这节课在串联过程中我进行了一些改动。先通过观察具体角与的终边的位置关系，引出对与角的思考。由思考其他对称关系引出用角与角的三角比思考，在第三组公式练习中，用一个例子，串联复习和展开新的思考与角的三角比关系，过度自然。但在提问上，问题的指向性和目的性还不明确，因而在调动学生互动还有所欠缺，师生互动、生生互动上、调动课堂气氛上还有不足，需要不断积累改善。课题：反 正 弦 函 数 执教人：高伟教材分析：反正弦函数是学习了三角函数之后的内容,为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用.特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用,而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用。学情分析：学生已经学习了三角函数的相关知识，了解研究函数的基本方法，但三角函数具有自身的特殊性，（周期性）与其它函数的反函数有着不同之处。这给学生理解反三角函数的定义带来一定的困难。教学目标：1.理解学习反正弦函数的必要性；理解反正弦函数是函数的反函数而不是正弦函数的反函数；理解反正弦函数的概念，掌握符号的含义，并会用以表示角；2.知道反正弦函数的图像，并能数形结合掌握反正弦函数的性质；3.会用数学思想分析和思考问题。教学重点：在教师的引导下，让学生发现为什么要学习反正弦函数、怎样学习反正弦函数。真正理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题。教学过程：教学内容教师活动学生活动设计意图六、 回顾复习在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。一类是已知角值求比值，例如，正弦函数它就是一个角值函数，任意角都有唯一确定的正弦值与之对应，即已知某一个角值都可以通过正弦函数，将其正弦值表示出。提问：1、已知角的正弦值为，那么角如何表示呢？如果已知角的正弦值是，那么角又如何表示呢？看、听、想、并回答问题摆出新问题，让学生思考，激起学生的求知欲。七、 提出课题：反正弦函数回忆反函数存在的条件 关于的式子，可以表示的角有无数，那么这个结果从何而来？首先是，因为，由 ，还可以写出哪些满足条件的，是，为什么？（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）还有其他满足条件的吗？通过这个例子，我们说用正弦值表示相应角值时，只要能表示出一个相应的角值就可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以用它将其余的角值表示出。所以正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。提问：1、正弦函数是否存在反函数呢？2、正弦函数不存在反函数，那么怎样利用正弦函数，由正弦值确定相应的角值呢？3、选取怎样的区间，使得存在反函数呢？ 依据这两个原则选择怎样的区间呢？学生回答、讨论，不断补充形成共识:（1）所取区间在该区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值。1、让学生体验形成反正弦函数的过程。加深对反函数存在条件及反函数概念的理解。2、帮助学生形成函数的知识结构。八、 认识符号表示正弦值为所对应的角，等号是“是”的意思，所以， 即：正弦值为所对应的角是，是正弦值为所对应的角。因为反正弦函数是函数，的反函数。所以，自变量的取值范围就是原来函数的值域，因变量的取值范围就是原来函数的定义域，因为是，故而，且。2反正弦函数的值我们来看具体的例子：反正弦函数值表示范围内的一个角，并且，这个角就是，即=。3反正弦函数习惯上，表示自变量，表示因变量，将反正弦函数记作：，让学生比较与=。与=与=的关系。寻找的含义提问：1、反正弦函数值的含义？2、式子表示什么？等于多少呢？3、请学生叙述反正弦函数的定义。1、比较、理解后回答问题反正弦函数值表示范围内的一个角，并且2、思考，并回答。1、通过三角比与角的反复对照，让学生理解得含义2、加强互为反函数的关系运用。四、反正弦函数的性质1、 定义域；2、 值域：3、 奇偶性：奇函数（用定义证明，证明过程略）4、 单调性：增函数5、 最值：，1、 提问：互为反函数的性质关系？2、 让学生自己探究反正弦函数的性质。对照互为反函数的性质关系，进行讨论、探究、归纳、小结用知识结构，让学生自己探究，培养学生学习数学的能力。作业： 练习册适当提示教后反思：本节课直入主题，以问题驱动，引导学生积极思考，共同解决问题，从正弦函数有无反函数到在怎样的区间上有反函数，从对记号的引入到反正弦函数，从反正弦函数的性质，问题步步深入，在此过程中培养学生形成质疑精神，并共同参与其过程，整个教学过程遵循学生的思维过程，引导学生自己发现问题、解决问题。但尽管在教学过程中，同学的呼应不错，仍然有一定比例的同学对的含义没有掌握，这在这次的作业中得到验证，看来还得做进一步的巩固和复习。课题：对数函数的图像与性质应用执教人：沈建国教材分析：“对数函数的图像与性质”是基本初等函数研究的继续，是数形结合的典型课例；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实际问题的重要工具，更是高考的热点之一学情分析：在本节课的学习中，涉及到数形结合、类比归纳、分类讨论等数学思想，对培养学生的辨证思维能力，培养学生的创新意识有很大的帮助本节课主要帮助学生掌握对数函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题。教学目标：1掌握对数函数的概念，图像与性质2学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域3学会运用对数函数的单调性等知识比较两个对数值(式)的大小4学会利用复合函数的思想研究较为复杂的函数性质问题。教学方法:1 学会观察、分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、类比联想、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高创新意识和创造能力2 通过对数函数图像与性质的联系与区别，树立事物是相互联系、相互转化，是对立统一的辩证唯物主义思想教学重点：掌握对数函数的概念，图像与性质 教学难点：学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域教学用具：电脑、几何画板课件、数码投影仪。教学过程：教学内容教师活动学生活动设计意图一、复习函数的单调性：1、就是在给定区间上随着x的增大，y也在增大就是增函数，而当y减小就是减函数，具有这样的性质就说函数在该区间上具有单调性。符号表示：在给定区间内的任意取x1，x2，且x1x2，比较f（x1），f（x2）的大小图像上：从左往右看图像在一直上升或下降的就是单调函数2、回顾对数函数的单调性分类引导学生正确的回答函数单调性概念看、听、想、并回答问题让学生温故知新例1、求函数y=的定义域。教师巡视学生练习，指出错误地方。特别是计算问题学生板演解答过程掌握对数函数的概念，图像与性质学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域解关于对数函数的问题时，首先要考虑对数函数y=logax的定义域x0例2、对于函数定义域中的任意x1，x2（x1x2）有如下结论：（1）=； （2）=+；（3） 0; （4）当时，上述结论中正确结论的序号是： 2、3 。教师指导学生理解抽象函数性质的使用加深理解后回答问题让学生复习对数运算和单调性。例4、利用函数的性质比较下列各组数的大小（1）与（2）与口答1后对学生的解题过程进行规范书写学生板演并思考练习仿照书写学会运用对数函数的单调性等知识比较两个对数值(式)的大小在比较对数函数的值的大小时，常常利用对数函数的单调性。例5、若1，求a的取值范围。教师在学生练习时要注意不同解法上的区别。学生一题多解，让不同的解题思路进行评析。学会利用对数函数的分类解决对数不等式问题。例6、求函数y=log2(x2-10x+16)的定义域、值域、单调区间。变式：求函数y=log2(x2-10x+29)的定义域、值域、单调区间。教师适当提示，在学生考虑5分钟后进行讲解，并让有想法的学生进行演讲。学生考虑解法，并能理解复合函数的性质。学会复合函数的讨论教后反思：本节课意图明确，利用对数函数的单调性解不等式或比较大小。利用几何画板课件辅助教学，让学生板演，充分体现学生的思维，暴露了问题所在，作有针对性的分析，并在比较早体会函数的性质作用，数形结合的直观性，后两个例题都是一题多解，让生生互动，是师生互动的好机会，充分挖掘学生的自身聪明才智，但是结束后要进行相应的总结，并归纳解题思路和思维核心，并能对函数的性质进行抽象理解，有助于提高学生的认识水平。1班同学有部分学生思维很活跃，可以带动课堂的活跃气氛和积极推动教学的进程，在课堂驾驭上要给其更多的激励。课题：充分条件与必要条件执教人：张涛飚一、设计理念著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”数学课程标准又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展