概率统计习题及答案.doc

习题一1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）；设事件表示：平均得分在80分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事件表示：第一颗掷得5点；设事件表示：三颗骰子点数之和不超过8点。（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球；设事件表示：取出的三个球中最小的号码为1。（4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数；设事件表示：至多只要投50次。（5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。1.2 在分别标有号码18的八张卡片中任抽一张。（1）写出该随机试验的样本点和样本空间；（2）设事件为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a） ； (b) ； (c) ； (d) ； (e) ； (f) 。1.3 设、是样本空间的事件，把下列事件用、表示出来：（1）发生； （2）不发生，但、至少有一个发生；（3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生；（5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生；（7）三个事件不都发生。1.4 设，求下列事件：（1） ； （2） 。1.5 设、是随机事件，试证：。1.6 在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为ability的概率。1.7 电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，9中的任一个数字（但第一位不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。1.8 把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。1.9 为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛。求最强的两个队被分在不同组内的概率。1.10 在桥牌比赛中，把52张牌任意分给东、南、西、北四家（每家13张），求北家的13张牌中：（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率。（2）恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。1.11 从0，1，2，9十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）三个数字中既不含0，也不含5；（2）三个数字中不同时含有0和5；（3）三个数字中含有0，但不含5。1.12 一学生宿舍有6名学生，求：（1）6个人的生日都在星期天的概率；（2）6个人的生日都不在星期天的概率；（3）6个人的生日不都在星期天的概率。1.13 将长为a的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。1.14 、是随机事件，已知，求：（1）； （2） ； （3） ； （4） 。1.15 设、是事件，已知，求、都不发生的概率。1.16 设、是随机事件，且满足和，求。1.17 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中至少有一件是不合格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？1.18 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。（1）求任意取出的零件是合格品的概率。（2）如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。1.19 已知5%的男性和0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。求此人是男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。1.20 设、是随机事件，且满足，证明事件、是相互独立的。1.21 设、是随机事件，且，。证明事件、相互独立与互不相容不能同时成立。1.22 三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？1.23 设、是随机事件，假定，而，令。（1）取何值时才能使、互不相容？（2）取何值时才能使、相互独立？1.24 一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7。求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率。1.25 已知某篮球运动员每次投篮的命中率为0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。1.26 某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取50个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。问：用这种方法认为该批产品合格的概率是多少？1.27 已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为，各支枪能否击中飞机是相互独立的。求：（1）250支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率；（2）需要多少支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机？1.28 甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是0.4。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。习题解答习题一1.1（1）样本空间可以表示为；事件。 （2）样本空间可以表示为；事件，。 （3）样本空间可以表示为；事件。（4）样本空间可以表示为；事件。（5）样本空间可以表示为。 1.2 （1）设样本点表示“抽到号卡片”()，样本空间可以表示为；（2）表示“抽到标号不大于4且是偶数的卡片”； 表示“抽到标号不大于4或者是偶数的卡片”； 表示“抽到标号是奇数的卡片”； 表示“抽到标号不大于4而且是奇数的卡片”； 表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被3整除（即标号不是6的倍数）的卡片”； 表示“抽到标号是奇数而且不能能被3整除的卡片”。1.3（1）；（2） 或；（3）；（4） 或；（5） 或；（6） 或；（7） 或。1.4（1）；（2）。1.5 由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知：。1.6 在11张卡片中任意抽7张，依次排成一列，有 种不同的方法。要得到ability，每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有1张，则只有1种取法，如果取卡时，这种字母的卡片有2张，则有2种取法。所以，连抽7张，排列结果为ability=。1.7 由6位数字组成的首位不能为0的有重复的排列（作为电话号码）共有种，其中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有种。所以，所求概率为：满足条件的电话号码 。1.8 10本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为 。为了使指定的3本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体看待，于是10本书就变成了8个物体，8个物体的排法总数有种；但这3本书还可以有种排法，所以，满足条件的排法共有种。因此，所求概率其中指定的3本书恰好放在一起=。1.9 解法一 我们先来求把20个球队任意分成两组的方法数。注意到每种这样的分法可以这样得到：从20个球队中任意取出其中的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有种不同的分法。再求满足要求“最强的两个队被分在不同组内”的分法数。每种这样的分法可以这样求得：先从2个强队中任意取出1个队，有种取法，再从18个不是强队的球队中任意取出9个队，有种取法，这样取出的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有种不同分法。因此，所求概率为最强的两个队被分在不同组内= 。解法二 将20个球队任意分成两组（每组10队），可以看作是有两个组，每个组有10个空位子，共有20个空位子，从这20个空位子中任意选2个位子放强队（其余位子自然是放其他的队），共有种不同做法。最强的两个队被分在不同组内，相当先于从第一个组的10 个空位子中任意选个位子放1个强队，再从第二个组的10 个空位子中任意选个位子放1个强队（其余位子自然是放其他的队），有种不同做法。因此，所求概率为最强的两个队被分在不同组内= 。1.10 北家的13张牌是52张牌中取出13张的组合，共有种可能。（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花，相当于从13张黑桃、13张红心、13张方块、13张草花中分别取5、4、3、1张，组合数是： 。所以，恰有5黑桃4红心3方块1草花=。（2）北家的13张牌中恰有大牌A、K、Q、J各一张，相当于先要从4张A、4张K、4张Q、4张J中各取1张，有种不同取法，再从36张小牌中取9张，有种不同取法，这种情况的组合数是：。所以，恰有大牌A、K、Q、J各一张= 。1.11 从10个数字中任意选出3个不同数字，有种不同的选法。（1）选出三个数字中既不含0，也不含5，相当于从除了0和5以外的其余8个数字中任意选3个，有种选法，所以，；（2）选出三个数字中不同时含有0和5，相当于全部种选法中扣除同时含有0和5的情形。同时含有0和5的情形，相当于先取1个0，再取1个5，再从其余8个数字中任意选1个，有种选法，所以，；（3）选出三个数字中含有0，但不含5，相当于先取一个0，再从除了0和5以外的8个数字中任意选2个，有种选法，所以，。1.12 6个学生，每个人的生日可以是星期天、星期一、星期六中的任何一天，都有7种不同的选择，所以，共有种不同的情形。（1）6人生日都在星期天，每人只有一种选择，所以：6人生日都在星期天=；（2）6个人的生日都不在星期天，每人有除星期天外的6种选择，总共有种情形。6人生日都不在星期天=；（3）6个人的生日不都在星期天，只要从全部种情形中除去“6人生日都在星期天”这一种情形就可以了。所以：6人生日不都在星期天=。 1.13 设三段长为，它们满足，。上述条件可简写为，（由于）。所以，样本空间为，对应的区域是一个直角边长为的等腰直角三角形，面积为。三段长要构成一个三角形，必须满足，由于，上述条件等价于，。所以，所求事件 =三段长能构成三角形=，对应的区域即图中的阴影部分，它的面积为。因此，所求的概率为。1.14 （1） ；（2） ；（3） ；（4） 。1.15 因为，所以，可见必有；因此，事件、都不发生的概率为= 。1.16 由得。1.17 记取出的两件中有件不合格品，则（）。在已知取出的两件中至少有一件是不合格品的前提下，两件都是不合格品的概率是：。1.18 记取自第台车床（） ，任意取出的零件是合格品 。（1）已知 ， 由全概率公式得 = 。（2）在已知取出零件是废品的条件下，它是第二台车床加工的概率，也就是。 由贝叶斯公式可知 。 其中，上面（1）中已求出，所以，代入上式，得。1.19 设确定为色盲，此人为男性，此人为女性。 由题意可知，。由贝叶斯公式，得 。1.20 由全概率公式和已知条件，得，所以，事件、是相互独立的。1.21 因为，所以若、相互独立，则有；若、互不相容，则有，于是，与上面矛盾，可见、相互独立与、互不相容不能同时成立。1.22 记第人译出密码（）。已知，。 显然，、相互独立，所以，三人中至少有一人能将此密码译出的概率是 。1.23 （1）要使、互不相容，必须有，所以，。（2）要使、相互独立，必须有，从而，所以，。1.24 记一小时内第台车床需要工人照管（），这些事件显然是相互独立的。 根据题意，。在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率为： 。1.25 这是一个的独立试验序列。5次投篮恰投中次的概率为5次投篮恰投中次=，（=0，1，2，5）。所以，五次投篮至少投中两次的概率为至少投中两次=最多投中一次=投中0次投中1次。1.26 这是一个的独立试验序列。检验个产品，恰发现个次品的概率为50次检验恰发现个次品=，（=0，1，2，50）。所求的认为该批产品合格的概率等于发现次品不多于一个=发现0个次品发现1个次品。1.27 这是一个的独立试验序列。支枪同时射击，没有一支击中飞机的概率为