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太原理工大学2007年攻读硕士学位研究生入学试题（180分钟，总分150分）高 等 代 数一、选择题（每题4分，共24分）1. 设为级矩阵，已知命题：只有零解； 有唯一解；的行向量组线性无关；的列向量组线性无关. 则有 (A) . （B） . (C) . (D) . 2. 设矩阵，其中可逆，则等于 （A） （B） （C） （D）3. 设三级矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则有 （A）或（B）或（C）且（D）且4. 设A, B是线性空间的线性变换，且AB-BA=E，则 (A) A2B-BA2=2A ;(B) A3B-BA3=3A3 ;(C) A2B-BA2=0 ;(D) A4B-BA4=2AB .5. 和矩阵 正交相似的矩阵为 (A) (B) (C) (D) 6. 若矩阵有一个不变因子为，则下列结论正确的是 (A) 相似于对角矩阵; (B) 是非奇异矩阵;(C) 的初等因子都是的幂或的幂; (D) 是奇异矩阵.二、填空题（每题6分，共36分）1. 设为级矩阵，考虑四个命题：1）与有相同的特征值与特征向量；2）若与等价, 则与有相同的特征值与特征向量；3）若与有相同的特征值，则与一定相似于同一个对角矩阵；4）若与有相同的特征值，则秩.在这四个命题中成立的个数有 个.2. 已知 -2是矩阵的特征值，其中为不等于零的任意常数，则= .3. 已知实二次型的正负惯性指数都是1，则= .4. 设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为 。5. 若是级非零矩阵，且，则的Jordan标准形中Jordan块的最大级数是 .6. 已知3维欧氏空间中有一组基，其度量矩阵为，向量，则 .三、计算与证明题（前五题每题12分，后三题每题10分，共90分）1. 设为四维列向量组，且线性无关，. 已知方程组有无穷多解，(1)求的值；(2) 用基础解系表示该方程组的全部解.2. 设，为四维列向量组，求(1)为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表出；(2)为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.3. 已知、为3级矩阵，且满足，其中是3级单位矩阵。(1)证明：矩阵可逆； (2)若，求矩阵.4. 设是三级矩阵的三个特征值，其对应的特征向量依次为 证明：(1) , (2) 把用线性表出，并求.5. 已知三维向量组（I）线性无关，（）线性无关。(1) 证明：存在向量，即可由线性表示，也可由线性表示。(2) 当时，求（1）中的。6. 设是级实对称矩阵，是正定矩阵，证明是可逆矩阵。7. 设是复数域上的维线性空间，而线性变换在基下的矩阵是一若当块。证明中任一非零子空间都包含。8. 设是实数域上所有次数小于4的一元多项式全体组成
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