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大题分层练(六)解析几何、函数与导数(B组)1.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【解析】(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,c2=1,所求椭圆方程为+y2=1.(2)由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,则=64k2-24(1+2k2)=16k2-240,解得k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,设存在点D(0,m),则kAD=,kBD=,所以kAD+kBD=.要使kAD+kBD为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1),k与参数m无关,故2m-1=0,解得m=,当m=时,kAD+kBD=0.综上所述,存在点D,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.2.已知函数h(x)=(x-a)ex+a.(1)若x-1,1,求函数h(x)的最小值.(2)当a=3时,若对x1-1,1,x21,2,使得h(x1)-2bx2-ae+e+成立,求b的范围.【解析】(1)h(x)=(x-a+1)ex,令h(x)=0得x=a-1.当a-1-1即a0时,在-1,1上h(x)0,h(x)递增,h(x)的最小值为h(-1)=a-.当-1a-11即0a2时,在x-1,a-1上h(x)0,h(x)为减少的,在xa-1,1上h(x)0,h(x)为增加的.所以h(x)的最小值为h(a-1)=-ea-1+a.当a-11即a2时,在-1,1上h(x)0,h(x)递减,h(x)的最小值为h(1)=(1-a)e+a.综上所述,当a0时h(x)的最小值为a-,当a2时h(x)的最小值为(1-a)e+a,当0a2时,h(x)最小值为-ea-1+a.(2)令f(x)=x2-2bx-ae+e+,由题可知“对x1-1,1,x21,2,使得h(x1)-2bx2-ae+e+成立”等价于“f(x)在1,2上的最小值不大于h(x)在-1,1上的最小值”.即h(x)minf(x)min.由(1)可知,当a=3时,h(x)min=h(1)=(1-a)e+a=-2e+3.当a=3时,f(x)=x2-2bx-2e+=(x-b)2-b2-2e+,x1,2,当b1时,f(x)min=f(1)=-2b-2e+,由-2e+3-2b-2e+得b,与b1矛盾,舍去.当1b2时,f(x)min=f(b)=-b2-2e+,由-2e+3-b2-2e+得b2,与1b2矛
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