《概率论》期末试题解析.docx

2011（2012）级 概率统计期末试卷（一）卷 2013.7.3一 填空题：（每小题3分，共30分）1. 为三个随机事件，事件“至少发生一件”可表示为。【解】根据定义，这是三个事件的和事件，即可表示为 2从1，2，3，4中随机取出两个数，则事件“其中一个数是另一个数的两倍”的概率是。【解】设事件为“其中一个数是另一个数的两倍”的事件，事件发生只有两种可能：与（2,4），而中随机取出两个数的方式数（即样本空间的样本点的总数）为 因此事件的概率为 3一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，取出的是一等品的概率为0.57。【解】设表示“产品是一等品”事件，表示“产品是合格品”事件，表示 “产品是不合格品”事件。由题意知 ， 由全概公式知： 4设是相互独立的随机事件，已知，则 【解】，因为独立，故有 因此 5. 某零件长度服从正态分布,规定长度在范围内为合格, 则零件合格的概率是。 ()【解】设表示为“零件合格”事件，由题意知，则 因，故6. 设正方形的边长服从区间上的均匀分布，则正方形面积的数学期望。【解】均匀分布的概率密度为 7. 已知二维随机变量在矩形区域上服从均匀分布，则。【解】矩形面积，因此联合概率密度为 则 8. 设是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件发生的概率，则对任意正数，有。【解】由伯努利大数定理可知 其意义是：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率。9. 设是来自于正态总体的样本, 样本均值，则= 。【解】因为因此有，10. 设是来自总体的样本，以下四个总体均值的估计(1)、 ， (2)、(3)、， (4)、。无偏估计有：，其中最有效的是：。【解】（1）无偏性当估计量的数学期望存在，且对于任意有 则称为参数的无偏估计量。依题意，则逐个判断是否是无偏估计量； 表明：是无偏估计量； 表明：不是无偏估计量； 表明：是无偏估计量； 表明：是无偏估计量（2）有效性 设与都是的无偏估计量，若对于任意，若有，则 则称较有效。仅需要比较的大小 依题意而表明：最有效 二 计算题：（每小题10分，共70分）1抛掷两颗均匀骰子，观察出现的点数，(1) 以集合的形式写出试验的样本空间和事件第一颗的点数大于第二颗并求其概率 (2) 在已知两颗点数不同的条件下，求其中一颗点数是1的概率【解】（1）每颗骰子均有6个点：1,2,3,4,5,6，因此两颗骰子出现点数的组合共有 种方式，样本空间为： 共36种方式 共1+2+3+4+5=15种方式，因此 （2）设事件在已知两颗点数不同的条件下，其中一颗点数是1两骰子点数不同的组合共种方式；其中一颗点数为1的组合有（61）2=10种方式： 12,13,14,15,16；21,31,41,51,61 因此 2. 已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次, 每次任取一件, 取后不放回, 求下列事件的概率 (1) 至少有一件次品 (2) 一件正品，一件次品 (3) 第二次取出的是次品 (写出计算过程,只写答案不给分) 【解】（1）设事件任取两次，每次取一件，至少有一件次品 则=任取两次，每次取一件，两次都是正品 ，因此 （2）设事件任取两次，每次取一件，一件正品，一件次品 （3）设事件任取两次，每次取一件，两次都是次品 3. 已知连续型随机变量的概率密度为，（1）求， （2）求的数学期望与方差.【解】（1）， （2） 4. 将两封信随机投入三个邮筒，设分别表示投入第一，二个邮筒的信的数目，(1)求的联合概率分布和边缘概率分布(填入下表)，(2) 求第一，二个邮筒的信的总数的概率分布 (3) 求【解】（1）的联合分布律和边缘概率分布 设分别为投入第一、第二与第三个邮筒的信的数目，信的总数 因此，样本空间的样本点数为 共6种方式，因此Y X0120102001（2）的概率分布012 （3） 因为 而且，同理 : 012400 于是的协方差为 5. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最近的整数，设所有舍入误差服从上的均匀分布且相互独立 (1) 写出的概率密度，数学期望，方差 (2) 将1200个数相加，用中心极限定理计算误差总和的绝对值小于10的概率（）【解】（1） 因为奇函数在对称区间的积分为零。 （2）由中心极限定理可知：设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，则随机变量之和的标准化变量 的分布函数对于任意满足 今， 标准化随机变量为 6. 设盒内有黑,白两种球，白球所占比例是 , 从盒中随机取一球，然后放回，这样取10次，发现取到6个白球4个黑球，(1) 白球记为1，黑球记为0，写出总体的分布，并求出白球比例的矩估计 (2) 用最大似然估计法，估计白球比例最可能是多少？【解】（1）总体分布与的矩估计 总体=为非白即黑的0-1分布：，即01 为总体的一个样本，为（）的样本值，且已知样本值之和，因此样本均值 鉴于，故 总体均值，用样本均值替代总体均值，得参数的矩估计量 ，其值为 （2）用最大似然估计法估计的最可能值 故似然函数为 相应的对数似然函数为 令0，即 于是，的最大似然估计值为 的最大似然估计量为 这一估计量与相应的矩估计量相同。7为调查某脱脂奶粉的脂肪含量，现随机抽取36罐奶粉进行试验，得到其平均脂肪含量(克)，设脂肪含量服从正态分布(1) 求其平均脂肪含量的置信度为0.95的置信区间(2) 奶粉包装罐上标明“脂肪含量8.8克”，可否认为该脱脂奶粉脂肪含量显著偏高？设显著性水平为0.05（，）【解】（1）关于的置信区间 因为置信度